人教版新课标A必修4第二章 平面向量综合与测试同步达标检测题

第二章检测(B)

(时间:90分钟　满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),则(b·c)a=(　　)

A.(-2,4) B.(-10,-20)

C.(2,-4) D.(10,20)

解析:∵a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),

∴(b·c)a=-10a=(-10,-20).

答案:B

2.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=,设=λ(λ∈R),则λ的值为(　　)

A.1 B. C. D.

解析:过C作CE⊥x轴于点E.

由∠AOC=,得|OE|=|CE|=2,

所以=λ,

即=λ,所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.

答案:D

3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　)

A.(3,1) B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个

解析:设P(x,y),由||=2||得=2=-2.

∵=(2,2),=(x-2,y),

∴由=2,得(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,得P(3,1).

由=-2,得(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,得P(1,-1).

答案:C

4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则·()等于(　　)

A.- B.- C. D.

解析:由题意可知点P是△ABC的重心,

∴=0,

∴·()=-=-=-.

答案:A

5.已知不共线,=m=n,其中mn≠1.设点P是直线BN,CM的交点,则(　　)

A.

B.

C.

D.

解析:根据题中所给的条件,可知=λ+(1-λ)=λ+(1-λ)n

=μ+(1-μ)=μ+(1-μ)m,根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的,

得到解得λ=,μ=,

代入可得,故选A.

答案:A

6.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=2,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.

解析:由=x+(1-x),得=x(),∴=x=-2x.

又点O在线段CD上(与点C,D不重合),

∴0<-2x<1,∴-<x<0.

答案:C

7.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若=1,=-,则λ+μ=(　　)

A. B. C. D.

解析:因为菱形的边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.

由=1,

得()·()

=

=2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120°

=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,

所以4(λ+μ)-2λμ=3.

由=-,得(2-2λ)·(2-2μ)·=-,所以λμ=λ+μ-,

因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+=3,

解得λ+μ=,故选C.

答案:C

8.在△ABC中,已知向量满足=0,且,则△ABC为(　　)

A.等边三角形  B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形

解析:因为分别为方向上的单位向量,故由=0可得BC⊥AM(M是∠BAC的平分线与BC的交点),所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形,又,所以∠BAC=60°,所以△ABC为等边三角形.

答案:A

9.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b的起点相同,已知a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,则t=(　　)

A. B. C. D.1

解析:设=a,=tb,(a+b)=.∵A,B,C三点共线,∴=1,t=.

答案:B

10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,且实数x满足x2+x=0,则由实数x组成的集合为(　　)

A.⌀ B.{-1}

C. D.{-1,0}

解析:由于,又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λ-λ=0.因为不共线,又x2+x=0,所以由于是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以实数x满足x2+x=0的集合为⌀.

答案:A

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为　　　　　N. 

解析:当两个力的夹角为90°时,合力的大小为20 N,根据平行四边形法则,知|F1|=|F2|=10 N.(如图①)

当两个力的夹角为120°时,如图②,根据平行四边形法则知,合力的大小为10 N.

答案:10

12.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则||的最大值是　　　　　. 

解析:设动点D(x,y),则由||=1,得(x-3)2+y2=1,D点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.

又=(x-1,y+),

所以||=,

故||的最大值为点(3,0)与(1,-)之间的距离与1的和,即+1=1+.

答案:1+

13.如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且与对角线AC交于点K,其中,=λ,则λ的值为　　　　　. 

解析:∵,

∴=2.

由向量加法的平行四边形法则可知,

,∴=λ=λ()=λ+2λ.

∵E,F,K三点共线,

∴λ+2λ=1,∴λ=.

答案:

14.如图,点A,B是圆O上的两点,∠AOB=60°,点D是圆O上异于A,B的任意一点,若=μ+λ,则μ与λ的关系是　　　　　　　　　　. 

解析:设圆的半径为r,则OA=OB=OD=r.

∵=μ+λ,

∴=(μ+λ)2,

即r2=μ2r2+2λμr2·cos 60°+λ2r2,

整理得μ2+λ2+λμ=1.

答案:μ2+λ2+λμ=1

15.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).若点P的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|PO|=　　　　　. 

解析:||2=(3e1-4e2)2=9|e1|2-24e1·e2+16|e2|2=9-24cos 60°+16=13,所以||=,所以点P到原点O的距离|PO|=.

答案:

三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)在四边形ABCD(A,B,C,D为顺时针排列)中,=(6,1),=(-2,-3),若,且,求的坐标.

解:设=(x,y),则=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2).

因为,所以y(x+4)-x(y-2)=0,

整理得x=-2y.①

=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=(x-2,y-3).

又因为,

所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,

整理得x2+4x+y2-2y-15=0,②

由①②得

所以的坐标为(2,-1)或(-6,3).

17.(8分)已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=.

(1)求证:a⊥b;

(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb满足x⊥y,试求此时的最小值.

(1)证明∵a=(cos(-θ),sin(-θ))=(cos θ,-sin θ),

b==(sin θ,cos θ),

∴a·b=(cos θ,-sin θ)·(sin θ,cos θ)=cos θsin θ-sin θcos θ=0.

∴a⊥b.

(2)解由x⊥y,得x·y=0,即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,

∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,

∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.

又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,

∴k=t3+3t,

∴=t2+t+3=.

故当t=-时,有最小值.

18.(9分)如图,在△OAB中,,AD与BC交于点M,设=a,=b.

(1)用a,b表示;

(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设=p=q,求证:=1.

(1)解设=ma+nb,则=(m-1)a+nb,=-a+b.

∵点A,M,D共线,

∴共线,

∴(m-1)-(-1)×n=0,∴m+2n=1.①

而a+nb,=-a+b.

∵C,M,B共线,

∴共线,∴-n-=0.

∴4m+n=1.②

联立①②可得m=,n=,

∴a+b.

(2)证明a+b,=-pa+qb,

∵共线,∴q-×(-p)=0.

∴q+p=pq,即=1.

19.(10分)已知O为坐标原点,直线y=x+a与圆x2+y2=4分别交于A,B两点.若=-2,求实数a的值.

解:由消去y,得2x2+2ax+a2-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程2x2+2ax+a2-4=0的解.由根与系数的关系,得x1+x2=-a,x1x2=.所以=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+a)(x2+a)=2x1x2+a(x1+x2)+a2=a2-4-a2+a2=-2,

所以a2=2,即a=±.

20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.

(1)求证:A,B,C三点共线;

(2)求的值;

(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=|的最小值为-,求实数m的值.

(1)证明∵,

∴),

即.

∴.

又AC,AB有公共点A,

∴A,B,C三点共线.

(2)解由(1)得),

∴,

∴=2,∴=2.

(3)解=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).

∵x∈,

∴cos x∈[0,1].

∴||=|cos x|=cos x.

∵=2,

∴=2().

∴3=2=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),

∴.

∴f(x)=|

=1+cos x+cos2x-cos x

=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].

当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-相矛盾,即m<0不合题意;

当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.

由1-m2=-,得m=±(舍去);

当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=>1.

综上所述,实数m的值为.