高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精品同步测试题

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1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想
的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围

【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【方法点拨】
结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-14+⋯+1n-1>21n+2+1n+4+⋯+12n时，若已假设n=k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．n=k+1时不等式成立B．n=k+2时不等式成立
C．n=2k+2时不等式成立D．n=2k+2时不等式成立
【解题思路】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．
【解答过程】若已假设n=k（k>2，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明n=k+2成立．
故选：B．
【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+an+1=1-an+21-a,(a≠1)时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A．1=1-a31-aB．1+a=1-a31-aC．1+a2=1-a31-aD．1+a+a2=1-a31-a
【解题思路】根据数学归纳法的步骤要求，第一步归纳奠基时，验证n=1时的等式，结合所要证明的等式，即可得答案.
【解答过程】将n=1代入等式1+a+a2+⋯+an+1=1-an+21-a,(a≠1)，观察左边最后一项为a2 ，
则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 1+a+a2=1-a31-a，
故选：D.
【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋯⋅(n+n)=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅(2n-1) n∈N*，从k到k+1左端需要增乘的代数式为（ ）
A．2k+1B．22k+1
C．2k+1k+1D．2k+3k+1
【解题思路】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.
【解答过程】当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)⋅⋯⋅(k+k);
当n=k+1时,左边等于
k+1+1k+1+2⋅⋯⋅k+1+k-1+k+1+k+k+1+k+1，
即左边等于(k+2)(k+3)⋅⋯⋅(k+k)(2k+1)(2k+2)；
所以左边增乘的项为2k+12k+2k+1=2(2k+1)，
故选：B.
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋯2n-1，（n为正整数）的过程中，从“k到k+1”左边需增乘的代数式为（ ）
A．2k+2B．2k+12k+2
C．2k+22k+1D．22k+1
【解题思路】根据题意，分别得到n=k和n=k+1时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【解答过程】当n=k时，左边A=(k+1)(k+2)⋯(k+k)=(k+1)(k+2)⋯(2k)，
当n=k+1时，左边B=(k+1)(k+2)⋯(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)⋯(2k+2)，
则BA=(k+2)(k+3)⋯(2k)(2k+1)(2k+2)(k+1)(k+2)⋯(2k)=(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1).
故选：D.
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【方法点拨】
数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命
题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n-1=n2n+1（n∈N,n≥1）．
【解题思路】先验证n=1时，等式成立，再假设n=k时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k3k-1=k2k+1，由此需推出n=k+1时，等式也成立，由此可得结论成立.
【解答过程】证明：①当n=1 时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n-1=1×2，n2n+1=1×2，等式成立；
②假设n=k 时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k3k-1=k2k+1，
则n=k+1时，1×2+2×5+⋅⋅⋅+k3k-1+(k+1)(3k+2)=k2k+1+(k+1)(3k+2)
=(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)2[(k+1)+1] ，
即n=k+1时，等式成立，
综合①②可知，1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n-1=n2n+1（n∈N，n≥1）．
【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：12+1+22+2+⋯+n2+n=13n(n+1)(n+2)（n为正整数）．
【解题思路】根据数学归纳法的步骤即可完成证明
【解答过程】证明：①当n=1时，左边=2，右边=13×1×2×3=2，等式成立．
②假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，
即12+1+22+2+⋯+k2+k=13k(k+1)(k+2)，
那么当n=k+1时，
12+1+22+2+⋯+k2+k+(k+1)2+(k+1)=13k(k+1)(k+2)+(k+1)2+(k+1) =13k(k+1)(k+2)+(k+1)(1+k+1)=13(k+1)(k+2)(k+3)
=13(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]．
故当n=k+1时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【解题思路】根据数学归纳法的步骤证明即可.
【解答过程】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1) [2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×22+2×32+3×42+⋅⋅⋅+nn+12=nn+1123n2+11n+10，其中n∈N*.
【解题思路】首先假设首项成立，再假设n=kk≥1,k∈N*时，等式成立，在利用归纳推理证明n=k+1时也成立，即可证明.
【解答过程】（1）当n=1时，左边=1×22=4，
右边=1×1+112×3×12+11×1+10=4，
所以左边=右边，等式成立.
（2）假设当n=kk≥1,k∈N*时，等式成立，
即1×22+2×32+3×42+⋅⋅⋅+kk+12=kk+1123k2+11k+10，
那么当n=k+1时，
1×22+2×32+3×42+⋯+kk+12+k+1k+22
=kk+1123k2+11k+10+k+1k+22
=kk+1123k+5k+2+k+1k+22
=k+1k+2123k2+5k+12k+24
=k+1k+2123k+12+11k+1+10.等式成立
综上，对任何n∈N*，等式都成立.
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【方法点拨】
1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行
证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻
求变量的取值范围.
2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证
明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+12+13+…+12n≤12+n(n∈N*).
【解题思路】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.
【解答过程】(1)当n＝1时，左边=1+12=32=右边，
即当n＝1时，原不等式成立，
(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，
即1+12+13+…+12k≤12+ k，
则当n=k+1时，
1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k<12+k+2k⋅12k=12+(k+1)，
即当n=k+1时，不等式成立，
综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.
【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+12(n≥2,n∈N*).
【解题思路】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可.
【解答过程】(1)当n=2时，左边=1+13=43，右边=52，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+12，
则当n=k+1时，
左边=(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)[1+12(k+1)-1]>2k+12⋅[1+12(k+1)-1]
=2k+12⋅2k+22k+1=4k2+8k+422k+1>4k2+8k+322k+1=2k+3⋅2k+122k+1=2(k+1)+12=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
【变式3-2】证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n∈N*)．
【解题思路】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可.
【解答过程】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1+12+13+…+1k<2k，
当n＝k＋1时，
1+12+13+…+1k+1k+1
<2k+1k+1=2kk+1+1k+1
<(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式1+12+13+14+⋯+12n-1>n2n∈N*，恒成立.
【解题思路】用数学归纳法证明，由n=1时成立，再假设 n=k时，不等式1+12+13+14+…+12k-1>k2成立，然后论证n=k+1时成立即可.
【解答过程】当n=1时，1>12成立，
假设n=k时，不等式1+12+13+14+…+12k-1>k2成立，
那么n=k+1时，
1+12+13+14+…+12k-1+12k-1+1+12k-1+2+⋯+12k>k2+12k-1+1+⋯+12k，
∵12k-1+1>12k，12k-1+2>12k，⋯，12k=12k，
∴1+12+13+14+…+12k-1+12k-1+1+12k-1+2+⋯+12k>k2+2k-12k=k+12，
即n=k+1时，该不等式也成立，
综上：不等式1+12+13+14+…+12n-1>n2n∈N*，恒成立.
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【解题思路】用数学归纳法证明即可.
【解答过程】证明:（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f(4)＝12×4×(4－3)＝2，命题成立.
（2）假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立.
即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝12k(k－3)个.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立.
由（1）和（2），可知原结论成立.
【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练习）平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n-1)2.
【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．
【解答过程】证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)=12×2×(2-1)=1，
∴当n=2时，命题成立．
（2）假设n=k∈N*，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)=12k(k-1)，
那么，当n=k+1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)=12k(k-1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k+1条直线共有f(k)+k个交点，
即f(k+1)=f(k)+k=12k(k-1)+k=12k(k-1+2)=12k(k+1)=12(k+1)[(k+1)-1]，
这表明，当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）可知，对n∈N*(n⩾2)命题都成立．
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域．
【解题思路】利用数学归纳法进行证明.
【解答过程】当n=1时，1个圆将平面分为2个区域，12-1+2=2，显然命题成立，
假设当n=k时，k个圆将平面分为k2-k+2个区域，
当n=k+1时，第k+1个圆Ck+1与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，
因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，
即k2-k+2+2k=k2+k+2=k+12-k+1+2，
即当n=k+1时，命题成立，
根据数学归纳法可得：平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域.
【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明12+22+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，并求出Sn的表达式；
【解题思路】（1）第k个矩形的高为1-(kn)2，然后直接求出第k个矩形的面积；
（2）先用数学归纳法证明12+22+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，然后由Sn=k=1n 1n(1-k2n2)求出Sn．
【解答过程】解：（1）由题意第k个矩形的高是1-(kn)2，
∴ak=1n[1-(kn)2]=1n(1-k2n2)；
（2）（i）当n＝1时，13=16×1×2×3，命题成立，
（ii）设n＝k时命题成立，即12+22+⋯+k2=16k(k+1)(2k+1)，
则n＝k+1时，12+22+⋯+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3)
=16(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]，
∴n＝k+1时命题成立，
综上，n∈N*时，命题为真，即12+22+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，
∴Sn=k=1n 1n(1-k2n2)=1-12+22+⋯n2n3
=1-16n(n+1)(2n+1)n3=23-12n-16n2．
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当n∈N*时，fn=32n+2-8n-9能被64整除．
【解题思路】运用数学归纳法进行证明即可.
【解答过程】（1）当n=1时，f1=34-8-9=64能被64整除．
（2）假设当n=kk≥1,k∈N*时，fk=32k+2-8k-9能被64整除，
则当n=k+1时，fk+1=32k+1+2-8k+1-9=9×32k+2-8k-17=9×32k+2-8k-9+64k+64．
故fk+1也能被64整除．
综合（1）（2）可知当n∈N*时，fn=32n+2-8n-9能被64整除．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3+5nn∈N*能被哪些自然数整除？
【解题思路】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：n3+5n可以被6整除，利用数学归纳法证明即可．
【解答过程】
n=1时，原式=6，n=2时，原式=18，n=3时，原式=42，n=4时，原式=84，这些数都可以被6整除，所以猜想：n3+5n可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当n=1时，13+5×1=6，命题显然成立；
（2）假设当n=k(k∈N*)时，k3+5k能被6整除．
当n=k+1(k∈N*)时，(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知k3+5k能被6整除,
故k3+5k，3k(k+1)，6分别能被6整除，
所以当n=k+1时，命题也成立．
据（1）（2），可知n3+5n可以被6整除．
故n3+5nn∈N*能被自然数6,，1，2，3整除.
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：n3+5n(n∈N*)能够被6整除．
【解题思路】利用数学归纳法即可证明.
【解答过程】解：⑴当n=1时，n3+5n=6，显然能够被6整除，命题成立；
⑵假设当n=k时，命题成立，即n3+5n=k3+5k能够被6整除，
当n=k+1时，
n3+5n=k+13+5k+1=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3kk+1+6，
由假设知：k3+5k能够被6整除，
而kk+1为偶数，故3kk+1能够被6整除，
故k+13+5k+1=k3+5k+3kk+1+6能够被6整除，
即当n=k+1时，命题成立，
由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即n3+5n(n∈N*)能够被6整除．
【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：n3+n+13+n+23能被9整除n∈N*.
【解题思路】先验证n=1时，n3+n+13+n+23能被9整除；假设当n=k时，k3+k+13+k+23能被9整除，再证明k+13+k+23+k+33能被9整除，结合归纳原理可得出结论成立.
【解答过程】证明：（1）当n=1时，13+23+33=36能被9整除，所以结论成立；
（2）假设当n=kk∈N*时结论成立，即k3+k+13+k+23能被9整除．
则当n=k+1时，k+13+k+23+k+33=k+13+k+23+k3+9k2+27k+27k
=k3+k+13+k+23+9k2+3k+3，
因为k3+k+13+k+23能被9整除，9k2+3k2+3能被9整除，
所以，k+13+k+23+k+33能被9整除，即即n=k+1时结论也成立．
由（1）（2）知命题对一切n∈N*都成立．
【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】
【方法点拨】
在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然
后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥
梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=Snn(2n-1)且a1=13(n∈N*).
(1)试求：a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
(2)用数学归纳法加以证明.
【解题思路】（1）根据递推关系写出a2，a3的值，由所得前3项猜想通项公式即可.
（2）应用数学归纳法，首先判断n=1时通项公式是否成立，再假设n=k时通项公式成立，进而利用an,Sn关系求证n=k+1是否成立即可.
【解答过程】(1)
因为an=Snn(2n-1)且a1=13(n∈N*).
所以a2=S22(2×2-1)=a1+a26，解得a2=115，
因为a3=a1+a2+a33(2×3-1)=a1+a2+a315，
所以14a3=a1+a2=13+115，解得a3=135.
由a1=11×3,a2=13×5,a3=15×7,⋅⋅⋅，猜想：an=1(2n-1)(2n+1).
(2)
①当n=1时，a1=13等式成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=1(2k-1)(2k+1)
那么，当n=k+1时，由题设an=Snn(2n-1)，得ak=Skk(2k-1)，ak+1=Sk+1(k+1)(2k+1)，
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1，
则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-k2k+1.
因此，k(2k+3)ak+1=k2k+1，
所以ak+1=1(2k+1)(2k+3)=1[2(k+1)-1][2(k+1)+1].
这就证明了当n=k+1时命题成立.
由①②可知：命题对任何n∈N*都成立.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=14，且an=12+1nSn-2n-1n∈N*.
（1）求S12、S24、S38；
（2）由（1）猜想数列Sn2n的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解题思路】（1）由an=12+1nSn-2n-1n∈N*，分别令n=1，n=2，n=3求解：
（2）由（1）猜想，数列Sn2n的通项公式为Sn2n=n2n∈N*，由n=1时成立，再假设n=kk∈N*，Sk2k=k2成立，然后论证n=k+1时成立即可.
【解答过程】（1）∵an=12+1nSn-2n-1n∈N*，
当n=1时，a1=S1=12+1S1-1，解得S1=2，即有S12=1；
当n=2时，a2=S2-S1=12+12S2-2=14，解得S2=16，则S24=4；
当n=3时，a3=S3-S2=12+13S3-22，解得S3=72，则S38=9；
（2）由（1）猜想可得数列Sn2n的通项公式为Sn2n=n2n∈N*.
下面运用数学归纳法证明.
①当n=1时，由（1）可得S12=1成立；
②假设n=kk∈N*，Sk2k=k2成立，
当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=12+1k+1Sk+1-2k+1-1，
即有12-1k+1Sk+1=Sk-2k=2k⋅k2-2k=k2-1⋅2k，
则k-12k+1Sk+1=k+1k-1⋅2k，
当k=1时，上式显然成立；
当k>1时，Sk+1=2k+12⋅2k=k+12⋅2k+1，即Sk+12k+1=k+12，
则当n=k+1时，结论也成立.
由①②可得对一切n∈N*，Sn2n=n2成立.
【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1=an2an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【解题思路】（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式，利用数学归纳法即可证明．
【解答过程】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1=an2an+1，
∴a2=12+1=13，a3=1323+1=15，a4=1525+1=17；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an=12n-1，
证明如下：①当n＝1时，等式成立，
假设当n＝k时等式成立，即ak=12k-1，
那么当n＝k+1时，ak+1=ak2ak+1=12k-122k-1+1=12k+1=12(k+1)-1，
所以当n＝k+1时，等式成立，
由①②，对于任何n∈N*，an=12n-1．
【变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2)
②an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)
已知数列an的前n项和为Sn，且S1=1，_______.
(1)求a2,a3,a4；
(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解题思路】（1）选择条件①，分别令n=2，3，4，能够求出a1，a2，a3．
选择条件②，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3．
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：an=2n-1，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解答过程】(1)
解：选择条件①，∵Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2)
∴当n=2 时，S1+a2=4，即a2=3，
当n=3 时，S2+a3=9，所以a1+a2+a3=9，即a3=5，
当n=4 时，S3+a4=16，即a4=7，
故a2,a3,a4分别为3，5，7.
选择条件②，an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)
∴当n=1 时，a2=a1-2×12+3×1+1=3，
当n=2 时，a3=2a2-2×22+3×2+1=5.
当n=3 时，a4=3a3-2×32+3×3+1=7
故a2,a3,a4分别为3，5，7.
(2)
解：猜想an=2n-1，理由如下：
选择条件①∵Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2)
n=1时，由题知，a1=1，猜想成立，
假设n=k(k∈N,k≥2)时，ak=2k-1，
则Sk-1+ak=k2，所以Sk+ak+1=(k+1)2
两式相减得：Sk+ak+1-Sk-1-ak=(k+1)2-k2
即ak+1=2k+1=2(k+1)-1
所以，n=k+1时an=2n-1成立，
综上所述，任意n∈N，有an=2n-1．
选择条件②an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)
n=1时，由题知，a1=1，猜想成立，
假设n=k(k∈N,k≥2)时，ak=2k-1
则ak+1=kak-2k2+3k+1=k(2k-1)-2k2+3k+1=2k+1=2(k+1)-1
所以，n=k+1时an=2n-1成立，
综上所述，任意n∈N，有an=2n-1．