高中数学4.1 数列的概念第1课时课时练习

第四章　数列

4.1　数列的概念

第1课时　数列的概念与简单表示

必备知识基础练

1.(2022福建泉州高二期末)数列{an}中,若an=,则a4=(　　)

A. B. C.2 D.8

2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为(　　)

A. B.-

C. D.-

3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　)

A.70 B.28 C.20 D.8

4.(2021河南八市重点高中高二联考)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为(　　)

A.6n-1 B.-6n+1

C.6n+2 D.-6n-2

5.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是(　　)

A. B.cos

C.cos D.cos

6.(多选题)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是(　　)

A.数列{an}中的第1项

B.数列{an}中的第2项

C.数列{an}中的第4项

D.数列{an}中的第6项

7.(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A.1,,…,,…

B.sin,sin,sin,…,sin,…

C.-1,-,-,-,…,-,…

D.1,,…,,…

8.(多选题)数列{an}的通项公式为an=n+,则 (　　)

A.当a=2时,数列{an}的最小值是a1=a2=3

B.当a=-1时,数列{an}的最小值是a1=0

C.当0<a<4时,a不是数列{an}中的项

D.当a<2时,{an}为递增数列

9.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　　. 

10.写出以下各数列的一个通项公式.

(1)1,-,-,….

(2)10,9,8,7,6,….

(3)2,5,10,17,26,….

(4),….

(5)3,33,333,3 333,….

11.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.

(1)求a5.

(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?

关键能力提升练

12.下列图案关于星星的数量构成一个数列,该数列的一个通项公式是(　　)

A.an=n2-n+1 B.an=

C.an= D.an=

13.设an=+…+(n∈N*),则a2等于(　　)

A.

B.

C.

D.

14.(2021河北石家庄月考)数列,-,-,…的一个通项公式为(　　)

A. B.

C. D.

15.(2022广西南宁二中高二月考)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(　　)

A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项

16.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是(　　)

A.an=

B.an=1+(-1)n+1

C.an=2sin

D.an=

17.(2021辽宁锦州义县高二月考)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为　　　　　　. 

18.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=　　　　　,bn=　　　　　. 

19.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*).

(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?

(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?

学科素养创新练

20.如图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为(　　)

图1

图2

A.an=n,n∈N* B.an=,n∈N*

C.an=,n∈N* D.an=n2,n∈N*

21.(2021浙江金丽衢十二校高三联考)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则这个数列中的最大项是(　　)

A.第43项 B.第44项

C.第45项 D.第46项

22.在数列{an}中,an=.

(1)求数列的第7项.

(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?

参考答案

4.1　数列的概念

第1课时　数列的概念与简单表示

1.B　由an=可知16-2n>0,即n<8,所以a4=.

2.D　第5项为(-1)5×=-.

3.C　由an=得a2a3=2×10=20.

4.B　由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.

5.D　当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.

6.BD　令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.

7.CD　选项C,D既是无穷数列又是递增数列.

8.ABCD　当a=2时,an=n+,由f(x)=x+的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;

当a=-1时,an=n-,显然是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;

令an=n+=a,得n2-na+a=0,当0<a<4时,Δ=a2-4a<0,故方程无解,所以a不是数列{an}中的项,C正确;

若{an}是递增数列,则an+1>an,即n+1+>n+,得a<n2+n,又n2+n≥2,所以a<2,D正确.

9.673　由an=2 021-3n>0,得n<=673,

又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.

10.解(1)an=(-1)n+1;

(2)an=11-n;

(3)an=n2+1;

(4)an=;

(5)an=(10n-1).

11.解(1)由已知,得解得所以an=n2-7n+6,所以a5=52-7×5+6=-4.

(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.

12.C　由图形可知,当n=1时,有1个,排除BD;当n=3时,有6个,排除A.

故选C.

13.C　∵an=+…+(n∈N*),

∴a2=.

14.B　数列,-,-,…可以写成,-,-,…,故这个数列的一个通项公式为an=.故选B.

15.C　因为an=-2n2+25n=-2n-2+,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.

16.ABC　∵an=

∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;

∵an=1+(-1)n+1,

∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;

∵an=2sin ,

∴a1=2=2,a2=2=0,

a3=2=2,a4=2=0,故C正确;

∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误.故选ABC.

17.(0,+∞)　由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即,因此<0,即k>3-3n,因为n∈N*,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n的最大值为0,所以k>0.

18.n-1　n2-3n+3　当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;

将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.

19.解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,

而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.

(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,

则有an=an+1,即.

解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.

20.C　∵OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,

∴OA2=,OA3=,…,OAn=,…,

∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,….

21.C　设f(x)=(x>0),

则f(x)=,又由x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,

则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,

而44<<45,a44=<a45=,则数列中的最大项是第45项.

22.(1)解a7=.

(2)证明∵an==1-,

∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内.

(3)解令,则<n2<2,n∈N*,

故n=1,即在区间内有且只有1项a1.