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第9章《整式乘法与因式分解》（导图+知识梳理+十四大考点讲练）-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）
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这是一份第9章《整式乘法与因式分解》（导图+知识梳理+十四大考点讲练）-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版），文件包含第9章整式乘法与因式分解教师版docx、第9章整式乘法与因式分解学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练 第9章 整式乘法与因式分解 （思维导图+知识梳理+十四大重点考向举一反三讲练） 1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 知识点01：幂的运算 【高频考点精讲】 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法 【高频考点精讲】 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点04：因式分解 【高频考点精讲】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 重点考向01：完全平方公式 重点考向02：完全平方公式的几何背景 重点考向03：完全平方式 重点考向04：平方差公式 重点考向05：平方差公式的几何背景 重点考向06：整式的除法 重点考向07：整式的混合运算 重点考向08：整式的混合运算—化简求值 重点考向09：因式分解-提公因式法 重点考向10：因式分解-运用公式法 重点考向11：提公因式法与公式法的综合运用 重点考向12：因式分解-分组分解法 重点考向13：因式分解-十字相乘法等 重点考向14：因式分解的应用 重点考向01：完全平方公式 【典例精讲】（2023春•绍兴期中）设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（ ） A．30ab B．60ab C．15a D．12ab 【思路点拨】已知等式利用完全平方公式化简，即可确定出A． 【规范解答】解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A， ∴A＝（5a+3b）2﹣（5a﹣3b）2 ＝25a2+30ab+9b2﹣（25a2﹣30ab+9b2） ＝25a2+30ab+9b2﹣25a2+30ab﹣9b2 ＝60ab． 故选：B． 【考点评析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•浦东新区期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝ 10 ． 【思路点拨】利用非负数的性质求出x+y与xy的值，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值． 【规范解答】解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0， ∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3， 则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10． 故答案为：10． 【考点评析】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键． 【变式训练1-2】（2023秋•静宁县校级期末）已知：x+y＝3，xy＝1，试求： （1）x2+y2的值； （2）（x﹣y）2的值． 【思路点拨】（1）根据（x+y）2＝x2+2xy+y2，变形即可； （2）根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，整体代入计算． 【规范解答】解：（1）x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝9﹣2 ＝7； （2）（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy ＝9﹣4 ＝5． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的变形运用．熟练掌握公式及其变形的方法是解题的关键． 重点考向02：完全平方公式的几何背景 【典例精讲】（2023秋•东城区期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ） A．28 B．29 C．30 D．31 【思路点拨】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解． 【规范解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）， ∴y＝z﹣2＝﹣1， ∴ID＝﹣1，DJ＝1+， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． 【变式训练2-1】（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为 20 ． 【思路点拨】分析图形可得，四边形ABCD的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案． 【规范解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积 ＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b） ＝（a2+b2﹣ab） ＝（a2+b2+2ab﹣3ab） ＝[（a+b）2﹣3ab]； 代入a+b＝10，ab＝20，可得： 四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20． 故答案为：20． 【考点评析】此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值． 【变式训练2-2】（2023秋•青铜峡市期末）动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形． 提出问题： （1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： （a﹣b）2 ， （a+b）2﹣4ab ； （2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； 问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值． 【思路点拨】（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积； （2）可得等量关系为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解． 【规范解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2 （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 问题解决： （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy ∵x+y＝8，xy＝7． ∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36． ∴x﹣y＝±6 故答案为：（1）（a﹣b）2； （a+b）2﹣4ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 重点考向03：完全平方式 【典例精讲】（2023秋•谢通门县期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ） A．22 B．﹣22 C．±22 D．0 【思路点拨】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和11积的2倍，故a＝±22． 【规范解答】解：∵（x±11）2＝x2±22x+121， ∴在x2+ax+121中，a＝±22． 故选：C． 【考点评析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 【变式训练3-1】（2023春•丹阳市期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a，b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为 6 ． 【思路点拨】根据完全平方公式进行判断，画出相应的图形即可． 【规范解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼成一个边长为a+b的正方形； ②（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为a+2b的正方形； ③（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为2a+b的正方形； ④（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片8张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为2a+2b的正方形； ⑤（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，即可以用甲正方形纸片9张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为3a+b的正方形； ⑥（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片9张，拼成一个边长为a+3b的正方形； 综上所述，共有6种不同的正方形． 故答案为：6． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可． 【变式训练3-2】（2023秋•衡山县期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题： （1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为（a+b）的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积． ①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： （a﹣b2） ； ②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： a2﹣2ab+b2 ； （2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ； （3）若a+b＝6，ab＝8，求图2中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）①根据阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，求出阴影部分正方形的边长，进而求出面积； ②根据较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求出答案； （2）由①②的计算结果可得答案； （3）根据图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积，算出阴影部分的面积，再把已知条件整体代入即可． 【规范解答】解：（1）①由图形可知：阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽＝a﹣b， ∴面积为（a﹣b）2， 故答案为：（a﹣b）2； ②∵较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴阴影部分正方形面积＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2； 故答案为：a2﹣2ab+b2； （2）根据图1中的阴影部分的面积关系可以写出一个代数恒等式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （3）∵图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积， ∴图2中阴影部分的面积＝ ＝ ＝ ＝ ＝18﹣4 ＝14． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握应用乘法公式． 重点考向04：平方差公式 【典例精讲】（2023秋•邻水县期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的，面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】设大、小正方形边长为a、b，则a2＝15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积． 【规范解答】解：设大、小正方形边长为a、b， 则有a2＝15，阴影部分面积为：， 即a2﹣b2＝12， 可得b2＝3， 即所求面积是3． 故选：A． 【考点评析】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 【变式训练4-1】（2023秋•凉州区校级期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝ x+z ． 【思路点拨】本题是平方差公式的应用，x+z是相同的项，互为相反项是y与﹣y，（x+y+z）（x﹣y+z）＝（x+z+y）（x+z﹣y），且B＝y，即可求出A． 【规范解答】解：∵（x+y+z）（x﹣y+z）， ＝（x+z+y）（x+z﹣y）， ＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]， ＝（A+B）（A﹣B）， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【考点评析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题要把x+y看成一个整体． 【变式训练4-2】（2023秋•德惠市校级期末）问题1 阅读例题的解答过程，并解答（1）（2） 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 ＝（200﹣5）（200+5）① ＝2002﹣52 ② ＝39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是 平方差公式 ； （2）用简便方法计算：9×11×101． 【思路点拨】（1）平方差公式； （2）转化成（100+1）×（100﹣1），根据平方差公式展开，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）第②步变形依据是平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）9×11×101 ＝（10﹣1）（10+1）×101 ＝99×101 ＝（100﹣1）（100+1） ＝10000﹣1 ＝9999． 【考点评析】本题考查了平方差公式的应用，关键是把原式转化成1002﹣1． 重点考向05：平方差公式的几何背景 【典例精讲】（2023秋•绥中县期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【规范解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2， 矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【变式训练5-1】（2023春•萧山区期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为 6 ． 【思路点拨】设A的边长为a，B的边长为b，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，列方程组可得结论． 【规范解答】解：设A的边长为a，B的边长为b， 根据题意得：， 整理得：， 解得：b2＝6， ∴正方形B的面积为6． 故答案为：6． 【考点评析】此题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的计算法则，正确理解图形中各部分之间的关系，利用完全平方公式进行计算是解题的关键． 【变式训练5-2】（2023秋•凤山县期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 a+b ；宽为 a﹣b ；面积为 （a+b）（a﹣b） ． （2）由（1）可以得到一个公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． （3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020． 【思路点拨】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解：（1）根据题意可得： 图1阴影部分的面积＝， 图2长方形的长为：a+b， 图2长方形的宽为：a﹣b， ∴面积为：（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）20222﹣2024×2020 ＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2） ＝20222﹣（20222﹣4） ＝20222﹣20222+4 ＝4． 【考点评析】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． 重点考向06：整式的除法 【典例精讲】（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ） A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 【思路点拨】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可． 【规范解答】解：根据题意，得 纸盒底部长方形的宽为＝4a， ∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b． 故选：D． 【考点评析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽． 【变式训练6-1】（2023秋•衡山县期末）计算：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝ ﹣2a2b3+ab2 ． 【思路点拨】利用整式除法法则，每一项都除以﹣2ab即可． 【规范解答】解：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝﹣2a2b3+ab2， 故答案为：﹣2a2b3+ab2． 【考点评析】本题考查了整式的除法运算，是基础题，要熟练掌握多项式除以单项式的法则． 【变式训练6-2】（2023春•雨城区校级期中）观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1… 观察上面的规律计算：1+2+22+…+262+263＝ 264﹣1 ． 【思路点拨】先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+262+263＝（263+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可． 【规范解答】解：根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1）， ∴1+2+22+…+262+263 ＝（263+1﹣1）÷（2﹣1） ＝264﹣1． 故答案为：264﹣1． 【考点评析】本题考查了整式的除法，关键是通过观察找出规律，再根据规律进行计算． 重点考向07：整式的混合运算 【典例精讲】（2023秋•桦南县期末）如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（ ） A．4a﹣8b B．2a﹣3b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 【思路点拨】根据图形表示出新矩形的长与宽，即可确定出周长． 【规范解答】解：根据题意得：新矩形的长为a﹣b，宽为a﹣3b， 则新矩形周长为2（a﹣b+a﹣3b）＝2（2a﹣4b）＝4a﹣8b， 故选：A． 【考点评析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练7-1】（2023春•建邺区校级期中）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝3时，S1﹣S2＝ 3b ． 【思路点拨】根据图形分别表示出S1和S2，然后相减即可． 【规范解答】解：如图1，， 如图2，， ∴S1﹣S2＝bm﹣bn＝b（m﹣n）， ∵m﹣n＝3， ∴S1﹣S2＝3b． 故答案为：3b． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积． 【变式训练7-2】（2023春•高港区期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ab﹣cd+1，例如：（1，3）*（2，4）＝1×3﹣4×2+1＝﹣4． （1）求（4，3）*（﹣2，5）的值； （2）若m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1），n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）． ①若a2+2a﹣1＝0，求m的值； ②判断m、n的大小，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据规定符号运算即可； （2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可． 【规范解答】解：（1）根据规定符号运算得： （4，3）*（﹣2，5）＝4×3﹣（﹣2）×5+1＝12+10+1＝23； （2）①∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1． m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1）＝﹣a2﹣2（a﹣1）+1＝﹣a2﹣2a+3＝﹣（a2+2a）+3＝﹣1+3＝2， m＝2； ②n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）＝3（﹣2a﹣1）﹣2（a2﹣2a）+1＝﹣6a﹣3﹣2a2+4a+1＝﹣2a2﹣2a+2， m﹣n＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣2a2﹣2a+2）＝﹣a2﹣2a+3+2a2+2a﹣2＝a2+1＞0， ∴m＞n． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键． 重点考向08：整式的混合运算—化简求值 【典例精讲】（2022秋•沙坪坝区校级期末）关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均为常数）关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e＝6； ③a+b+c＝9； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】先根据整式的加减求出A+B的值，再根据A+B为关于x的三次三项式即可判断①；先根据多项式的乘法法则求出A•B的值，再根据乘积中不含x⁴项即可判断②；分别求出当x＝1和x＝2时，求出A的值，由此即可判断③． 【规范解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f， ∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10， ∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数， ∴f+10＝0， 解得：f＝﹣10，说法①正确； A•B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f） ＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f ＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f， ∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项， ∴5e﹣6＝0， 解得e＝1.2，说法②错误； A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d， 当x＝1时，d＝5﹣6+10＝9， 当x＝2时，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26， 则a+b+c＝17，说法③错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 【变式训练8-1】．（2024•雁塔区校级开学）若a满足（a﹣2023）2+（2024﹣a）2＝2029，则（2023﹣a）（2024﹣a）＝ 1014 ． 【思路点拨】设2024﹣a＝m，2023﹣a＝n，则m﹣n＝1，根据完全平方公式和已知条件可得（m﹣n）2+2mn＝2029，即可解答． 【规范解答】解：设2024﹣a＝m，2023﹣a＝n， ∴m﹣n＝2024﹣a﹣（2023﹣a）＝2024﹣a﹣2023+a＝1， ∵（2023﹣a）2+（2024﹣a）2＝2029， ∴（m﹣n）2+2mn＝2029， ∴12+2mn＝2029， ∴mn＝1014， ∴（2023﹣a）（2024﹣a）＝mn＝1014． 故答案为：1014． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练8-2】（2023秋•翠屏区期末）对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b、a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： （1）若（a+b）2＝20，ab＝4，则a﹣b＝ ±2 ； （2）若x满足（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，求（65﹣x）（x﹣50）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E、F分别是边AD、AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE、AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为56，求图中两个正方形的面积之和． 【思路点拨】（1）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，进行计算即可解答； （2）设65﹣x＝a，x﹣50＝b，则a+b＝15，a2+b2＝325，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得：AE＝8﹣a，AF＝12﹣a，然后设8﹣a＝m，12﹣a＝n，则n﹣m＝4，再根据已知可得：AE•AF＝56，从而可得mn＝56，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）∵（a+b）2＝20，ab＝4， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝20﹣4×4 ＝20﹣16 ＝4， ∴a﹣b＝±2， 故答案为：±2； （2）设65﹣x＝a，x﹣50＝b， ∴a+b＝65﹣x+x﹣50＝15， ∵（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325， ∴a2+b2＝325， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝152﹣325， ＝225﹣325 ＝﹣100， ∴ab＝﹣50， ∴（65﹣x）（x﹣50）＝﹣50； （3）∵AB＝12，BC＝8，DE＝BF＝a， ∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝8﹣a，AF＝AB﹣BF＝12﹣a， 设8﹣a＝m，12﹣a＝n， ∴n﹣m＝12﹣a﹣（8﹣a）＝4， ∵长方形AFGE的面积为56， ∴AE•AF＝（8﹣a）（12﹣a）＝56， ∴mn＝56， ∴图中两个正方形的面积之和＝AE2+AF2 ＝（8﹣a）2+（12﹣a）2 ＝m2+n2 ＝（n﹣m）2+2mn ＝42+2×56 ＝16+112 ＝128， ∴图中两个正方形的面积之和为128． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 重点考向09：因式分解-提公因式法 【典例精讲】（2022秋•泰山区校级月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【思路点拨】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可． 【规范解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3）， ＝b（x﹣3）（b+1）． 故选：B． 【考点评析】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1． 【变式训练9-1】（2023春•新化县期末）计算：20232﹣2023×2022＝ 2023 ． 【思路点拨】运用提公因式法进行简便运算． 【规范解答】解：20232﹣2023×2022 ＝2023×（2023﹣2022） ＝2023×1 ＝2023． 故答案为：2023． 【考点评析】本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键． 【变式训练9-2】（2023春•南海区校级期中）6a2b+2a＝ 2a（3ab+1） ． 【思路点拨】首先找出多项式的公因式进而提取公因式得出即可． 【规范解答】解：6a2b+2a＝2a（3ab+1）． 故答案为：2a（3ab+1）． 【考点评析】本题考查了提取公因式法因式分解因式，正确得出多项式的公因式是解题关键． 【变式训练9-3】（2023春•昌黎县期末）下面是某同学对多项式（m2﹣4m）（m2﹣4m+8）+16进行因式分解的过程． 解：设m2﹣4m＝n， 原式＝n（n+8）+16（第一步）， ＝n2+8n+16（第二步）， ＝（n+4）2（第三步）， ＝（m2﹣4m+4）2（第四步）， （1）该同学第二步到第三步运用 完全平方公式 进行因式分解． （2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x+4）（x2﹣2x﹣2）+9进行因式分解． 【思路点拨】（1）从第三步的结果得出结论； （2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论； （3）设x2﹣2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解． 【规范解答】解：（1）由n2+8n+16＝（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式， 故答案为：完全平方公式． （2）该同学没有完成因式分解， （m2﹣4m+4）2＝[（m﹣2）2]2＝（m﹣2）4， （3）设x2﹣2x＝y， 则原式＝（y+4）（y﹣2）+9 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 【考点评析】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点． 重点考向10：因式分解-运用公式法 【典例精讲】（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【规范解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【考点评析】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 【变式训练10-1】（2023•五华区校级模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝ （x﹣3）2 ． 【思路点拨】原式利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】解：原式＝（x﹣3）2． 故答案为：（x﹣3）2 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练10-2】（2022•峄城区校级模拟）分解因式：（x﹣5）（x+11）+64＝ （x+3）2 ． 【思路点拨】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果． 【规范解答】解：原式＝x2+11x﹣5x﹣55+64 ＝x2+6x+9 ＝（x+3）2， 故答案为：（x+3）2． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键． 【变式训练10-3】（2023春•沙坪坝区校级期中）观察下列等式的规律，解答下列问题： 第1个等式：a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）； 第2个等式：a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1）； 第3个等式：a4﹣1＝（a﹣1）（a3+a2+a2+a+1）； 第4个等式：a5+1＝（a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）；… （1）请直接写出第5个等式： a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1） ；第6个等式： a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1） ； （2）计算；①（3﹣1）（35+33+34+32+3+1）＝ 728 ； ②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝ 547 ； （3）计算：（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4． 【思路点拨】（1）根据所给的等式的形式，即可写出答案； （2）利用所给的等式的规律进行求解即可； （3）利用所给的等式的规律进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据规律得：第5个等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）， 第6个等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）； 故答案为：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）； （2）根据规律得：①（3﹣1）×（35+33+34+32+3+1） ＝36﹣1 ＝728； ②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1 ＝×（3+1）×（36﹣35+34﹣33+32﹣3+1） ＝×（37+1） ＝547； 故答案为：①728，547； （3）（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4 ＝410+210+49﹣29+48+28+47﹣27+…+42+22+4 ＝（410+49+48+47+…+42+4+1）+（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1） ＝×（4﹣1）×（410+49+48+47+…+42+4+1）+×（2+1）×（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1） ＝×（411﹣1）+×（211+1） ＝×411+×211． 【考点评析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 重点考向11：提公因式法与公式法的综合运用 【典例精讲】（2023秋•大同期末）下列因式分解正确的是（ ） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y） 【思路点拨】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可． 【规范解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意； B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意； C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意； D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是正确应用的前提． 【变式训练11-1】（2023•威远县校级二模）因式分解：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ． 【思路点拨】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9） ＝3（a+3）（a﹣3）． 故答案为：3（a+3）（a﹣3）． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键． 【变式训练11-2】（2023春•兴化市期末）分解因式： （1）2x2﹣2； （2）﹣x3+2x2y﹣xy2； （3）（x2+1）2﹣4x2． 【思路点拨】（1）首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）首先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：（1）2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x+1）（x﹣1）； （2）﹣x3+2x2y﹣xy2 ＝﹣x（x2﹣2xy+y2） ＝﹣x（x﹣y）2； （3）（x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 重点考向12：因式分解-分组分解法 【典例精讲】下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ） （1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）； （3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解． 【规范解答】解：（1）分组错误，无法继续分解因式； （2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）可用完全平方公式和平方差公式分解； （3）分组错误，无法继续分解因式； （4）（x2﹣y2）+（mx+my）用平方差公式和提公因式法继续分解因式． 故选：B． 【考点评析】本题考查用分组分解法进行因式分解，难点是分组后能否继续分解． 【变式训练12-1】2023春•阳山县期中）分解因式：x3+3x2﹣4＝ （x﹣1）（x+2）2 ． 【思路点拨】先把﹣4分为﹣1与﹣3，分组分解，然后提公因式后利用完全平方公式分解． 【规范解答】解：原式＝x3﹣1+3x2﹣3 ＝（x﹣1）（x2+x+1）+3（x+1）（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x+1+3x+3） ＝（x﹣1）（x2+4x+4） ＝（x﹣1）（x+2）2． 故答案为（x﹣1）（x+2）2． 【考点评析】本题考查了因式分解﹣分组分解法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法．解决此题的关键是把﹣4分为﹣1与﹣3，再利用分组分解法分解． 【变式训练12-2】（2022春•桂平市期中）观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ①ad﹣ac﹣bd+bc ②x2﹣y2﹣6x+9 （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 【思路点拨】（1）①利用分组后直接提公因式分解； ②利用分组后直接运用公式分解； （2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论． 【规范解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc） ＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c） ＝（d﹣c）（a﹣b） ②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2 ＝（x﹣3）2﹣y2 ＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y） （2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1] ＝（1+x）（1+x）n ＝（1+x）n+1 【考点评析】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键． 重点考向13：因式分解-十字相乘法等 【典例精讲】（2023秋•阳信县期末）下列因式分解错误的是（ ） A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+xy＝x（x+y） C．x3+6x2+9x＝x（x+3）2 D．x2﹣7x+12＝x（x﹣7）+12 【思路点拨】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论． 【规范解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意； B、原式＝x（x+y），不符合题意； C、原式＝x（x+3）2，不符合题意； D、原式＝（x﹣3）（x﹣4），符合题意． 故选：D． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣十字相乘法等以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式训练13-1】（2022春•杭州期中）分解因式：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13＝ （x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7） ． 【思路点拨】利用因式分解﹣十字相乘法，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13 ＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣20）+13， ＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+120+13 ＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+133 ＝（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7）， 故答案为：（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7）． 【考点评析】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练13-2】（2023春•海曙区期中）【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例2：分解因式：x3+5x﹣6 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝ （x+4）（x﹣2） ； （2）分解因式：x4+4＝ （x2+2+2x）（x2+2﹣2x） ； （3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝ 10 时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值． 【思路点拨】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答； （2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答； （3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可； （4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）x2+2x﹣8 ＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1+3）（x+1﹣3） ＝（x+4）（x﹣2）． 故答案为：（x+4）（x﹣2）． （2）x4+4 ＝x4+4+4x2﹣4x2 ＝（x2+2）2﹣4x2 ＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）． 故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）． （3）∵x2﹣20x+111 ＝x2﹣20x+100﹣100+111 ＝（x﹣10）2+11， ∴当x＝10时，有最小值． 故答案为：10． （4）M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18 ＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18， ∵若M恰能表示成A2+B2的形式， ∴m﹣18＝0， ∴m＝18， 答：m的值为18． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 重点考向14：因式分解的应用 【典例精讲】（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 3 ． 【思路点拨】已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值． 【规范解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21， 得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1， 同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， ＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）， ＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]， ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]， ＝×（1+1+4）＝3． 故答案为3． 【考点评析】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键． 【变式训练14-1】（2023春•天元区校级期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那么c2+18a+18b﹣446的最小值为 17 ． 【思路点拨】根据三角形的周长得到a+b＝30﹣c，整体代入c2+18a+18b﹣446，得到（c﹣9）2+13，利用三角形的三边关系求出10＜c＜15，根据c是整数，利用完全平方式的非负性求出最小值即可． 【规范解答】解：∵△ABC的周长为30． ∴a+b+c＝30． ∴a+b＝30﹣c， 而a+b＞c， 则30﹣c＞c， ∴c＜15， ∵a＜b＜c， ∴10＜c＜15， ∴c2+18a+18b﹣446 ＝c2+18（a+b）﹣446 ＝c2+18（30﹣c）﹣446 ＝（c﹣9）2+13， ∵c是整数， ∴当c＝11时，c2+18a+18b﹣446的值最小，且为17． 故答案为：17． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，正确求出c的取值范围． 【变式训练14-2】（2023秋•淮阳区期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ； （2）猜测（a+b+c+d）2＝ a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即可； （2）根据（1）中等式，猜想得出； （3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算； （4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系． 【规范解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd， 故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd； （3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴122＝2×48+（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48； （4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48， ∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴该三角形是等边三角形． 【考点评析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是（3）中对等式进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练 第9章 整式乘法与因式分解 （思维导图+知识梳理+十四大重点考向举一反三讲练） 1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 知识点01：幂的运算 【高频考点精讲】 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法 【高频考点精讲】 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点04：因式分解 【高频考点精讲】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 重点考向01：完全平方公式 重点考向02：完全平方公式的几何背景 重点考向03：完全平方式 重点考向04：平方差公式 重点考向05：平方差公式的几何背景 重点考向06：整式的除法 重点考向07：整式的混合运算 重点考向08：整式的混合运算—化简求值 重点考向09：因式分解-提公因式法 重点考向10：因式分解-运用公式法 重点考向11：提公因式法与公式法的综合运用 重点考向12：因式分解-分组分解法 重点考向13：因式分解-十字相乘法等 重点考向14：因式分解的应用 重点考向01：完全平方公式 【典例精讲】（2023春•绍兴期中）设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（ ） A．30ab B．60ab C．15a D．12ab 【思路点拨】已知等式利用完全平方公式化简，即可确定出A． 【规范解答】解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A， ∴A＝（5a+3b）2﹣（5a﹣3b）2 ＝25a2+30ab+9b2﹣（25a2﹣30ab+9b2） ＝25a2+30ab+9b2﹣25a2+30ab﹣9b2 ＝60ab． 故选：B． 【考点评析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•浦东新区期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝ 10 ． 【思路点拨】利用非负数的性质求出x+y与xy的值，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值． 【规范解答】解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0， ∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3， 则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10． 故答案为：10． 【考点评析】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键． 【变式训练1-2】（2023秋•静宁县校级期末）已知：x+y＝3，xy＝1，试求： （1）x2+y2的值； （2）（x﹣y）2的值． 【思路点拨】（1）根据（x+y）2＝x2+2xy+y2，变形即可； （2）根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，整体代入计算． 【规范解答】解：（1）x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝9﹣2 ＝7； （2）（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy ＝9﹣4 ＝5． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的变形运用．熟练掌握公式及其变形的方法是解题的关键． 重点考向02：完全平方公式的几何背景 【典例精讲】（2023秋•东城区期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ） A．28 B．29 C．30 D．31 【思路点拨】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解． 【规范解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）， ∴y＝z﹣2＝﹣1， ∴ID＝﹣1，DJ＝1+， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． 【变式训练2-1】（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为 20 ． 【思路点拨】分析图形可得，四边形ABCD的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案． 【规范解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积 ＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b） ＝（a2+b2﹣ab） ＝（a2+b2+2ab﹣3ab） ＝[（a+b）2﹣3ab]； 代入a+b＝10，ab＝20，可得： 四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20． 故答案为：20． 【考点评析】此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值． 【变式训练2-2】（2023秋•青铜峡市期末）动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形． 提出问题： （1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： （a﹣b）2 ， （a+b）2﹣4ab ； （2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； 问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值． 【思路点拨】（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积； （2）可得等量关系为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解． 【规范解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2 （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 问题解决： （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy ∵x+y＝8，xy＝7． ∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36． ∴x﹣y＝±6 故答案为：（1）（a﹣b）2； （a+b）2﹣4ab； （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 重点考向03：完全平方式 【典例精讲】（2023秋•谢通门县期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（ ） A．22 B．﹣22 C．±22 D．0 【思路点拨】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2这里首末两项是x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和11积的2倍，故a＝±22． 【规范解答】解：∵（x±11）2＝x2±22x+121， ∴在x2+ax+121中，a＝±22． 故选：C． 【考点评析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 【变式训练3-1】（2023春•丹阳市期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a，b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为 6 ． 【思路点拨】根据完全平方公式进行判断，画出相应的图形即可． 【规范解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼成一个边长为a+b的正方形； ②（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为a+2b的正方形； ③（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为2a+b的正方形； ④（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片8张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为2a+2b的正方形； ⑤（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，即可以用甲正方形纸片9张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为3a+b的正方形； ⑥（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片6张，丙正方形纸片9张，拼成一个边长为a+3b的正方形； 综上所述，共有6种不同的正方形． 故答案为：6． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可． 【变式训练3-2】（2023秋•衡山县期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题： （1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为（a+b）的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积． ①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： （a﹣b2） ； ②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： a2﹣2ab+b2 ； （2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ； （3）若a+b＝6，ab＝8，求图2中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）①根据阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，求出阴影部分正方形的边长，进而求出面积； ②根据较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求出答案； （2）由①②的计算结果可得答案； （3）根据图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积，算出阴影部分的面积，再把已知条件整体代入即可． 【规范解答】解：（1）①由图形可知：阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽＝a﹣b， ∴面积为（a﹣b）2， 故答案为：（a﹣b）2； ②∵较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴阴影部分正方形面积＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2； 故答案为：a2﹣2ab+b2； （2）根据图1中的阴影部分的面积关系可以写出一个代数恒等式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （3）∵图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积， ∴图2中阴影部分的面积＝ ＝ ＝ ＝ ＝18﹣4 ＝14． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握应用乘法公式． 重点考向04：平方差公式 【典例精讲】（2023秋•邻水县期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的，面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】设大、小正方形边长为a、b，则a2＝15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积． 【规范解答】解：设大、小正方形边长为a、b， 则有a2＝15，阴影部分面积为：， 即a2﹣b2＝12， 可得b2＝3， 即所求面积是3． 故选：A． 【考点评析】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 【变式训练4-1】（2023秋•凉州区校级期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝ x+z ． 【思路点拨】本题是平方差公式的应用，x+z是相同的项，互为相反项是y与﹣y，（x+y+z）（x﹣y+z）＝（x+z+y）（x+z﹣y），且B＝y，即可求出A． 【规范解答】解：∵（x+y+z）（x﹣y+z）， ＝（x+z+y）（x+z﹣y）， ＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]， ＝（A+B）（A﹣B）， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【考点评析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题要把x+y看成一个整体． 【变式训练4-2】（2023秋•德惠市校级期末）问题1 阅读例题的解答过程，并解答（1）（2） 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 ＝（200﹣5）（200+5）① ＝2002﹣52 ② ＝39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是 平方差公式 ； （2）用简便方法计算：9×11×101． 【思路点拨】（1）平方差公式； （2）转化成（100+1）×（100﹣1），根据平方差公式展开，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）第②步变形依据是平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）9×11×101 ＝（10﹣1）（10+1）×101 ＝99×101 ＝（100﹣1）（100+1） ＝10000﹣1 ＝9999． 【考点评析】本题考查了平方差公式的应用，关键是把原式转化成1002﹣1． 重点考向05：平方差公式的几何背景 【典例精讲】（2023秋•绥中县期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【规范解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2， 矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【变式训练5-1】（2023春•萧山区期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为 6 ． 【思路点拨】设A的边长为a，B的边长为b，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，列方程组可得结论． 【规范解答】解：设A的边长为a，B的边长为b， 根据题意得：， 整理得：， 解得：b2＝6， ∴正方形B的面积为6． 故答案为：6． 【考点评析】此题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的计算法则，正确理解图形中各部分之间的关系，利用完全平方公式进行计算是解题的关键． 【变式训练5-2】（2023秋•凤山县期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 a+b ；宽为 a﹣b ；面积为 （a+b）（a﹣b） ． （2）由（1）可以得到一个公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． （3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020． 【思路点拨】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解：（1）根据题意可得： 图1阴影部分的面积＝， 图2长方形的长为：a+b， 图2长方形的宽为：a﹣b， ∴面积为：（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）20222﹣2024×2020 ＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2） ＝20222﹣（20222﹣4） ＝20222﹣20222+4 ＝4． 【考点评析】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． 重点考向06：整式的除法 【典例精讲】（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ） A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 【思路点拨】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可． 【规范解答】解：根据题意，得 纸盒底部长方形的宽为＝4a， ∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b． 故选：D． 【考点评析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽． 【变式训练6-1】（2023秋•衡山县期末）计算：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝ ﹣2a2b3+ab2 ． 【思路点拨】利用整式除法法则，每一项都除以﹣2ab即可． 【规范解答】解：（4a3b4﹣2a2b3）÷（﹣2ab）＝﹣2a2b3+ab2， 故答案为：﹣2a2b3+ab2． 【考点评析】本题考查了整式的除法运算，是基础题，要熟练掌握多项式除以单项式的法则． 【变式训练6-2】（2023春•雨城区校级期中）观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1… 观察上面的规律计算：1+2+22+…+262+263＝ 264﹣1 ． 【思路点拨】先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+262+263＝（263+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可． 【规范解答】解：根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1）， ∴1+2+22+…+262+263 ＝（263+1﹣1）÷（2﹣1） ＝264﹣1． 故答案为：264﹣1． 【考点评析】本题考查了整式的除法，关键是通过观察找出规律，再根据规律进行计算． 重点考向07：整式的混合运算 【典例精讲】（2023秋•桦南县期末）如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（ ） A．4a﹣8b B．2a﹣3b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 【思路点拨】根据图形表示出新矩形的长与宽，即可确定出周长． 【规范解答】解：根据题意得：新矩形的长为a﹣b，宽为a﹣3b， 则新矩形周长为2（a﹣b+a﹣3b）＝2（2a﹣4b）＝4a﹣8b， 故选：A． 【考点评析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练7-1】（2023春•建邺区校级期中）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝3时，S1﹣S2＝ 3b ． 【思路点拨】根据图形分别表示出S1和S2，然后相减即可． 【规范解答】解：如图1，， 如图2，， ∴S1﹣S2＝bm﹣bn＝b（m﹣n）， ∵m﹣n＝3， ∴S1﹣S2＝3b． 故答案为：3b． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积． 【变式训练7-2】（2023春•高港区期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ab﹣cd+1，例如：（1，3）*（2，4）＝1×3﹣4×2+1＝﹣4． （1）求（4，3）*（﹣2，5）的值； （2）若m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1），n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）． ①若a2+2a﹣1＝0，求m的值； ②判断m、n的大小，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据规定符号运算即可； （2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可． 【规范解答】解：（1）根据规定符号运算得： （4，3）*（﹣2，5）＝4×3﹣（﹣2）×5+1＝12+10+1＝23； （2）①∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1． m＝（﹣1，a2）*（2，a﹣1）＝﹣a2﹣2（a﹣1）+1＝﹣a2﹣2a+3＝﹣（a2+2a）+3＝﹣1+3＝2， m＝2； ②n＝（﹣2a﹣1，3）*（a2﹣2a，2）＝3（﹣2a﹣1）﹣2（a2﹣2a）+1＝﹣6a﹣3﹣2a2+4a+1＝﹣2a2﹣2a+2， m﹣n＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣2a2﹣2a+2）＝﹣a2﹣2a+3+2a2+2a﹣2＝a2+1＞0， ∴m＞n． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键． 重点考向08：整式的混合运算—化简求值 【典例精讲】（2022秋•沙坪坝区校级期末）关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均为常数）关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e＝6； ③a+b+c＝9； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】先根据整式的加减求出A+B的值，再根据A+B为关于x的三次三项式即可判断①；先根据多项式的乘法法则求出A•B的值，再根据乘积中不含x⁴项即可判断②；分别求出当x＝1和x＝2时，求出A的值，由此即可判断③． 【规范解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f， ∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10， ∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数， ∴f+10＝0， 解得：f＝﹣10，说法①正确； A•B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f） ＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f ＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f， ∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项， ∴5e﹣6＝0， 解得e＝1.2，说法②错误； A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d， 当x＝1时，d＝5﹣6+10＝9， 当x＝2时，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26， 则a+b+c＝17，说法③错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 【变式训练8-1】．（2024•雁塔区校级开学）若a满足（a﹣2023）2+（2024﹣a）2＝2029，则（2023﹣a）（2024﹣a）＝ 1014 ． 【思路点拨】设2024﹣a＝m，2023﹣a＝n，则m﹣n＝1，根据完全平方公式和已知条件可得（m﹣n）2+2mn＝2029，即可解答． 【规范解答】解：设2024﹣a＝m，2023﹣a＝n， ∴m﹣n＝2024﹣a﹣（2023﹣a）＝2024﹣a﹣2023+a＝1， ∵（2023﹣a）2+（2024﹣a）2＝2029， ∴（m﹣n）2+2mn＝2029， ∴12+2mn＝2029， ∴mn＝1014， ∴（2023﹣a）（2024﹣a）＝mn＝1014． 故答案为：1014． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练8-2】（2023秋•翠屏区期末）对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b、a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： （1）若（a+b）2＝20，ab＝4，则a﹣b＝ ±2 ； （2）若x满足（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，求（65﹣x）（x﹣50）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E、F分别是边AD、AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE、AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为56，求图中两个正方形的面积之和． 【思路点拨】（1）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，进行计算即可解答； （2）设65﹣x＝a，x﹣50＝b，则a+b＝15，a2+b2＝325，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得：AE＝8﹣a，AF＝12﹣a，然后设8﹣a＝m，12﹣a＝n，则n﹣m＝4，再根据已知可得：AE•AF＝56，从而可得mn＝56，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）∵（a+b）2＝20，ab＝4， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝20﹣4×4 ＝20﹣16 ＝4， ∴a﹣b＝±2， 故答案为：±2； （2）设65﹣x＝a，x﹣50＝b， ∴a+b＝65﹣x+x﹣50＝15， ∵（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325， ∴a2+b2＝325， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ＝152﹣325， ＝225﹣325 ＝﹣100， ∴ab＝﹣50， ∴（65﹣x）（x﹣50）＝﹣50； （3）∵AB＝12，BC＝8，DE＝BF＝a， ∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝8﹣a，AF＝AB﹣BF＝12﹣a， 设8﹣a＝m，12﹣a＝n， ∴n﹣m＝12﹣a﹣（8﹣a）＝4， ∵长方形AFGE的面积为56， ∴AE•AF＝（8﹣a）（12﹣a）＝56， ∴mn＝56， ∴图中两个正方形的面积之和＝AE2+AF2 ＝（8﹣a）2+（12﹣a）2 ＝m2+n2 ＝（n﹣m）2+2mn ＝42+2×56 ＝16+112 ＝128， ∴图中两个正方形的面积之和为128． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 重点考向09：因式分解-提公因式法 【典例精讲】（2022秋•泰山区校级月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【思路点拨】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可． 【规范解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3）， ＝b（x﹣3）（b+1）． 故选：B． 【考点评析】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1． 【变式训练9-1】（2023春•新化县期末）计算：20232﹣2023×2022＝ 2023 ． 【思路点拨】运用提公因式法进行简便运算． 【规范解答】解：20232﹣2023×2022 ＝2023×（2023﹣2022） ＝2023×1 ＝2023． 故答案为：2023． 【考点评析】本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键． 【变式训练9-2】（2023春•南海区校级期中）6a2b+2a＝ 2a（3ab+1） ． 【思路点拨】首先找出多项式的公因式进而提取公因式得出即可． 【规范解答】解：6a2b+2a＝2a（3ab+1）． 故答案为：2a（3ab+1）． 【考点评析】本题考查了提取公因式法因式分解因式，正确得出多项式的公因式是解题关键． 【变式训练9-3】（2023春•昌黎县期末）下面是某同学对多项式（m2﹣4m）（m2﹣4m+8）+16进行因式分解的过程． 解：设m2﹣4m＝n， 原式＝n（n+8）+16（第一步）， ＝n2+8n+16（第二步）， ＝（n+4）2（第三步）， ＝（m2﹣4m+4）2（第四步）， （1）该同学第二步到第三步运用 完全平方公式 进行因式分解． （2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x+4）（x2﹣2x﹣2）+9进行因式分解． 【思路点拨】（1）从第三步的结果得出结论； （2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论； （3）设x2﹣2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解． 【规范解答】解：（1）由n2+8n+16＝（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式， 故答案为：完全平方公式． （2）该同学没有完成因式分解， （m2﹣4m+4）2＝[（m﹣2）2]2＝（m﹣2）4， （3）设x2﹣2x＝y， 则原式＝（y+4）（y﹣2）+9 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 【考点评析】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点． 重点考向10：因式分解-运用公式法 【典例精讲】（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 【规范解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 【考点评析】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于． 【变式训练10-1】（2023•五华区校级模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝ （x﹣3）2 ． 【思路点拨】原式利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】解：原式＝（x﹣3）2． 故答案为：（x﹣3）2 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式训练10-2】（2022•峄城区校级模拟）分解因式：（x﹣5）（x+11）+64＝ （x+3）2 ． 【思路点拨】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果． 【规范解答】解：原式＝x2+11x﹣5x﹣55+64 ＝x2+6x+9 ＝（x+3）2， 故答案为：（x+3）2． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键． 【变式训练10-3】（2023春•沙坪坝区校级期中）观察下列等式的规律，解答下列问题： 第1个等式：a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）； 第2个等式：a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1）； 第3个等式：a4﹣1＝（a﹣1）（a3+a2+a2+a+1）； 第4个等式：a5+1＝（a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）；… （1）请直接写出第5个等式： a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1） ；第6个等式： a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1） ； （2）计算；①（3﹣1）（35+33+34+32+3+1）＝ 728 ； ②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝ 547 ； （3）计算：（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4． 【思路点拨】（1）根据所给的等式的形式，即可写出答案； （2）利用所给的等式的规律进行求解即可； （3）利用所给的等式的规律进行求解即可． 【规范解答】解：（1）根据规律得：第5个等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）， 第6个等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）； 故答案为：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）； （2）根据规律得：①（3﹣1）×（35+33+34+32+3+1） ＝36﹣1 ＝728； ②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1 ＝×（3+1）×（36﹣35+34﹣33+32﹣3+1） ＝×（37+1） ＝547； 故答案为：①728，547； （3）（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4 ＝410+210+49﹣29+48+28+47﹣27+…+42+22+4 ＝（410+49+48+47+…+42+4+1）+（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1） ＝×（4﹣1）×（410+49+48+47+…+42+4+1）+×（2+1）×（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1） ＝×（411﹣1）+×（211+1） ＝×411+×211． 【考点评析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 重点考向11：提公因式法与公式法的综合运用 【典例精讲】（2023秋•大同期末）下列因式分解正确的是（ ） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y） 【思路点拨】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可． 【规范解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意； B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意； C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意； D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是正确应用的前提． 【变式训练11-1】（2023•威远县校级二模）因式分解：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ． 【思路点拨】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9） ＝3（a+3）（a﹣3）． 故答案为：3（a+3）（a﹣3）． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键． 【变式训练11-2】（2023春•兴化市期末）分解因式： （1）2x2﹣2； （2）﹣x3+2x2y﹣xy2； （3）（x2+1）2﹣4x2． 【思路点拨】（1）首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）首先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：（1）2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x+1）（x﹣1）； （2）﹣x3+2x2y﹣xy2 ＝﹣x（x2﹣2xy+y2） ＝﹣x（x﹣y）2； （3）（x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 重点考向12：因式分解-分组分解法 【典例精讲】下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ） （1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）； （3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解． 【规范解答】解：（1）分组错误，无法继续分解因式； （2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）可用完全平方公式和平方差公式分解； （3）分组错误，无法继续分解因式； （4）（x2﹣y2）+（mx+my）用平方差公式和提公因式法继续分解因式． 故选：B． 【考点评析】本题考查用分组分解法进行因式分解，难点是分组后能否继续分解． 【变式训练12-1】2023春•阳山县期中）分解因式：x3+3x2﹣4＝ （x﹣1）（x+2）2 ． 【思路点拨】先把﹣4分为﹣1与﹣3，分组分解，然后提公因式后利用完全平方公式分解． 【规范解答】解：原式＝x3﹣1+3x2﹣3 ＝（x﹣1）（x2+x+1）+3（x+1）（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x+1+3x+3） ＝（x﹣1）（x2+4x+4） ＝（x﹣1）（x+2）2． 故答案为（x﹣1）（x+2）2． 【考点评析】本题考查了因式分解﹣分组分解法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法．解决此题的关键是把﹣4分为﹣1与﹣3，再利用分组分解法分解． 【变式训练12-2】（2022春•桂平市期中）观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ①ad﹣ac﹣bd+bc ②x2﹣y2﹣6x+9 （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 【思路点拨】（1）①利用分组后直接提公因式分解； ②利用分组后直接运用公式分解； （2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论． 【规范解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc） ＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c） ＝（d﹣c）（a﹣b） ②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2 ＝（x﹣3）2﹣y2 ＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y） （2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1] ＝（1+x）（1+x）n ＝（1+x）n+1 【考点评析】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键． 重点考向13：因式分解-十字相乘法等 【典例精讲】（2023秋•阳信县期末）下列因式分解错误的是（ ） A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+xy＝x（x+y） C．x3+6x2+9x＝x（x+3）2 D．x2﹣7x+12＝x（x﹣7）+12 【思路点拨】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论． 【规范解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意； B、原式＝x（x+y），不符合题意； C、原式＝x（x+3）2，不符合题意； D、原式＝（x﹣3）（x﹣4），符合题意． 故选：D． 【考点评析】此题考查了因式分解﹣十字相乘法等以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式训练13-1】（2022春•杭州期中）分解因式：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13＝ （x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7） ． 【思路点拨】利用因式分解﹣十字相乘法，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（x+2）（x﹣3）（x+4）（x﹣5）+13 ＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣20）+13， ＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+120+13 ＝（x2﹣x）2﹣26（x2﹣x）+133 ＝（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7）， 故答案为：（x2﹣x﹣19）（x2﹣x﹣7）． 【考点评析】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练13-2】（2023春•海曙区期中）【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1：分解因式：x4+4y4 解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） 例2：分解因式：x3+5x﹣6 解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6） 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式． 解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣8＝ （x+4）（x﹣2） ； （2）分解因式：x4+4＝ （x2+2+2x）（x2+2﹣2x） ； （3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝ 10 时，有最小值； （4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值． 【思路点拨】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答； （2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答； （3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可； （4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）x2+2x﹣8 ＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1+3）（x+1﹣3） ＝（x+4）（x﹣2）． 故答案为：（x+4）（x﹣2）． （2）x4+4 ＝x4+4+4x2﹣4x2 ＝（x2+2）2﹣4x2 ＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）． 故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）． （3）∵x2﹣20x+111 ＝x2﹣20x+100﹣100+111 ＝（x﹣10）2+11， ∴当x＝10时，有最小值． 故答案为：10． （4）M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18 ＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18， ∵若M恰能表示成A2+B2的形式， ∴m﹣18＝0， ∴m＝18， 答：m的值为18． 【考点评析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 重点考向14：因式分解的应用 【典例精讲】（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 3 ． 【思路点拨】已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值． 【规范解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21， 得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1， 同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， ＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）， ＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]， ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]， ＝×（1+1+4）＝3． 故答案为3． 【考点评析】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键． 【变式训练14-1】（2023春•天元区校级期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那么c2+18a+18b﹣446的最小值为 17 ． 【思路点拨】根据三角形的周长得到a+b＝30﹣c，整体代入c2+18a+18b﹣446，得到（c﹣9）2+13，利用三角形的三边关系求出10＜c＜15，根据c是整数，利用完全平方式的非负性求出最小值即可． 【规范解答】解：∵△ABC的周长为30． ∴a+b+c＝30． ∴a+b＝30﹣c， 而a+b＞c， 则30﹣c＞c， ∴c＜15， ∵a＜b＜c， ∴10＜c＜15， ∴c2+18a+18b﹣446 ＝c2+18（a+b）﹣446 ＝c2+18（30﹣c）﹣446 ＝（c﹣9）2+13， ∵c是整数， ∴当c＝11时，c2+18a+18b﹣446的值最小，且为17． 故答案为：17． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，正确求出c的取值范围． 【变式训练14-2】（2023秋•淮阳区期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ； （2）猜测（a+b+c+d）2＝ a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即可； （2）根据（1）中等式，猜想得出； （3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算； （4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系． 【规范解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd， 故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd； （3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴122＝2×48+（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48； （4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48， ∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴该三角形是等边三角形． 【考点评析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是（3）中对等式进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意
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