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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时学案设计，共12页。学案主要包含了数列的有关概念和分类，数列通项公式的简单应用等内容，欢迎下载使用。
第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案 还可以用列表法、图象法．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )
3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
4．an与{an}表达不同的含义．( √ )
一、数列的有关概念和分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n)，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq \f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)，eq \f(13,16)；
(2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)；
(3)7,77,777,7 777.
解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化为eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(2n－3,2n)，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，
eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，
eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.
三、数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
解 (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq \f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq \f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解 (1)由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项．
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
数列单调性的应用
典例 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解 方法一 an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \f(9－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n,11)，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
方法二 根据题意，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n－1≤n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1，))解得9≤n≤10.
又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
[素养提升] (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．
(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.
1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k)
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
答案 C
解析 数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；
数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；
在C中，ak＝eq \f(1＋k,k)＝1＋eq \f(1,k)，故C中说法正确；
在D中，an＝2n－2，故D中说法错误．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
答案 A
解析 把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq \f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq \f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq \f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq \f(1＋－14＋1,2)＝0.
3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
答案 CD
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列．
4．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则该数列的一个通项公式是________________，5eq \r(3)是该数列的第________项．
答案 an＝eq \r(4n－1)(n∈N*) 19
解析 由给出的前几项可归纳出an＝eq \r(4n－1)(n∈N*)．故由eq \r(4n－1)＝5eq \r(3)＝eq \r(75)，
得4n－1＝75，
所以n＝19，即5eq \r(3)是该数列的第19项．
5．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________．
答案 an＝2n＋1，n∈N*
1．知识清单：
(1)数列及其有关概念．
(2)数列的分类．
(3)函数与数列的关系．
(4)数列的单调性．
(5)数列的通项公式．
2．方法归纳：观察、归纳、猜想．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
答案 ABD
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．
2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
答案 A
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
3．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
答案 C
解析 由题意知数列的通项公式是an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)，
所以a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).
4．设an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)
答案 C
解析 ∵an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，
∴a2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( )
A．an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N*
B．an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N*
C．an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*
D．an＝eq \f(3,10)(10n－1)，n∈N*
答案 C
解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－eq \f(1,10n)，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的eq \f(1,3)，所以an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*.
6．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；eq \f(a2,a3)＝________.
答案 3－4n eq \f(1,5)
解析 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．
答案 673
解析 由an＝2 020－3n>0，得n又因为n∈N*，
所以正整数n的最大值为673.
9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)－1，eq \f(8,5)，－eq \f(15,7)，eq \f(24,9)，….
解 (1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝eq \f(2n－1,2n)，n∈N*.
(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq \f(3,3)，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(nn＋2,2n＋1)，n∈N*.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 020；
(3)2 020是否为数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝2，,17k＋b＝66，))
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)a2 020＝4×2 020－2＝8 078.
(3)令2 020＝4n－2，解得n＝505eq \f(1,2)∉N*，
∴2 020不是数列{an}中的项．
11．(多选)数列eq \r(2)，0，eq \r(2)，0，…的通项公式可以是( )
A．an＝eq \f(\r(2),2)[1－(－1)n](n∈N*)
B．an＝eq \r(1＋－1n)(n∈N*)
C．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)，n为奇数,0，n为偶数))(n∈N*)
D．an＝eq \f(\r(2),2)(1－cs nπ)(n∈N*)
答案 ACD
解析 经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式．
12．已知an＝eq \f(n2－21n,2)，则数列{an}中相等的连续两项是( )
A．第9项，第10项
B．第10项，第11项
C．第11项，第12项
D．第12项，第13项
答案 B
解析 假设an＝an＋1，则有eq \f(n2－21n,2)＝eq \f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}递增，
则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－3解得214．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N*
C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….
16．在数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(2)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？
(1)证明 因为an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)(n∈N*)，
所以0(2)解 令eq \f(1,3)解得n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有1项a1.分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
知识点四 数列的单调性
知识点五 通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案 还可以用列表法、图象法．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )
3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
4．an与{an}表达不同的含义．( √ )
一、数列的有关概念和分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n)，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq \f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)，eq \f(13,16)；
(2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)；
(3)7,77,777,7 777.
解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化为eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(2n－3,2n)，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N*.
(3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，
eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，
eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.
三、数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
解 (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq \f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq \f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解 (1)由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项．
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
数列单调性的应用
典例 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解 方法一 an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \f(9－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n,11)，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
方法二 根据题意，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n－1≤n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n≥n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1，))解得9≤n≤10.
又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))9.
[素养提升] (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．
(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.
1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k)
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
答案 C
解析 数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；
数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；
在C中，ak＝eq \f(1＋k,k)＝1＋eq \f(1,k)，故C中说法正确；
在D中，an＝2n－2，故D中说法错误．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
答案 A
解析 把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq \f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq \f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq \f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq \f(1＋－14＋1,2)＝0.
3．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
答案 CD
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列．
4．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则该数列的一个通项公式是________________，5eq \r(3)是该数列的第________项．
答案 an＝eq \r(4n－1)(n∈N*) 19
解析 由给出的前几项可归纳出an＝eq \r(4n－1)(n∈N*)．故由eq \r(4n－1)＝5eq \r(3)＝eq \r(75)，
得4n－1＝75，
所以n＝19，即5eq \r(3)是该数列的第19项．
5．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________．
答案 an＝2n＋1，n∈N*
1．知识清单：
(1)数列及其有关概念．
(2)数列的分类．
(3)函数与数列的关系．
(4)数列的单调性．
(5)数列的通项公式．
2．方法归纳：观察、归纳、猜想．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
答案 ABD
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．
2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
答案 A
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
3．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
答案 C
解析 由题意知数列的通项公式是an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)，
所以a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).
4．设an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)
答案 C
解析 ∵an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，
∴a2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( )
A．an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N*
B．an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N*
C．an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*
D．an＝eq \f(3,10)(10n－1)，n∈N*
答案 C
解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－eq \f(1,10n)，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的eq \f(1,3)，所以an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*.
6．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；eq \f(a2,a3)＝________.
答案 3－4n eq \f(1,5)
解析 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．
答案 673
解析 由an＝2 020－3n>0，得n
所以正整数n的最大值为673.
9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)－1，eq \f(8,5)，－eq \f(15,7)，eq \f(24,9)，….
解 (1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝eq \f(2n－1,2n)，n∈N*.
(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq \f(3,3)，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(nn＋2,2n＋1)，n∈N*.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 020；
(3)2 020是否为数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝2，,17k＋b＝66，))
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)a2 020＝4×2 020－2＝8 078.
(3)令2 020＝4n－2，解得n＝505eq \f(1,2)∉N*，
∴2 020不是数列{an}中的项．
11．(多选)数列eq \r(2)，0，eq \r(2)，0，…的通项公式可以是( )
A．an＝eq \f(\r(2),2)[1－(－1)n](n∈N*)
B．an＝eq \r(1＋－1n)(n∈N*)
C．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)，n为奇数,0，n为偶数))(n∈N*)
D．an＝eq \f(\r(2),2)(1－cs nπ)(n∈N*)
答案 ACD
解析 经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式．
12．已知an＝eq \f(n2－21n,2)，则数列{an}中相等的连续两项是( )
A．第9项，第10项
B．第10项，第11项
C．第11项，第12项
D．第12项，第13项
答案 B
解析 假设an＝an＋1，则有eq \f(n2－21n,2)＝eq \f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}递增，
则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－3
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N*
C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….
16．在数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(2)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？
(1)证明 因为an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)(n∈N*)，
所以0
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
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