高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步达标检测题

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则 a·b=(　　)

A. B.1

C.2 D.2sin 40°

解析:a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin 30°=1.

答案:B

2.化简cos x-sin x的结果是(　　)

A.2cos B.2sin

C.2sin D.2cos

解析:原式=2

=2=2cos.

答案:D

3.函数f(x)=sin-sin是(　　)

A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数

解析:因为f(x)=sin-sin

=sin xcos +cos xsin -sin xcos +cos xsin

=cos x,

所以函数f(x)的最小正周期为=2π.

又f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),

所以函数f(x)为偶函数.

答案:B

4.已知α∈,且sin α=,则tan的值为(　　)

A. B.7 C.- D.-7

解析:因为α∈,且sin α=,

所以cos α=-,tan α=-,

所以tan,故选A.

答案:A

5.若点P(-3,4)在角α的终边上,点Q(-1,-2)在角β的终边上,则sin(α-β) =　　　　　,cos(α+β)=　　　　　. 

答案:-

6.在△ABC中,cos A=,且cos B=,则cos C的值是　　　　　. 

解析:∵在△ABC中,cos A=,可知A为锐角,

∴sin A=.

∵cos B=,可知B也为锐角,

∴sin B=.

∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=.

答案:

7.化简:sincos=　                                   . 

解析:sincos

=

=×2

=

=sinsin.

答案:sin

8.已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π).

(1)求tan α的值;

(2)求2α-β的值.

解:(1)tan α=tan[(α-β)+β]=.

(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1.

∵tan β=-<0,

∴<β<π.又tan α=>0,∴0<α<.

∴-π<α-β<0.

而tan(α-β)=>0,∴-π<α-β<-.

∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=-.

9.证明:-2cos(α+β)=.

证明左边=-2cos(α+β)=

=

=右边.所以原等式成立.

能力提升

1.已知cos α=,α∈,则sin等于(　　)

A. B. C. D.-

解析:因为α∈,所以sin α<0.

因为sin2α+cos2α=1,cos α=,所以sin α=-.

所以sin=sin αcos -cos αsin

=sin α-cos α

==-.

答案:D

2.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则=(　　)

A. B. C. D.-

解析:∵sin(α+β)=,sin(α-β)=-,

∴

解得sin αcos β=-,cos αsin β=,

∴=-.

答案:D

3.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若=-1,则sin等于(　　)

A. B. C. D.

解析:=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),则=cos α(cos α-3)+sin α(sin α-3)=1-3(cos α+sin α)=1-3=1-3sincos α+cossin α=1-3sin=-1,∴sin.

答案:B

4.已知α,β都是锐角,且sin α=,sin β=,则α+β等于(　　)

A. B. C. D.

解析:∵sin α=且α为锐角,∴cos α=.

又∵sin β=且β为锐角,∴cos β=.

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

==-.

∵0<α+β<π,∴α+β=.

答案:B

5.★(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为(　　)

A.16 B.8 C.4 D.2

解析:由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,

利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,

故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.

答案:C

6.已知α,β∈,若sin,cos,则sin(α-β)的值为　　　　　. 

解析:∵α,β∈,∴<α+<π,-<β-<0,

∴cos=-=-,

sin=-=-.

∴sin(α-β)=sin

=-sin

=-cos-cos

=.

答案:

7.已知函数f(x)=2sin,x∈R.

(1)求f的值;

(2)设α,β∈,f,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.

解:(1)f=2sin=2sin=2×.

(2)f,所以2sin,所以sin α=.又因为f(3β+2π)=,

所以2sin,所以cos β=,

因为α,β∈,所以cos α=,sin β=,

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.