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第9章《整式乘法与因式分解》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练） 第9章《整式乘法与因式分解》 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.59 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内） 1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（ ） A．a+a2＝a3 B．2a6÷a2＝2a3 C．2a2•3a3＝6a6 D．（3a3）2＝9a6 解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意； B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意； C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意； D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意； 故选：D． 2．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 3．（2分）（2023秋•惠安县期末）若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5 解：∵x2+mxy+25y2是一个完全平方式， ∴mxy＝±2•x•5y， 解得m＝±10． 故选：A． 4．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ） A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2． 解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 5．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2， 第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 6．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab， ①∵a*b＝0， ∴4ab＝0， ∴a＝0或b＝0， 故①正确； ②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac， a*b+a*c＝4ab+4ac， ∴a*（b+c）＝a*b+a*c， 故②正确； ③∵ab≠0，a*b＝8， ∴4ab＝8， ∴ab＝2， ∴÷ ＝• ＝ ＝ ＝， 故③正确； ④∵a*b＝a2+4b2， ∴4ab＝a2+4b2， ∴a2﹣4ab+4b2＝0， ∴（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b， ∴当a＝2b时，满足a*b＝a2+4b2， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的是①②③， 故选：A． 7．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6． 故选：A． 8．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 解：原来租的土地面积：a2（平方米）． 现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）． ∵a2＞a2﹣16． ∴张老汉的租地面积会减少． 故选：C． 9．（2分）（2021秋•重庆期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0． ∴x6﹣1＝0． ∴x6＝1． ∴（x3）2＝1． ∴x3＝±1． ∴x＝±1． 当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0． 当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2． 故选：D． 10．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（ ） A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等 解：（x+a）（2x+b） ＝2x2+bx+2ax+ab ＝2x2+（b+2a）x+ab， （2x+a）（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab， ∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q， ∴p＝b+2a，q＝2b+a， ∵p+q＝6，且p，q均为正整数， ∴b+2a+2b+a＝6， 整理得：a+b＝2． 又p＝b+2a，q＝2b+a， ∴p＝a+2，q＝b+2． ∴a＝p﹣2，b＝q﹣2． ∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1． ∵p，q均为正整数， ∴p的取值为1，2，3，4，5． ∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3． ∵a＝p﹣2，b＝q﹣2， ∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）． ∵p，q均为正整数， ∴q的取值为1，2，3，4，5． ∴的最大值为1，的最小值为﹣3． 故选项A正确，符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝ ﹣4 ． 解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy ＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy ＝（﹣4xy）÷xy ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 12．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝ 4049 ． 解：设2024﹣A＝m，2023﹣A＝n， ∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1， ∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024， ∴mn＝2024， ∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2 ＝（m﹣n）2+2mn ＝12+2×2024 ＝1+4048 ＝4049， 故答案为：4049． 13．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ． 解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， ∴x+y＝6， ∴（x+y）2＝36， ∴x2+2xy+y2＝36 ∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16， ∴xy＝8， ∴长方形ABCD的面积是8， 故答案为：8． 14．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝ ﹣3 ． 解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2） ＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝ 22023 ． 解：∵x2﹣y2＝4， ∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①， ∴x﹣y＝2②， 由①②解得：x＝2，y＝0， ∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023． 故答案为：22023． 16．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣l； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；… 根据前面的规律，回答问题： 当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝ ． 解：根据规律可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1， ∴， ∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝． 故答案为：． 17．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形． （1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为 a﹣b ； （2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ． 解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 18．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）如图，长为50cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y cm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ． 解：由题意得： 阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝（50x﹣100y﹣3xy+6y2）cm2， 阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝（3xy﹣150y+9y2）cm2， ∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2） ＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2 ＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy ＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x， ∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化， ∴50﹣6y＝0， ∴y＝， 故答案为：． 19．（2分）（2022秋•青云谱区期末）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 10x或﹣10x或 ． 解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2， ∴可添加的项是10x或﹣10x， ②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝， ∴可添加的项是， 综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或， 故答案为：10x或﹣10x或． 20．（2分）（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 4037 ． 解：∵（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1； ∴c1＝20192， ∵（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2， ∴c2＝20182， ∴c1﹣c2＝20192﹣20182＝（2019+2018）（2019﹣2018）＝4037， 故答案为：4037． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算： （1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3； （2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）． 解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3 ＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3 ＝8x3﹣8y3； （2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2） ＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2 ＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2 ＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2 ＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2 ＝10． 22．（6分）（2023秋•雁塔区校级期末）计算： （1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40]； （2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）； （3）先化简再求值：（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2，其中，b＝﹣2． 解：（1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40] ＝﹣16+[32÷（﹣8）﹣16×1] ＝﹣16+（﹣4﹣16） ＝﹣16+（﹣20） ＝﹣36； （2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y） ＝9x2y4•（﹣6x3y） ＝﹣54x5y5； （3）（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2 ＝9a2+6ab+b2﹣（9a2﹣b2）﹣6b2 ＝9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣6b2 ＝6ab﹣4b2， 当，b＝﹣2时，原式＝6×（﹣）×（﹣2）﹣4×（﹣2）2＝4﹣4×4＝4﹣16＝﹣12． 23．（8分）（2022秋•兴县期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：﹣6与8是关于 2 的“平衡数”； （2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值． 解：（1）由题意得，﹣6+8＝2， ∴﹣6与8是关于2的“平衡数”． 故答案为：2． （2）a+b ＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k） ＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k ＝﹣4kx+4x+8﹣2k． 即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k． ∵a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关， ∴k＝1． ∴n＝8﹣2×1＝6． 24．（8分）（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程： 解：设x2﹣2x＝y 原式＝y（y+2）+1（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2﹣2x+1）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为 （x﹣1）4 ； （2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解． 解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4， ∴该同学因式分解的结果不彻底． 故答案为：不彻底，（x﹣1）4． （2）设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4 ＝y2+8y+16 ＝（y+4）2 ＝（x2﹣4x+4）2 ＝（x﹣2）4． 25．（8分）（2023秋•浚县期中）阅读理解： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②， 由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21， ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 活学活用： （1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝ 147 ； （2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式． 解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n）， ∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②， 由①②解得：n＝7，m＝21， ∴mn＝7×21＝147； 故答案为：147； （2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b）， ∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b， ∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b， ∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②， 由①②解得：b＝2，a＝1， ∴另一个因式为（x+2）． 26．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值； （2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值． 拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）． 解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝72﹣2×12 ＝49﹣24 ＝25， ∴a2+b2的值为25； （2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b， ∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2， ∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023， ∴ab＝2023， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝22+2×2023 ＝4+4046 ＝4050， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050； 拓展运用：Rt△ACF的面积＝， 理由：设AC＝a，BC＝b， ∵AB＝m， ∴a+b＝m， ∵S＝S1+S2， ∴S＝a2+b2， ∴Rt△ACF的面积＝AC•CF ＝ab ＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）] ＝． 27．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a﹣b＝4，ab＝1， 所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18． 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： （1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝ 22 ； （2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面积之和． 解：（1）∵（a+b）2＝100，a2+b2＝56， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝100﹣56 ＝44， ∴ab＝22， 故答案为：22； （2）设2023﹣x＝a，x﹣2020＝b， ∴a+b＝2023﹣x+x﹣2020＝3， ∵（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021， ∴a2+b2＝2021， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝9﹣2021 ＝﹣2012， ∴ab＝（2023﹣x）（x﹣2020）＝﹣1006， ∴（2023﹣x）（x﹣2020）的值为﹣1006； （3）∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝10， ∵BC＝6，BE＝DF＝x， ∴CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x， 设CF＝10﹣x＝a，CE＝6﹣x＝b， ∴a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4， ∵长方形CEPF的面积为35， ∴CF•CE＝ab＝35， ∴图中阴影部分的面积之和＝正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积 ＝CF2+CE2 ＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝16+2×35 ＝16+70 ＝86， ∴图中阴影部分的面积之和为86． 28．（8分）（2023春•蚌埠期末）[阅读理解] [迁移运用] 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，求（x﹣2023）（x﹣2026）的值； （2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 解：（1）设 x﹣2023＝a，x﹣2026＝b， ∴a﹣b＝x﹣2023﹣（x﹣2026）＝3， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31， ∴a2+b2＝31， ∴2（x﹣2023）（x﹣2026）＝2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝31﹣32＝31﹣9＝22， ∴（x﹣2023）（x﹣2026）＝11， ∴（x﹣2023）（x﹣2026）的值为11； （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， ∵长方形EMFD的面积是48， ∴FM•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝48， 设x﹣1＝a，x﹣3＝b， ∴ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196， ∴a+b＝14或a+b＝﹣14（舍去）， ∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28， ∴阴影部分的面积是28． 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（9﹣x）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练） 第9章《整式乘法与因式分解》 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.59 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内） 1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（ ） A．a+a2＝a3 B．2a6÷a2＝2a3 C．2a2•3a3＝6a6 D．（3a3）2＝9a6 解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意； B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意； C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意； D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意； 故选：D． 2．（2分）（2023秋•防城区期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 3．（2分）（2023秋•惠安县期末）若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5 解：∵x2+mxy+25y2是一个完全平方式， ∴mxy＝±2•x•5y， 解得m＝±10． 故选：A． 4．（2分）（2023秋•和田地区期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（ ） A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2． 解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 5．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2， 第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 6．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab， ①∵a*b＝0， ∴4ab＝0， ∴a＝0或b＝0， 故①正确； ②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac， a*b+a*c＝4ab+4ac， ∴a*（b+c）＝a*b+a*c， 故②正确； ③∵ab≠0，a*b＝8， ∴4ab＝8， ∴ab＝2， ∴÷ ＝• ＝ ＝ ＝， 故③正确； ④∵a*b＝a2+4b2， ∴4ab＝a2+4b2， ∴a2﹣4ab+4b2＝0， ∴（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b， ∴当a＝2b时，满足a*b＝a2+4b2， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的是①②③， 故选：A． 7．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6． 故选：A． 8．（2分）（2021秋•中山区期末）从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 解：原来租的土地面积：a2（平方米）． 现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）． ∵a2＞a2﹣16． ∴张老汉的租地面积会减少． 故选：C． 9．（2分）（2021秋•重庆期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0． ∴x6﹣1＝0． ∴x6＝1． ∴（x3）2＝1． ∴x3＝±1． ∴x＝±1． 当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0． 当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2． 故选：D． 10．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（ ） A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等 解：（x+a）（2x+b） ＝2x2+bx+2ax+ab ＝2x2+（b+2a）x+ab， （2x+a）（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab， ∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q， ∴p＝b+2a，q＝2b+a， ∵p+q＝6，且p，q均为正整数， ∴b+2a+2b+a＝6， 整理得：a+b＝2． 又p＝b+2a，q＝2b+a， ∴p＝a+2，q＝b+2． ∴a＝p﹣2，b＝q﹣2． ∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1． ∵p，q均为正整数， ∴p的取值为1，2，3，4，5． ∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3． ∵a＝p﹣2，b＝q﹣2， ∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）． ∵p，q均为正整数， ∴q的取值为1，2，3，4，5． ∴的最大值为1，的最小值为﹣3． 故选项A正确，符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）（2023秋•宜阳县期末）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy＝ ﹣4 ． 解：[（x﹣y）2﹣（x+y）2]÷xy ＝（x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2）÷xy ＝（﹣4xy）÷xy ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 12．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝ 4049 ． 解：设2024﹣A＝m，2023﹣A＝n， ∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1， ∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024， ∴mn＝2024， ∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2 ＝（m﹣n）2+2mn ＝12+2×2024 ＝1+4048 ＝4049， 故答案为：4049． 13．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ． 解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， ∴x+y＝6， ∴（x+y）2＝36， ∴x2+2xy+y2＝36 ∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16， ∴xy＝8， ∴长方形ABCD的面积是8， 故答案为：8． 14．（2分）（2023春•历城区校级月考）如果定义一种新运算，规定＝ad﹣bc，请化简：＝ ﹣3 ． 解：由题意得：＝（x﹣1）（x+3）﹣x（x+2） ＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝ 22023 ． 解：∵x2﹣y2＝4， ∴（x+y）（x﹣y）＝4，x+y＝2①， ∴x﹣y＝2②， 由①②解得：x＝2，y＝0， ∴x2023﹣y2023＝22023﹣02023＝22023． 故答案为：22023． 16．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣l； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；… 根据前面的规律，回答问题： 当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝ ． 解：根据规律可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1， ∴， ∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1＝＝． 故答案为：． 17．（2分）（2023春•正定县期中）如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片（a＞b），用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②所示的正方形． （1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为 a﹣b ； （2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ． 解：（1）图②中，中间空余部分的小正方形的边长可表示为a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）由图②可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 18．（2分）（2023春•拱墅区校级期中）如图，长为50cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y cm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ． 解：由题意得： 阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝（50x﹣100y﹣3xy+6y2）cm2， 阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝（3xy﹣150y+9y2）cm2， ∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2） ＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2 ＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy ＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x， ∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化， ∴50﹣6y＝0， ∴y＝， 故答案为：． 19．（2分）（2022秋•青云谱区期末）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 10x或﹣10x或 ． 解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2， ∴可添加的项是10x或﹣10x， ②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝， ∴可添加的项是， 综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或， 故答案为：10x或﹣10x或． 20．（2分）（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 4037 ． 解：∵（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1； ∴c1＝20192， ∵（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2， ∴c2＝20182， ∴c1﹣c2＝20192﹣20182＝（2019+2018）（2019﹣2018）＝4037， 故答案为：4037． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算： （1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3； （2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）． 解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3 ＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3 ＝8x3﹣8y3； （2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2） ＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2 ＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2 ＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2 ＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2 ＝10． 22．（6分）（2023秋•雁塔区校级期末）计算： （1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40]； （2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y）； （3）先化简再求值：（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2，其中，b＝﹣2． 解：（1）﹣42+[32÷（﹣2）3﹣16×40] ＝﹣16+[32÷（﹣8）﹣16×1] ＝﹣16+（﹣4﹣16） ＝﹣16+（﹣20） ＝﹣36； （2）（﹣3xy2）2•（﹣6x3y） ＝9x2y4•（﹣6x3y） ＝﹣54x5y5； （3）（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2 ＝9a2+6ab+b2﹣（9a2﹣b2）﹣6b2 ＝9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣6b2 ＝6ab﹣4b2， 当，b＝﹣2时，原式＝6×（﹣）×（﹣2）﹣4×（﹣2）2＝4﹣4×4＝4﹣16＝﹣12． 23．（8分）（2022秋•兴县期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：﹣6与8是关于 2 的“平衡数”； （2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值． 解：（1）由题意得，﹣6+8＝2， ∴﹣6与8是关于2的“平衡数”． 故答案为：2． （2）a+b ＝6x2﹣4kx+8﹣2（3x2﹣2x+k） ＝6x2﹣4kx+8﹣6x2+4x﹣2k ＝﹣4kx+4x+8﹣2k． 即n＝﹣4kx+4x+8﹣2k＝4（1﹣k）x+8﹣2k． ∵a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关， ∴k＝1． ∴n＝8﹣2×1＝6． 24．（8分）（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的过程： 解：设x2﹣2x＝y 原式＝y（y+2）+1（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2﹣2x+1）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底则，该因式分解的最终结果为 （x﹣1）4 ； （2）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解． 解：（1）∵（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4， ∴该同学因式分解的结果不彻底． 故答案为：不彻底，（x﹣1）4． （2）设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4 ＝y2+8y+16 ＝（y+4）2 ＝（x2﹣4x+4）2 ＝（x﹣2）4． 25．（8分）（2023秋•浚县期中）阅读理解： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， ∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n， ∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②， 由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21， ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 活学活用： （1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝ 147 ； （2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式． 解：（1）∵x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n）， ∴（x﹣3）（x+n）＝x（x+n）﹣3（x+n）＝x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴x2+4x﹣m＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴由等式恒等原理可知：n﹣3＝4①，﹣m＝﹣3n②， 由①②解得：n＝7，m＝21， ∴mn＝7×21＝147； 故答案为：147； （2）设另一个因式为（x+b），得2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+b）， ∵（2x﹣3）（x+b）＝2x（x+b）﹣3（x+b）＝2x2+2bx﹣3x﹣3b＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b， ∴2x2+ax﹣6＝2x2+（2b﹣3）x﹣3b， ∴由等式恒等原理可知：﹣3b＝﹣6①，a＝2b﹣3②， 由①②解得：b＝2，a＝1， ∴另一个因式为（x+2）． 26．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值； （2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值． 拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）． 解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝72﹣2×12 ＝49﹣24 ＝25， ∴a2+b2的值为25； （2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b， ∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2， ∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023， ∴ab＝2023， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝22+2×2023 ＝4+4046 ＝4050， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050； 拓展运用：Rt△ACF的面积＝， 理由：设AC＝a，BC＝b， ∵AB＝m， ∴a+b＝m， ∵S＝S1+S2， ∴S＝a2+b2， ∴Rt△ACF的面积＝AC•CF ＝ab ＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）] ＝． 27．（8分）（2023春•定边县期末）将两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例：若a﹣b＝4，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a﹣b＝4，ab＝1， 所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18． 根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： （1）已知a2+b2＝56，（a+b）2＝100，则ab＝ 22 ； （2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为35，求图中阴影部分的面积之和． 解：（1）∵（a+b）2＝100，a2+b2＝56， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝100﹣56 ＝44， ∴ab＝22， 故答案为：22； （2）设2023﹣x＝a，x﹣2020＝b， ∴a+b＝2023﹣x+x﹣2020＝3， ∵（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021， ∴a2+b2＝2021， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝9﹣2021 ＝﹣2012， ∴ab＝（2023﹣x）（x﹣2020）＝﹣1006， ∴（2023﹣x）（x﹣2020）的值为﹣1006； （3）∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝10， ∵BC＝6，BE＝DF＝x， ∴CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x， 设CF＝10﹣x＝a，CE＝6﹣x＝b， ∴a﹣b＝10﹣x﹣（6﹣x）＝4， ∵长方形CEPF的面积为35， ∴CF•CE＝ab＝35， ∴图中阴影部分的面积之和＝正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积 ＝CF2+CE2 ＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝16+2×35 ＝16+70 ＝86， ∴图中阴影部分的面积之和为86． 28．（8分）（2023春•蚌埠期末）[阅读理解] [迁移运用] 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31，求（x﹣2023）（x﹣2026）的值； （2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 解：（1）设 x﹣2023＝a，x﹣2026＝b， ∴a﹣b＝x﹣2023﹣（x﹣2026）＝3， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2026）2＝31， ∴a2+b2＝31， ∴2（x﹣2023）（x﹣2026）＝2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝31﹣32＝31﹣9＝22， ∴（x﹣2023）（x﹣2026）＝11， ∴（x﹣2023）（x﹣2026）的值为11； （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， ∵长方形EMFD的面积是48， ∴FM•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝48， 设x﹣1＝a，x﹣3＝b， ∴ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196， ∴a+b＝14或a+b＝﹣14（舍去）， ∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28， ∴阴影部分的面积是28． 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（9﹣x）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
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