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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案，共8页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
《数列的概念》教学设计
课时2数列的前n项和
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
数列的概念和表示方法
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
【考查内容】
1.依据若干项求通项公式或某一项
2.利用递推公式求数列中的项或通项公式
3.借助数列的单调性求数列的最大项或最小项.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
数列通项公式的概念和应用
数学抽象数学运算
数列递推公式的概念和应用
逻辑推理
数学运算
数列前n项和的概念和应用
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对数列的概念及表示方法的初步探究,主要介绍数列的概念及分类,数列的表现方法,主要是通项公式和递推公式,数列的前n项和.这些内容是后续学习等差数列、等比数列的基础,在教材中起着引入铺垫的作用.通过本节的学习,学生能够掌握数列的通项公式、递推公式、前n项和公式并熟练运用.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了函数的含义以及函数的表示方法,初中也有求找规律类型的题目,所以本节知识难度不是很大,但是大部分学生还是会在“数列实际上是一类定义在正整数集上的离散函数”有理解难度,对通项公式和前n项和公式的运算不到位,易忽视首项的运算.通过数列的递推公式进行逻辑推理也是一个难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
【教学目标设计】
1.了解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,会用表格、图象、通项公式表示数列,达到直观想象核心素养水平.
2.会求简单数列的通项公式,会根据通项公式判断某数在不在数列中,达到数学抽象核心素养水平.
3.了解数列的递推公式,会根据递推公式写出数列的前几项,达到逻辑推理核心素养水平.
4.了解数列前n项和公式,并能根据前n项和公式推导出通项公式,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
由于本节内容涉及的新概念、新运算较多,教学时,可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果,特别是我国古代的优秀研究成果,如“杨辉三角”、《四元玉鉴》等,撰写小论文,论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件等;可以将数列与函数进行联系,尤其是通过图象的表现,让学生在直观的环境下轻松地学习,提高学生学习数学的兴趣,通过层层深入的讲解,让学生进一步加强对数列概念的理解和计算能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解数列的概念,会猜测数列的通项公式,已知通项公式写出数列的任意一项.
2.根据数列的递推公式写出数列的前几项.
3.会计算简单数列的前n项和.
难点:
1.认识数列是一种特殊函数,发现数列的规律,找出数列可能的通项公式.
2.理解递推公式与通项公式的关系.
3.会利用前n项和求通项公式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上课之前我们先来看课本上这个例题:
如图所示,4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,观察这几个图形,写出这个数列的一个通项公式.
师:在这四个图中,着色三角形的个数依次为多少?
【学生独立思考,回答问题,答1,3,9,27】
师:个数和它对应的序号位置有什么关系?回忆上节课通项公式的相关概念,求算一下其中的关系.
【学生思考,自主完成,教师指定同学回答并予以肯定,答通项公式为】
【设情境 巧引入】
一个图形实例,承上启下,既让学生计算得出通项公式,又复习了上节课重点,还从中引出了本课时的重点内容,即递推公式.
教学精讲
探究1 数列递推公式的概念和应用
师:我们从数本身和其对应的序号关系上分析出了通项公式,还是这个三角形个数的问题,换个角度,从前后项看看有没有关系?
【教师引导学生找规律,合作交流]
师:我们换个角度观察上图中的4个图形,可以发现,,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第2个图形开始,每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
师:可以得到这个数列的前4项就满足.由此猜测满足公式怎样验证这个公式的正确性?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,可以通过通项公式来验证】
【要点知识】
数列递推公式的概念
像这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了.
【情境学习】
以直观的教学手段来理解数学的抽象,以三角形个数的变化规律展示知识情境更能把抽象的数列表示形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
【分析计算能力】
由已知的递推公式计算得出数列的前几项,加深学生对数列的认识,理解递推公式的概念和应用,培养分析计算能力.
师:下面根据所学来看例题.
【典型例题】
数列递推公式的应用
例1 已知数列的首项为,递推公式为,写出这个数列的前5项.
【学生独立思考,自主完成,教师讲解总结】
师:关于递推公式,我们知道它也是表示数列的一种形式,可以利用递推公式求出数列中的前几项,并且有的数列可以根据递推公式求出通项公式,这个我们后边再重点研究.在数列最初的学习中,还有一个概念是我们必须要知道的,这个也是古代算学家非常感兴趣的问题,那就是数列的前项和.
探究2 数列前项和的概念及应用
【情境设置】
数列的前项和
已知数列的首项为,通项公式为,其前1项和是多少?前2项和是多少?前3项和是多少?
师:我们由这个简单的问题了解到,数列的前项和也会有一定的规律,那具体怎么描述它,应用它呢?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
数列的前项和公式
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即.
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
师:注意到前项和公式与通项公式之间有联系,那么这个联系是什么?
【意义学习】
学生根据教师给定问题,通过演算分析数列前n项和公式与通项公式之间的联系,得到规律.
【学生阅读教材,合作交流,教师讲解,强调注意首项是否符合求出的通项公式】
【要点知识】
数列的前项和公式与通项公式的联系
任意数列的前项和,于是,显然,所以有
【分析计算能力】
由前n项和公式推导出通项公式,学生独立思考,自主完成,并注意其中易错点,锻炼分析计算能力.
师:如果已知数列的前项和公式,怎样求数列的通项公式?
【巩固练习】
已知数列前项和公式求通项公式
已知数列的前项和公式为,你能求出的通项公式吗?
【学生思考、交流,教师请两位学生做题,教师予以肯定,并总结】
师:总结过程如下:
因为,并且当时,依然成立,所以的通项公式是.
师:一定注意由求解,要用首项验证通项公式是否可以合并写成一个.接下来我们再用几个题着重练习一下递推公式和前项和公式的应用.
【巩固练习】
数列的递推公式与前项和公式的应用
1.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
2.根据下列条件,写出数列的前5项:
(1);(2).
3.已知数列满足,写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
4.已知数列的前项和公式为,求的通项公式.
【学生独立完成,教师给予个别指导】
【推测解释能力】
学生根据给定数列的递推公式或前n项和公式,推测数列规律,总结这一规律,并用通项公式描述知识.
师:通过本课和上节课的学习,关于数列你学到了哪些知识?
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结本节知识点】
【课堂小结】
数列的前项和
1.数列递推公式的概念和应用.
2.数列的前项和的概念及应用.
【设计意图】
通过学习数列的概念与表示方法、数列与函数的联系、递推公式的概念与应用、前n项和的概念与应用、前n项和公式向通项公式转化的思路.培养了概括理解、分析计算、推测解释能力,提升了数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,我们应该对数列的概念,尤其是数列与函数的联系加深理解,通常也会类比函数的单调性求解数列的单调性和最值.注意数列在不同标准下的分类.认识到数列的常用的三种表示方法:表格、图象、通项公式.递推公式也可表示一个数列,但通常应用于求数列的前几项,或者运用方法转化为通项公式.主要的是要掌握通项公式的概念、求法、应用,注意对于一个数列来说,可能不存在通项公式,如果存在通项公式的话,可能不止一个.本节课还引入了一个新的概念,就是数列的前项和,本节课任务只需明确前项和的概念,以及前项和公式向通项公式转化的思路.注意考虑时的首项是否符合通项公式,若满足,则可将通项公式合并写成一个;若不满足,则需要写成分段形式.
应用所学知识,完成下题:
已知数列的通项公式是.
(1)若,则数列中有多少项是负数?为何值时,有最小值?并求出最小值.
(2)对于,都有,求实数的取值范围.
解析:(1)由,解得.因为,所以,3,所以数列中有两项是负数,即为.因为,由二次函数性质,得或时,有最小值,其最小值为.
(2)由,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式,可看作是关于的二次函数,考虑到,所以,解得.所以实数的取值范围为.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中提升学科能力和核心素养.
教学反思
学习完本节,我们应该了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象,通项公式),理解数列的通项公式、递推公式的含义,并能应用公式解决一些数列问题.教学过程中要以恰当的教学情境,引入课题.注意问题情境的多次使用,服务于课堂的多个环节.要处理好数列与函数的关系,以处理好本节课的难点.在教学中要不惜时间让学生用不同的方法表示具体数列,让学生自主探究、合作交流,教师及时地引导学生改进方法,解决问题.最后,让学生总结各种表示方法的共同特征,进而认识到数列是特殊的函数.这样,学生就容易理解数列是“特殊”的函数到底“特殊”在哪里了,并顺势给出通项公式,也就是水到渠成的事了.
【以学定教】
综合函数的表示方法和单调性,加深对数列表示方法和分类标准的理解,掌握数列通项公式的应用,理解递推公式、前n项和公式的概念,解决问题.
【以学论教】
通过情境教学法引出本节课的学习,探究数列、通项公式、递推公式和数列的前n项和公式,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
《数列的概念》教学设计
课时2数列的前n项和
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
数列的概念和表示方法
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
【考查内容】
1.依据若干项求通项公式或某一项
2.利用递推公式求数列中的项或通项公式
3.借助数列的单调性求数列的最大项或最小项.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
数列通项公式的概念和应用
数学抽象数学运算
数列递推公式的概念和应用
逻辑推理
数学运算
数列前n项和的概念和应用
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对数列的概念及表示方法的初步探究,主要介绍数列的概念及分类,数列的表现方法,主要是通项公式和递推公式,数列的前n项和.这些内容是后续学习等差数列、等比数列的基础,在教材中起着引入铺垫的作用.通过本节的学习,学生能够掌握数列的通项公式、递推公式、前n项和公式并熟练运用.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了函数的含义以及函数的表示方法,初中也有求找规律类型的题目,所以本节知识难度不是很大,但是大部分学生还是会在“数列实际上是一类定义在正整数集上的离散函数”有理解难度,对通项公式和前n项和公式的运算不到位,易忽视首项的运算.通过数列的递推公式进行逻辑推理也是一个难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
【教学目标设计】
1.了解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,会用表格、图象、通项公式表示数列,达到直观想象核心素养水平.
2.会求简单数列的通项公式,会根据通项公式判断某数在不在数列中,达到数学抽象核心素养水平.
3.了解数列的递推公式,会根据递推公式写出数列的前几项,达到逻辑推理核心素养水平.
4.了解数列前n项和公式,并能根据前n项和公式推导出通项公式,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
由于本节内容涉及的新概念、新运算较多,教学时,可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果,特别是我国古代的优秀研究成果,如“杨辉三角”、《四元玉鉴》等,撰写小论文,论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件等;可以将数列与函数进行联系,尤其是通过图象的表现,让学生在直观的环境下轻松地学习,提高学生学习数学的兴趣,通过层层深入的讲解,让学生进一步加强对数列概念的理解和计算能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解数列的概念,会猜测数列的通项公式,已知通项公式写出数列的任意一项.
2.根据数列的递推公式写出数列的前几项.
3.会计算简单数列的前n项和.
难点:
1.认识数列是一种特殊函数,发现数列的规律,找出数列可能的通项公式.
2.理解递推公式与通项公式的关系.
3.会利用前n项和求通项公式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上课之前我们先来看课本上这个例题:
如图所示,4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,观察这几个图形,写出这个数列的一个通项公式.
师:在这四个图中,着色三角形的个数依次为多少?
【学生独立思考,回答问题,答1,3,9,27】
师:个数和它对应的序号位置有什么关系?回忆上节课通项公式的相关概念,求算一下其中的关系.
【学生思考,自主完成,教师指定同学回答并予以肯定,答通项公式为】
【设情境 巧引入】
一个图形实例,承上启下,既让学生计算得出通项公式,又复习了上节课重点,还从中引出了本课时的重点内容,即递推公式.
教学精讲
探究1 数列递推公式的概念和应用
师:我们从数本身和其对应的序号关系上分析出了通项公式,还是这个三角形个数的问题,换个角度,从前后项看看有没有关系?
【教师引导学生找规律,合作交流]
师:我们换个角度观察上图中的4个图形,可以发现,,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第2个图形开始,每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
师:可以得到这个数列的前4项就满足.由此猜测满足公式怎样验证这个公式的正确性?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,可以通过通项公式来验证】
【要点知识】
数列递推公式的概念
像这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了.
【情境学习】
以直观的教学手段来理解数学的抽象,以三角形个数的变化规律展示知识情境更能把抽象的数列表示形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
【分析计算能力】
由已知的递推公式计算得出数列的前几项,加深学生对数列的认识,理解递推公式的概念和应用,培养分析计算能力.
师:下面根据所学来看例题.
【典型例题】
数列递推公式的应用
例1 已知数列的首项为,递推公式为,写出这个数列的前5项.
【学生独立思考,自主完成,教师讲解总结】
师:关于递推公式,我们知道它也是表示数列的一种形式,可以利用递推公式求出数列中的前几项,并且有的数列可以根据递推公式求出通项公式,这个我们后边再重点研究.在数列最初的学习中,还有一个概念是我们必须要知道的,这个也是古代算学家非常感兴趣的问题,那就是数列的前项和.
探究2 数列前项和的概念及应用
【情境设置】
数列的前项和
已知数列的首项为,通项公式为,其前1项和是多少?前2项和是多少?前3项和是多少?
师:我们由这个简单的问题了解到,数列的前项和也会有一定的规律,那具体怎么描述它,应用它呢?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
数列的前项和公式
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即.
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
师:注意到前项和公式与通项公式之间有联系,那么这个联系是什么?
【意义学习】
学生根据教师给定问题,通过演算分析数列前n项和公式与通项公式之间的联系,得到规律.
【学生阅读教材,合作交流,教师讲解,强调注意首项是否符合求出的通项公式】
【要点知识】
数列的前项和公式与通项公式的联系
任意数列的前项和,于是,显然,所以有
【分析计算能力】
由前n项和公式推导出通项公式,学生独立思考,自主完成,并注意其中易错点,锻炼分析计算能力.
师:如果已知数列的前项和公式,怎样求数列的通项公式?
【巩固练习】
已知数列前项和公式求通项公式
已知数列的前项和公式为,你能求出的通项公式吗?
【学生思考、交流,教师请两位学生做题,教师予以肯定,并总结】
师:总结过程如下:
因为,并且当时,依然成立,所以的通项公式是.
师:一定注意由求解,要用首项验证通项公式是否可以合并写成一个.接下来我们再用几个题着重练习一下递推公式和前项和公式的应用.
【巩固练习】
数列的递推公式与前项和公式的应用
1.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式,并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.
2.根据下列条件,写出数列的前5项:
(1);(2).
3.已知数列满足,写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
4.已知数列的前项和公式为,求的通项公式.
【学生独立完成,教师给予个别指导】
【推测解释能力】
学生根据给定数列的递推公式或前n项和公式,推测数列规律,总结这一规律,并用通项公式描述知识.
师:通过本课和上节课的学习,关于数列你学到了哪些知识?
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结本节知识点】
【课堂小结】
数列的前项和
1.数列递推公式的概念和应用.
2.数列的前项和的概念及应用.
【设计意图】
通过学习数列的概念与表示方法、数列与函数的联系、递推公式的概念与应用、前n项和的概念与应用、前n项和公式向通项公式转化的思路.培养了概括理解、分析计算、推测解释能力,提升了数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,我们应该对数列的概念,尤其是数列与函数的联系加深理解,通常也会类比函数的单调性求解数列的单调性和最值.注意数列在不同标准下的分类.认识到数列的常用的三种表示方法:表格、图象、通项公式.递推公式也可表示一个数列,但通常应用于求数列的前几项,或者运用方法转化为通项公式.主要的是要掌握通项公式的概念、求法、应用,注意对于一个数列来说,可能不存在通项公式,如果存在通项公式的话,可能不止一个.本节课还引入了一个新的概念,就是数列的前项和,本节课任务只需明确前项和的概念,以及前项和公式向通项公式转化的思路.注意考虑时的首项是否符合通项公式,若满足,则可将通项公式合并写成一个;若不满足,则需要写成分段形式.
应用所学知识,完成下题:
已知数列的通项公式是.
(1)若,则数列中有多少项是负数?为何值时,有最小值?并求出最小值.
(2)对于,都有,求实数的取值范围.
解析:(1)由,解得.因为,所以,3,所以数列中有两项是负数,即为.因为,由二次函数性质,得或时,有最小值,其最小值为.
(2)由,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式,可看作是关于的二次函数,考虑到,所以,解得.所以实数的取值范围为.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中提升学科能力和核心素养.
教学反思
学习完本节,我们应该了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象,通项公式),理解数列的通项公式、递推公式的含义,并能应用公式解决一些数列问题.教学过程中要以恰当的教学情境,引入课题.注意问题情境的多次使用,服务于课堂的多个环节.要处理好数列与函数的关系,以处理好本节课的难点.在教学中要不惜时间让学生用不同的方法表示具体数列,让学生自主探究、合作交流,教师及时地引导学生改进方法,解决问题.最后,让学生总结各种表示方法的共同特征,进而认识到数列是特殊的函数.这样,学生就容易理解数列是“特殊”的函数到底“特殊”在哪里了,并顺势给出通项公式,也就是水到渠成的事了.
【以学定教】
综合函数的表示方法和单调性,加深对数列表示方法和分类标准的理解,掌握数列通项公式的应用,理解递推公式、前n项和公式的概念,解决问题.
【以学论教】
通过情境教学法引出本节课的学习,探究数列、通项公式、递推公式和数列的前n项和公式,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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