初中数学第9章 从面积到乘法公式综合与测试教案

多项式的因式分解

一、教学目标：

1． 知道平方差公式及其意义.

    2．会运用平方差公式分解因式，通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力.

3．感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点.

4．在探索活动中发展观察能力，感悟换元的思想方法.

二、教学重点、难点：

1．平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.

2．会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式.

三、教具、学具：投影仪 ， 多媒体.

四、教学过程：

一、复习回顾

填空：

（1）（x+5）（x-5） =        .

（2）（3x+y）（3x-y）=       .

（3）（3m+2n）（3m–2n）=        .   

  这是我们学过的哪种运算？你还记得如何用字母来表示这个公式吗？

 二、探索新知

1. 操作

（1）x2-25=（        ）（        ）

（2）9x2-y2=（        ）（        ）

（3）9m2-4n2=（        ）（        ）

昨天我们学习了因式分解，那么把平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2

 反过来得到a2－b2=(a+b)(a－b)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法.

2. 下列多项式可以用平方差公式分解吗？为什么？

(1) m2－1  (2)2a2－b2   (3) 4m2+9  (4)－16b2 +1  (5) 9m2－4n2  (6) x2-4y2+3

说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以，让学生体会能利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征。

总结：

  式子的特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.

  结果的特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差.

  在乘法公式中，平方差是指计算的结果;在分解因式时,平方差是指要分解的多项式.

4.在下列各式括号内填上适当的式子，使等式成立：

a2-16=a2-(    )2=(a+     )(a-     )

x2-1=x2-(     )2=(x+     )(x-     )

64-b2=(     )2-b2=(     +b)(     -b)

④-p2+q2=q2-(      )2=(q+      )(q-      )

设计意图：在总结了平方差公式后，通过题组逐题递进，落实本节课的教学重点。在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围。

三、 例题教学

例1 把下列多项式分解因式：

(1)36－25x2          (2)16a2－9b2

分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.

   (1)  解：原式 =42－(5x)2                   (2) 解：原式=(4a)2－(3b)2

      =(4+5x)(4－5x)                  =(4a+3b)(4a－3b)   

   说明：(1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a2－9b2=(16a+9b)(16a－9b)的错误.

（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.

例2.分解因式：

   (1)0.36-(2m-n)2             (2)9(m+n)2-(m-n)2     

解：原式=(0.6)2-(2m-n)2       解：原式=[3(m+n)]2-(m-n)2

         =[0.6+(2m-n)][0.6-(2m-n)]      =[3(m+n)+(m-n)] [3(m+n)-(m-n)]

      =（0.6+2m-n）（0.6-2m+n）    =(4m+2n)(2m+4n)

                                  =4(2m+n)(m+2n)

分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形.这一点在这儿尤为重要。设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想。

    (3)4x3-9xy2

解：原式=x(4x2-9y2)

        =x(2x+3y)(2x-3y)

说明：通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式.[来源:学§科§网Z

总结因式分解的步骤：

（1）首先看被分解的多项式里有没有公因式，若有应先提公因式。

（2）如果各项没有公因式，那么可以用公式法来分解，若为两项式考虑用平方差公式。

（3）分解因式必须分解到不能分解为止。

四、巩固练习

将下列各式分解因式

（1）-9+4x2   (2)x2y2-0.25z2  (3)9(a+b)2-4(a-b)2    (4) a3-a     (5)p4-1

设计意图：对每一种例题题型的加强和巩固，第5小题可能学生会分解不够彻底，强调因式分解要分解到不能分解为止。

五、问题解决

  如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm。

求它们所围成的环形的面积，如果R=35cm,r=15cm呢？

解：πR2-πr2

= π(R2-r2)

 = π(R+r)(R-r)  （cm2）

当R=35，r=15时,

原式=(35+15) ×(35-15) ×π

    =50×20π

    =1000πcm2

答：这个绿化区的面积是1000πcm2

说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，通过比较怎样计算比较简单，再次想到分解因式的步骤即：先提公因式，再运用公式。

六、 小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？

（1）多项式中有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

     因式分解要分解到不能分解为止。

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七、作业

（1）完成课本P84练一练。

（2）拓展作业：你能用今天所学的知识解决下面的问题吗?

         992-1能否被100整除？

（9.5多项式的因式分解——用平方差公式）

教后反思

《§9.5多项式的因式分解——用平方差公式法》是苏科版教材七年级下册第九章《整式乘法与因式分解》的第五节单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（二）的内容。本节课是学生在学习了因式分解的概念，用提公因式法分解因式后继续学习的。在整式的乘法中已经学习了平方差公式，根据整式乘法和因式分解的互逆关系，引出用平方差公式进行因式分解。由学生观察辨析总结什么样的多项式能用平方差公式因式分解，通过一组由浅入深、由易到难的题组 逐题递进，落实本节课的教学重点。所以本课时的重点在于让学生体会到哪些多项式可用平方差公式分解，以及综合应用提公因式法与平方差公式对一些比较复杂的多项式进行因式分解。应用平方差公式因式分解，关键在于学生必须有逆向的思维，换元的思想，能体会到公式中a、b可以是数字、单项式、多项式。把多项式转换到平方差公式的模型然后依据公式因式分解。

在新课引入的过程中，我首先让学生回忆了前面在整式的乘法中遇到的乘法公式，比如平方差公式。接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算。然后，我巧妙的将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试一下。只见我的题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了。待学生回答完之后，我马上追问“为什么”时，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式。之后，通过一组辨析题讨论了“怎样的多项式能用平方差公式因式分解？”由学生分析并改正的过程来感受用平方差公式因式分解的多项式的特征。我就顺利地和同学们一起分析了因式分解中的平方差公式——两数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过一组填空、例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。我随堂出了一些综合性的练习题，才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手，课后我总结的原因有以下四点：

１、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。

２、在学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。

３、灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差，如要将9－25x２化成3２－（5x）２然后应用平方差公式这样的题目却无从下手。究其原因，和我布置的作业及随堂练习的单一性及难度低的特点有关。

４、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将a3－a提公因式后应用平方差公式，但很多同学都是只化到a(a２ －１)而没有化到最后结果a(a ＋１)(a －１)。

因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的把握和讲解是比较到位的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学方法和内容，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。