高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式当堂检测题

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

课时目标　1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．

1．两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.

(2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.

2．两角和与差的正切公式的变形

(1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝____________________________________________________________.

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.

tan α·tan β＝______________________________________________________________.

(2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝______________________________.

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.

tan αtan β＝______________________________________________________________.

一、选择题

1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　)

A.　　　　B．7　　　　C．－　　　D．－7

2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是(　　)

A.        B．－        C．－7        D．－

3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是(　　)

A.        B.        C.        D.

4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)

A．钝角三角形        B．锐角三角形

C．直角三角形        D．无法确定

5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)

A．1        B．2        C．tan 10°        D.tan 20°

6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)

A.        B.        C.        D.

二、填空题

7.＝________.

8．已知tan＝2，则的值为________．

9．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.

10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.

三、解答题

11．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

求tan(α＋β)的值．

能力提升

13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.

(1)求证：tan A＝2tan B；

(2)设AB＝3，求AB边上的高．

1．公式T(α±β)的适用范围

由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．

2．公式T(α±β)的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．

要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.

3．公式T(α±β)的变形应用

只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．

3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

答案

知识梳理

1．(1)　(2)

2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)　tan(α＋β)　1－

(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)　tan(α－β)　－1

作业设计

1．A　2.C　3.C

4．A　[tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，

∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，

∴C为钝角．]

5．A　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°

＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)

＝tan 30°＝1.]

6．B　[tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝，

∴tan(A＋B)＝＝，即＝，解得tan A·tan B＝.]

7．－

8.

解析　∵tan＝2，∴＝2，

解得tan α＝. ∴＝＝＝＝.

9．－

解析　＝＝＝＝－.

10．1

解析　tan β＝＝.

∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.

∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.

∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.

∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.

11．解　由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，

得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)．

∴tan(B＋C)＝＝，

又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.

又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，

∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，

∴tan(A＋B)＝＝－，

而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，

∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为等腰三角形．

12．解　由条件得cos α＝，cos β＝.

∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，

sin β＝＝.

因此tan α＝＝7，tan β＝＝.

tan(α＋β)＝＝＝－3.

13．解　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.

而α∈(0，π)，故α∈(0，)．

∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.

∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，

∴－π<α－β<－.

∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，

∴2α－β＝－.

14．(1)证明　∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

∴⇒⇒＝2，所以tan A＝2tan B.

(2)解　∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－.

将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0.

解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.

∴tan A＝2tan B＝2＋.设AB边上的高为CD.

则AB＝AD＋DB＝＋＝.

由AB＝3，得CD＝2＋.∴AB边上的高等于2＋.