初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试精品课时训练

第十七章 勾股定理 综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列各组数中，不是勾股数的是(　B　)

A．3,4,5　　　B．4,5,6　　　C．5,12,13　　　D．6,8,10

2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(　A　)

A．三边长的比是1∶2∶3　　　B．三边长的比是3∶4∶5

C．三边长分别是41,40,9　　 　D．三边长分别是10,24,26

3．下列说法正确的是(　A　)

A．每个命题都有逆命题  　　　B．假命题的逆命题一定是假命题

C．每个定理都有逆定理  　　　D．真命题的逆命题一定是真命题

4．如果△ABC的三边长分别是m2－1、2m、m2＋1(m＞1)，那么(　C　)

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m

B．△ABC是锐角三角形

C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2＋1

D．△ABC是否为直角三角形，需看m的值

5．在一水塔A的东北方向32 m处有一抽水池B，在水塔A的东南方向24 m处有一建筑工地C，在BC间需建一条直水管道，则水管的长为(　B　)

A．45 m　　　B．40 m　　　C．50 m　　　D．56 m

6．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A、B、C、D都在格点上，则下面4条线段长度为的是(　A　)

A．AB　　　B．BC　　　C．CD　　　D．AD

7．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(　D　)

A．60海里   　　　B．45海里 　　　C．20海里　　　D．30海里

8. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是(　D　)

A．10尺　　　B．11尺　　　C．12尺　　　D．13尺

9．如图，长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm.将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　A　)

A．6 cm2　　　B．8 cm2　　　C．10 cm2　　　D．12 cm2

10．如图，以直角三角形三边a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形．上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形的个数是(　D　)

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为　等腰直角三角形　.

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AB＝17 cm，AD＝10 cm，AC＝8 cm，则BD的长为　9　cm.

13．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为 　10　.

图1               图2

14．观察下面几组勾股数，并寻找规律：

  ①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26；…

  请你根据规律写出第⑤组勾股数是　12,35,37　.

15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是　2　.

16．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，直角三角形外侧的四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x,10，y分别表示该正方形的面积，则x＋y＝　22　.

三、解答题(共72分)

17．(7分)如图，在四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，∠BAD＝90°，AO＝2，CD＝3，BC＝，△BCD是直角三角形吗？若是请说明理由．

解：△BCD是直角三角形．理由如下：在△ABD中，∵∠BAD＝90°，O是对角线BD的中点，AO＝2，∴BD＝2AO＝4.又∵CD＝3，BC＝，∴CD2＋CB2＝BD2，∴△BCD是直角三角形．

18．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．

解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°.又∵CD＝3，AD＝1，∴AC2＋AD2＝9＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°.

19.(8分) 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图．为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°.∵BC＝800米，AC＝600米，∴AB＝＝＝1000(米)．∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，∴CD＝＝＝480(米)．由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．

20．(8分)如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3.求证：

(1)△BEC为等边三角形；

(2)ED⊥CD.

证明：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°.∵AB＝4，∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2－AE2＝12.又∵BC2＝12，∴BE＝BC.又∵∠CBE＝60°，∴△BEC为等边三角形．

(2)∵△BEC为等边三角形，∴EC2＝BC2＝12.又∵DE2＝9，CD2＝3，∴DE2＋CD2＝12＝EC2，即△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，∴ED⊥CD.

21．(9分)如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE、DE、DE的延长线交AB于点F.已知DE＝AB，∠CAD＝45°.

(1)求证：DF⊥AB；

(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝c2.

证明：(1)∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°.在Rt△ABC与Rt△DEC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，∴∠BAC＝∠EDC.∵∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF＋∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB.

　(2)∵S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，∴a2＋b2＝·c·DF－·c·EF＝·c·(DF－EF)＝·c·DE＝c2，∴a2＋b2＝c2.

22．(10分)阅读理解：

我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5,12,13；9,40,41；…，但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3,4,5是三个连续正整数组成的勾股数．

解决问题：

(1)在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；

(2)在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由；

(3)在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．

解：(1)存在三个连续偶数能组成勾股数，如6,8,10.

(2)不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．设这三个正整数分别为n－1，n，n＋1，则(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，解得n1＝4，n2＝0(舍去)．当n＝4时，n－1＝3，n＋1＝5，∴三个连续正整数仍然是3,4,5，∴不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．　(3)不存在．理由：假设在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数．设这三个奇数分别为2n－1,2n＋1,2n＋3(n是大于1的整数)，则(2n－ 1)2＋(2n＋1)2＝(2n＋3)2，解得n1＝，n2＝－.∴不存在三个连续奇数能组成勾股数．

23．(11分)某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13 m，梯子底端离墙角的距离BO＝5 m.

(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；

(2)如果梯子的顶端A下滑4 m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD等于4 m吗？为什么？

解：(1)∵AO⊥DO，∴AO＝＝＝12(m)，∴梯子顶端距地面12 m高．

(2)滑动的距离BD不等于4 m．∵AC＝4 m，∴OC＝AO－AC＝8 m，∴OD＝＝＝(m)，∴BD＝OD－OB＝(－5) m，∴滑动的距离BD不等于4 m.

24．(12分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级．该台风中心现在以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往F移动，如图所示，且台风中心的风力不变．若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．

(1)该城市是否受到台风影响？请说明理由；

(2)若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响的持续时间有多长？

解：(1)该城市会受到台风影响．理由如下：过点A作AD⊥BF于点D.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，AB＝240千米，∴AD＝AB＝120千米．∵受到台风影响的最大距离为25×(12－4)＝200(千米)，且120<200，∴该城市会受到台风影响．

(2)设当台风移到点E处时，该城市开始受台风影响，当台风移至点C处时，该城市脱离台风影响；则AE＝AC＝200千米．在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AE2－DA2＝1602，∴DE＝160千米．同理可得，CD＝160千米．∴CE＝CD＋DE＝320千米，∴该城市受台风影响的持续时间为＝16(时)．