人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时练习

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.(2019宁夏平罗中学高一期中)2sin 15°cos 15°的值为(　　)

A.0 B. C.1 D.

2.(2018湖北黄冈高一下期末)(sin 15°+cos 15°)2的值为(　　)

A. B. C. D.

3.(2018陕西延安黄陵中学高一下期末)的值为(　　)

A. B. C.- D.-

4.(2020甘肃天水一中高一月考)cos275°+cos215°+cos 75°·cos 15°的值是(　　)

A. B. C. D.1+

5.(2019吉林蛟河一中高一月考)cos cos =(　　)

A. B. C. D.

题组二　给值求值

6.(2019河北枣强中学高二期末)已知sin(π-θ)=,则sin 2θ=(　　)

A. B. C. D.

7.(2020安徽安庆高一上期末)已知tan α=2,则tanα-+tan 2α=(　　)

A.-1 B.1 C. D.

8.(2019陕西高一期末)已知tan=,则的值为(　　)

A.- B.- C.- D.-

题组三　倍角公式的综合应用

9.(2019广东高一期末)化简的结果是(　　)

A.sin 2 B.-cos 2 C.-cos 2 D.sin 2

10.(2020湖北孝感高一上期末)已知f(x)=,当<θ<时, f(sin 2θ)-f[sin(-2θ)]的值为(　　)

A.2sin θ B.2cos θ C.-2sin θ D.-2cos θ

11.(2020安徽合肥一中、六中、八中高一上期末)设函数f(x)=cos2x+bcos x+c,则f(x)的最小正周期(　　)

A.与b有关,但与c无关

B.与b有关,且与c有关

C.与b无关,且与c无关

D.与b无关,但与c有关

12.函数f(x)=2cos2x+sin 2x的最小值是　　　　. 

13.(2019内蒙古高一期末)已知函数f(x)=cos2x-asin x·cos x-sin2x,且f=-1.

(1)求常数a及f(x)的最大值;

(2)当x∈时,求f(x)的单调递增区间.

能力提升练

一、选择题

1.(2019福建厦门双十中学高一下期中,★★☆)的值是(　　)

A. B.- C.2 D.-2

2.(2018山东平原一中高一下期末,★★☆)下列各式:

①2sin 67.5°cos 67.5°;②2cos2-1;③1-2sin215°;④,其中值等于的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

3.(2019广东高一期末,★★☆)黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为,约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则=(　　)

A. B.1 C.2 D.

4.(★★☆)若α∈,且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于(　　)

A. B. C. D.

5.(2019福建高一期末,★★☆)设a=cos 6°+sin 6°,b=,c=,则有(　　)

A.b<c<a B.c<b<a

C.c<a<b D.a<c<b

6.(2019辽宁凌源二中高一下期末,★★☆)已知sin α-cos α=-,则sin 2α的值为(　　)

A. B.- C. D.-

7.(2019河南高一期末,★★☆)计算的结果为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

8.(★★☆)函数y=sin x·sin是(　　)

A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数

9.(2018四川棠湖中学高一下开学考试,★★★)角α的终边落在直线y=-2x上,则tan 2α=(　　)

A.± B.± C.- D.

二、填空题

10.(2019广东高一期末,★★☆)-=　　　. 

11.(2019吉林高一期末,★★☆)已知α为锐角,cos α=,则tan=　　　　. 

12.(★★☆)等腰三角形一个底角的余弦值为,那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　. 

13.(2020江西南昌二中高三月考,★★☆)若tan α=,则cos=　　　　. 

三、解答题

14.(2019吉林蛟河一中高一月考,★★☆)计算:(1);

(2).

15.(2019甘肃兰州一中高一期末,★★☆)设平面向量a=,b=(cos x,-1),函数f(x)=a·b.

(1)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间及最大值;

(2)若锐角α满足f=,求cos的值.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.3　二倍角的正弦、

余弦、正切公式

基础过关练

1.D　2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故选D.

2.C　(sin 15°+cos 15°)2=sin215°+cos215°+2sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=.

故选C.

3.A　cos -sin cos +sin

=cos2-sin2=cos2×=cos =,故选A.

4.A　cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°

=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°

=1+sin 30°=.故选A.

5.B　coscos

====,故选B.

6.C　因为sin(π-θ)=,

所以sin θ=,cos θ=,

所以sin 2θ=2sin θcos θ=2××=.

故选C.

7.A　因为tan α=2,

所以tan+tan 2α=+=+=-=-1.故选A.

8.B　∵tan===,∴tan α=-.

∴===-.故选B.

9.D　

=

=|sin 2|=sin 2.故选D.

10.B　由题意可得,当<θ<时,

f(sin 2θ)==|cos θ+sin θ|

=cos θ+sin θ,

f(-sin 2θ)==|sin θ-cos θ|=sin θ-cos θ,

所以f(sin 2θ)-f[sin(-2θ)]=cos θ+sin θ-sin θ+cos θ=2cos θ, 故选B.

11.A　f(x)=cos2x+bcos x+c=+bcos x+c=cos 2x+bcos x+c+.

当b=0时,f(x)的最小正周期为π;

当b≠0时,f(x)的最小正周期为2π,

c的变化只会引起f(x)的图象的上、下平移,不会影响其最小正周期.故选A.

12.答案　1-

解析　f(x)=1+cos 2x+sin 2x=1+sin2x+,∴f(x)的最小值为1-.

13.解析　(1)f(x)=cos 2x-sin 2x,

由f=-1,得-=-1,即a=2.

∴f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,当2x+=2kπ(k∈Z),

即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)max=.

(2)f(x)=cos,令2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z),又x∈,所以≤x≤,

所以当x∈时,f(x)的单调递增区间为.

能力提升练

一、选择题

1.D　=2×===-2.故选D.

2.C　2sin 67.5°cos 67.5°=sin 135°=;

2cos2-1=cos =;

1-2sin215°=cos 30°=;

=tan 45°=1.故选C.

3.A　∵a=2cos 72°,∴a2=4cos272°,可得4-a2=4-4cos272°=4sin272°,

∴=2sin 72°,a=2cos 72°·2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°,

∴===.

故选A.

4.D　由已知得,sin2α+1-2sin2α=,

所以sin2α=,

又α∈0,,所以sin α=,cos α=.因此,tan α=.

5.A　a=cos 6°+sin 6°

=sin 30°cos 6°+cos 30°sin 6°=sin(30°+6°)=sin 36°,

b===sin 34°,

c==sin 35°,

因为正弦函数在上为增函数,所以b<c<a,故选A.

6.C　将sin α-cos α=-的等号的两边分别平方,得sin2α-2sin αcos α+cos2α=,

可得1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=,即sin 2α=.故选C.

7.B　

=

=

==2,故选B.

8.C　y=sin x·sin=sin xcos x=sin 2x,

因此该函数的最小正周期为=π,且该函数为奇函数,故选C.

9.D　当角α的终边落在射线y=-2x(x≥0)上时,在射线y=-2x(x≥0)上取一点A(1,-2),则OA=,由三角函数的定义可知sin α=-,cos α=,所以tan α=-2,则tan 2α===.当角α的终边落在射线y=-2x(x≤0)上时,在射线y=-2x(x≤0)上取一点B(-1,2),则OB=,由三角函数的定义可知sin α=,cos α=-,所以tan α=-2,则tan 2α===.综上,tan 2α=,故选D.

二、填空题

10.答案　2

解析　-

==

=2·=2.

11.答案　-

解析　∵α为锐角,∴sin α===,∴tan α==2,

∴tan 2α===-,

∴tan=

==-.

12.答案　

解析　设A是等腰△ABC的顶角,

则cos B=,

sin B===.

所以sin A=sin(180°-2B)=sin 2B=2sin Bcos B=2××=.

13.答案　-

解析　cos=-sin 2α

=-=-=-.

三、解答题

14.解析　(1)

=

=

====-4.

(2)

=

=

=

==.

15.解析　(1)f(x)=a·b

=sin xcos x+-cos2x

=sin 2x-cos 2x=sin.

由x∈,得2x-∈,

令2x-∈,则x∈,

∴当x∈时,f(x)的单调递增区间为.当x=时,f(x)取得最大值,最大值为1.

(2)f=sin=,

∵α为锐角,

∴cos==.

∴cos=cos

=-sin 2

=-2sincos=-.