数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后练习题

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

课时目标　1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.

2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.

S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.

3．两角互余或互补

(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余．

(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与______________互补，____________与π－α互补．

一、选择题

1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)

A.        B.        C.        D.

2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)

A．－        B．－        C.        D.

3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)

A.        B.        C.        D.

4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(　　)

A．－1        B．0        C．1        D．±1

5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)

A．1        B．2        C．1＋        D．2＋

6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是(　　)

A．直角三角形        B．正三角形

C．等腰三角形        D．等腰直角三角形

二、填空题

7．化简sin＋cos的结果是________．

8．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．

9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．

10．式子的值是________．

三、解答题

11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．

12．证明：－2cos(α＋β)＝.

能力提升

13．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．

14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．

1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α.

2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.

3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．

3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

答案

知识梳理

1．cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β

2．sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β

3．(1)　＋α　－α　(2)π　π－α　α＋

作业设计

1．A

2．B　[原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°

＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.]

3．C　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝，

∴sin α＝，sin(α＋β)＝.

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]

4．D　[cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.

∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，

∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]

5．B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，

∵0≤x<，

∴≤x＋<.

∴f(x)max＝2.]

6．C　[∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B

∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]

7．cos α

解析　原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.

8.

解析　f(x)＝sin x－cos x＝＝＝sin.

9.

解析　

∴，

∴＝＝.

10.

解析　原式＝

＝

＝＝tan 60°＝.

11．解　因为<β<α<，

所以0<α－β<，

π<α＋β<.

又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，

所以sin(α－β)＝＝＝，

cos(α＋β)＝－＝－＝－.

所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)

＝×＋×＝－.

12．证明　－2cos(α＋β)

＝

＝

＝

＝

＝.

13．－

解析　sin α＋cos

＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin

＝sin α＋cos α

＝

＝

＝sin＝.

∴sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

14．解　设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝＝sin，

∴t∈[－，]，

∴sin x·cos x＝＝.

∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x

即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．

当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.

此时，由sin＝－，

解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.

当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋.

此时，由sin＝，sin＝1.

解得x＝2kπ＋，k∈Z.

综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.