高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学ppt课件

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专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲） 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 3．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)；递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 4．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式.=. 5．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有< ，那么称数列{}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有= (k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.(3)有界性如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列. 【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 【方法点拨】 根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特 征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号 之间的规律. 【例1】（ 甘肃·高二期中）数列32,-54,78,-916,1132⋯的一个通项公式为（    ） A．2n-12n B．(-1)n2n-12n C．(-1)n+12n+12n D．2n+12n 【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式. 【解答过程】解：由题意， 在数列32,-54,78,-916,1132⋯中， 分母是以2为首项，2为公比的等比数列 分子是以3为首项，2为公差的等差数列， ∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数， ∴比例系数为(-1)n+1 ∴数列的一个通项公式为： an=(-1)n+12n+12n， 故选：C. 【变式1-1】（ 重庆高二阶段练习）数列-1,13,-17,115,-131,⋅⋅⋅的一个通项公式为（    ） A．an=-1n+112n-1 B．an=-1n-112n-1 C．an=-1n12n+1 D．an=-1n12n-1 【解题思路】令n=1，代入各选项直接得出答案. 【解答过程】由题意得，令n=1， A选项：a1=1，不合题意； B选项：a1=1，不合题意； C选项：a1=-13，不合题意； D选项：a1=-1，符合题意 故选：D. 【变式1-2】（ 浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，-12，14，-18，则数列an的通项公式能为（    ） A．an=12n B．an=12n-1 C．an=(-1)n-12n D．an=-12n-1 【解题思路】分母与项数n关系是是2n-1，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式. 【解答过程】正负相间用(-1)n-1表示，∴an=(-1)n-12n-1=-12n-1． 故选：D. 【变式1-3】（ 全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（    ） A．1910n-1 B．1310n-1 C．131-110n D．31010n-1 【解题思路】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可. 【解答过程】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是bn=10n-1，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是cn=110n×10n-1=1-110n，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=131-110n． 故选：C． 【题型2 判断数列的项】 【方法点拨】 根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解. 【例2】（ 福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 【解题思路】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 【解答过程】因1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1)， 由37(n-1)=398解得：n=15， 所以398是这个数列的第15项. 故选：D. 【变式2-1】（ 广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=n2+n．则12是该数列的第（    ）项． A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用通项公式直接求解. 【解答过程】令an=n2+n=12，解得：n=3（n=-4舍去）. 故选：B. 【变式2-2】（ 四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n-1,那么9是它的（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项 【解题思路】由已知条件，根据通项公式求出n即可得答案. 【解答过程】因为数列{an}的通项公式为an=3n-1， 令3n-1=9，解得n=3， 所以9是数列{an}的第3项， 故选：C. 【变式2-3】（ 河北保定·高二期中）已知数列an的通项公式为an=2n+1，则下列不是数列an的项的是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【解题思路】根据数列的通项公式，判断是否存在n∈N*使得an=2n+1成立，可得答案. 【解答过程】由于数列an的通项公式为an=2n+1， 故令an=2n+1=2，则n=0 ，与n∈N* 不符，故2不是数列an的项； 令2n+1=4,n=1，令2n+1=8,n=2，令2n+1=16,n=3， 即4，8，16是数列an的项， 故选:A. 【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】 【方法点拨】 结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可. 【例3】（ 陕西·高一期末（理））已知数列an满足an+1an=n+1n，a1=3，则数列an的通项公式是（    ） A．an=3n B．an=n+2 C．an=2n+1 D．an=3n2 【解题思路】由题意可得数列ann为首项为3的常数列，从而可得出答案. 【解答过程】由题意得an+1n+1=ann，即an+1n+1=ann=⋯=a22=a11=3 所以数列ann是以a11=3首项为的常数列， 则ann=3，得an=3n. 故选：A. 【变式3-1】（ 甘肃·二模（文））数列an满足nan+1=n+1an+1n∈N*，且a1=1，则a2022=（    ） A．4043 B．4044 C．2021 D．2022 【解题思路】由nan+1=n+1an+1n∈N*，可得an+1n+1+1n+1=ann+1n，即ann+1n为常数列，进而可得ann+1n=2，从而即可求解. 【解答过程】解：因为nan+1=n+1an+1n∈N*，所以an+1n+1=ann+1nn+1=ann+1n-1n+1， 所以an+1n+1+1n+1=ann+1n，即ann+1n为常数列，又a1=1， 所以ann+1n=a11+11=2， 所以a20222022+12022=2，解得a2022=4043， 故选：A. 【变式3-2】（ 全国·高二课时练习）已知数列an满足a1+a22+a32+⋯+ann=1-12n，则an=（   ） A．1-12n B．22n-3 C．12n D．n2n 【解题思路】利用an与Sn的关系即得. 【解答过程】a1+a22+a33+⋯+ann=1-12n①， 当n≥2时， a1+a22+a33+⋯+an-1n-1=1-12n-1②， 则①－②得，ann=12n-1-12n=12n， 故an=n2nn≥2． 当n=1时，a1=12，也符合an=n2n. 故选：D． 【变式3-3】（ 全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=0,a2n+1=a2n+1n,a2n+2=a2n+1-1n+1n∈N*，则数列an第2022项为（    ） A．20212022 B．20232022 C．10101011 D．10121011 【解题思路】由题中条件可得到偶数项得关系a2n+2=a2n+1n-1n+1n∈N*，再进行累加即得. 【解答过程】a2n+2=a2n+1-1n+1=a2n+1n-1n+1n∈N*， 所以a2022=a2020+11010-11011， a2020=a2018+11009-11010， ⋯ a4=a2+1-12， 累加得a2022=a2+(1-12+12-13+⋯+11010-11011)=0+1-11011=10101011， 故选：C. 【题型4 数列的单调性的判断】 【方法点拨】 判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小， 从而判断出数列{}的单调性. 【例4】（ 浙江·高二期中）在数列an中，a1=3 ，an=an-1+2 ，则（　　） A．数列an单调递减 B．数列an单调递增 C．数列an先递减后递增 D．数列an先递增后递减 【解题思路】由数列递推式求出a2=5，可判断an>0，将an=an-1+2两边平方得(an+1+an)(an+1-an)＝an-an﹣1，判断an+1-an与an-an﹣1 同号,结合a2-a1<0，可判断an0 ． 再由an=an-1+2，两边平方得an2=an-1+2 ①， 则an+12=an+2 ②， ②﹣①得：an+12-an2=an-an-1 ，∴(an+1+an)(an+1-an)＝an-an﹣1 ， ∵an>0，∴an+1-an与an-an﹣1 同号, 由a2-a1<0 ，可知，an-an﹣1<0 ，即an0，∴数列1+5n为递增数列，A错误； 对于B，∵-n+12+6n+1--n2+6n=-2n+5， ∴当n≤2时，数列-n2+6n递增；当n≥3时，数列-n2+6n递减，B错误； 对于C，∵3n+1+6-3n+6=3，∴数列3n+6为递增数列，C错误； 对于D，∵1-log2n+1-1-log2n=log2nn+10以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答过程】由题意得数列an为递增数列等价于对任意n∈N*,an+1-an=2n+k+1>0恒成立， 即k>-2n-1对任意n∈N*恒成立，故k>-2n-1max=-3， 所以“k≥-2”是“an为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式4-3】（ 浙江·高二期中）已知数列an满足：an=(3-a)n-8,n≤6an-6,n>6（n∈N*），且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（　　） A．(2,3) B．(1,107) C．(107,3) D．(1,3) 【解题思路】仿照分段函数的单调性求解，同时注意a60a>16(3-a)-811an,01，∴a2=a1-1=2-1∈0,1，∴a3=1a2=2+1>1， ∴a4=a3-1=2>1，∴a5=a4-1=2-1∈0,1，……， 以此类推，可知数列an是周期为3的周期数列， ∴a2021=a3×673+2=a2=2-1. 故选：A. 【变式5-3】（ 贵州·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足a1=-3，anan+1=an-1，则a105=（    ） A．14 B．43 C．-1 D．53 【解题思路】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解. 【解答过程】由anan+1=an-1可知an≠0，得an+1=1-1an. 因为a1=-3, 所以a2=1-1-3=43，a3=1-143=14，a4=1-114=-3，a5=1-1-3=43，⋯， 所以{an}是以3为周期的数列，则 a105=a3+3×34=a3=14. 故选：A. 【题型6 求数列的最大项、最小项】 【方法点拨】 利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可. 【例6】（ 山西·高三期中）已知数列an满足a1a2a3⋯an=n2，n∈N*，则数列an（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【解题思路】根据递推公式求得an，再根据{an}的单调性，即可判断和选择. 【解答过程】因为a1a2a3⋯an=n2，n∈N*，所以当n=1时，a1=12=1； 当n≥2时，a1a2a3⋯an-1=n-12，故an=n2n-12=1+1n-12 >1， 因为函数fx=1x-1在区间2,+∞上单调递减， 所以当n≥2，n∈N*时，an是递减数列. 又a2=4，所以an≤4，且an≥1=a1，故数列an的最小项为a1=1，最大项为a2=4. 故选：A. 【变式6-1】（ 全国·高二课时练习）已知数列an的通项公式为an=5051nn+1，则an中的最大项为（    ） A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项 【解题思路】作商当an+1an>1时，an+1>an；反之an+10令an+1an>1，得5051n+2n+1>1，解得n<502512-502-1≈23.8． 所以当1≤n≤23时，an+1>an，即a24>a23>a22>⋯>a1， 当n≥24时，an+1>an，即a24>a25>a26>⋯，因此当n=24时，an最大． 故选：C. 【变式6-2】（ 福建省高二阶段练习）已知数列an满足an=2nn+11013n，则数列an的最大项为（    ）． A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【解题思路】用不等式法求出最大项的项数. 【解答过程】假设第n项最大（n≥2）， 有an≥an-1an≥an+1⇒2nn+11013n≥2n-1n1013n-12nn+11013n≥2n+1n+21013n+1⇒n≤233n≥203， 又n∈N*，所以n=7，即数列an的最大项为第7项. 故选：D. 【变式6-3】（ 全国·高二课时练习）已知an=n-2018n-2019n∈N*，则数列an的前50项中，最小项和最大项分别是（    ） A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45 【解题思路】先对数列的通项公式进行变形，然后判断单调性，结合单调性可求最值. 【解答过程】an=n-2018n-2019=1+2019-2018n-2019， ∵442=1936，452=2025， ∴当n≤44时，数列an单调递减，且an<1； 当n≥45时，数列an单调递减，且an>1. ∴在数列an的前50项中，最小项和最大项分别是a44，a45. 故选：D.