高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算综合训练题

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1.可以写成:①;②;③;④,其中正确的是(　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

答案:D

2.下列式子中,不能化简为的是(　　)

A. B.

C. D.

解析:

=;

=()+()=;

=-;

.

答案:D

3.如图,在矩形ABCD中,=(　　)

A. B.

C. D.

解析:由题意,.故选B.

答案:B

4.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则等于(　　)

A. B.

C. D.

解析:.

答案:D

5.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,则=　　　　　　　.(用a,b,c表示) 

解析:=-=-c+a+b=a+b-c.

答案:a+b-c

6.已知A,B,C,D为平面上的四个点,则=　　　　　. 

解析:=()+()-.

答案:

7.已知点C是线段AB的中点,则=　　　　. 

解析:∵,∴=0.

答案:0

8.如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.

作法作向量=a,=b,则向量=a-b,如图;作向量=a,则=a-b+a.

9.如图,点O在▱ABCD外,已知=a,=b,=c,请用a,b,c表示.

解:由题意,可得.

因为,

所以=a+c-b.

能力提升

1.下列各式:①;②;③,其中结果为0的共有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:;

=0;

=()+()=.

答案:B

2.若||=8,||=5,则||的取值范围是(　　)

A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)

解析:由于,则有||-||≤||≤||+||,即3≤||≤13.

答案:C

3.已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|a-b|=　　　　　. 

解析:当a与b方向相同时,|a-b|=|a|-|b|=7-2=5;

当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.

答案:5或9

4.在△OAB中,已知=a,=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°,则|a-b|=　　　　. 

解析:∵|a|=|b|,∴OA=OB.

又∠AOB=60°,∴△ABO是等边三角形,∴BA=4,

∴|a-b|=||=||=4.

答案:4

5.★已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　　　　　. 

解析:如图,作=a,=b,

则||=|a-b|.

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|.

由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=||2,所以△AOB是直角三角形,从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形.

所以||=||=|a-b|=4,即|a+b|=4.

答案:4

6.★如图,在四边形ABCD中,,对角线AC与BD交于O,设=a,=b,用a和b表示.

解:∵,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴点O是DB的中点,也是AC的中点,

∴=b-a,

=-=-b-a.

7.已知|a|=8,|b|=15.

(1)求|a-b|的取值范围;

(2)若|a-b|=17,则表示a,b的有向线段所在的直线所成的角是多少?

解:(1)由向量三角不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,得7≤|a-b|≤23,当a,b同向时,不等式左边取等号,当a,b反向时,不等式右边取等号.

(2)易知|a|2+|b|2=82+152=172=|a-b|2,作=a,=b,则||=|a-b|=17,

所以△OAB是直角三角形,其中∠AOB=90°.

所以表示a,b的有向线段所在的直线所成的角为90°.