高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第1课时导学案，共11页。学案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求参数值等内容，欢迎下载使用。

第1课时 奇偶性的概念


学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．








知识点一 函数奇偶性的几何特征


一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．


知识点二 函数奇偶性的定义


1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．


2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．


知识点三 奇(偶)函数的定义域特征


奇(偶)函数的定义域关于原点对称．





1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ )


2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( × )


3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．( × )


4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．( × )





一、函数奇偶性的判断


例1 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \f(1,x)；


(2)f(x)＝x2(x2＋2)；


(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；


(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2).


解 (1)f(x)＝eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，


∵f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，


∴f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数．


(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.


∵f(－x)＝f(x)，


∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．


(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，


∵定义域不关于原点对称，


∴f(x)＝eq \f(x,x－1)既不是奇函数，也不是偶函数．


(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)的定义域为{－1,1}．


∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，


∴f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)既为奇函数，又为偶函数．


反思感悟 判断函数奇偶性的方法


(1)定义法：


①定义域关于原点对称；


②确定f(－x)与f(x)的关系．


(2)图象法．


跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \r(x)；


(2)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)；


(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))


解 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝eq \r(x)是非奇非偶函数．


(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．


f(－x)＝eq \f(\r(1－x2),－x)＝－f(x)，


所以f(x)为奇函数．


(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，


当x>0时，－x<0，


则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；


当x<0时，－x>0，


则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．


二、奇、偶函数图象的应用


例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．





(1)画出f(x)的图象；


(2)解不等式xf(x)>0.


考点 函数图象的对称性


题点 中心对称问题


解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．





(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．


延伸探究


把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．


解 (1)f(x)的图象如图所示：





(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．


反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．


跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．





(1)画出在区间[－5,0]上的图象；


(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．


考点 函数图象的对称性


题点 中心对称问题


解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.





分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，


再用光滑曲线连接即得．


(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.


∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2

三、利用函数的奇偶性求参数值


例3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.


答案 eq \f(1,3) 0


解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，


所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3).


又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.


(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.


答案 0


解析 由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.


反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型


(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．


(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．


跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.


答案 0


解析 方法一 显然x∈R，


由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.


又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，


即|x＋a|＝|x－a|.


又x∈R，所以a＝0.


方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.


(2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________．


答案 eq \f(1,2)


解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，


∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，


∴m＝eq \f(1,2).





1．下列函数是偶函数的是( )


A．y＝x B．y＝2x2－3


C．y＝eq \r(x) D．y＝x2，x∈(－1,1]


答案 B


2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象关于( )


A．y轴对称 B．直线y＝－x对称


C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称


答案 C


解析 ∵f(x)＝eq \f(1,x)－x是奇函数，


∴f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象关于原点对称．


3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )





考点 函数的奇偶性概念


题点 函数奇偶性概念的理解


答案 B


4．f(x)＝x2＋|x|( )


A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数


B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数


C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数


D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数


考点 单调性与奇偶性的综合应用


题点 判断函数的单调性、奇偶性


答案 D


5．若已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，则函数f(x)的解析式为________．


答案 f(x)＝eq \f(x,1＋x2)


解析 ∵f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，


∴f(0)＝0，∴f(0)＝eq \f(a×0＋b,1＋02)＝0，∴b＝0.


即f(x)＝eq \f(ax,1＋x2)，


又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，∴eq \f(\f(a,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(2,5).


∴a＝1，∴函数f(x)＝eq \f(x,1＋x2).





1．知识清单：


(1)函数奇偶性的概念．


(2)奇函数、偶函数的图象特征．


2．方法归纳：特值法、数形结合法．


3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性．








1．下列函数中奇函数的个数为( )


①f(x)＝x3；②f(x)＝x5；


③f(x)＝x＋eq \f(1,x)；④f(x)＝eq \f(1,x2).


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 C


2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是( )


A．(3，－2) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(2，－3)


答案 A


解析 f(－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，


∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f(x)的图象上．


3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )


A．是奇函数


B．是偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．既不是奇函数又不是偶函数


答案 A


解析 F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)．


∴F(x)为奇函数


4．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为( )


A．0 B．－1 C．1 D．2


答案 C


解析 ∵f(x)为R上的奇函数，


∴f(0)＝0得a＝1.


5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )





A．－2 B．2


C．1 D．0


答案 A


解析 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)


＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.


6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.


答案 4


解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.


7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．


答案 5


解析 因为f(x)是奇函数，


所以f(－3)＝－f(3)＝－6，


所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.


8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：


①f(x)＋f(－x)＝0；


②f(x)－f(－x)＝2f(x)；


③f(x)·f(－x)<0；


④eq \f(fx,f－x)＝－1.


其中一定正确的为________．(填序号)


答案 ①②


解析 ∵f(x)在R上为奇函数，


∴f(－x)＝－f(x)．


∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．


f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．


当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．


当x＝0时，eq \f(fx,f－x)分母为0，无意义，故④不正确．


9．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝x3＋x5；


(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；


(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).


考点 函数的奇偶性判定与证明


题点 判断简单函数的奇偶性


解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．


(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．


10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．





(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．


解 (1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.





(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．





11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )


A．y＝x3 B．y＝|x|＋1


C．y＝－x2＋1 D．y＝－eq \f(2,x)


答案 B


解析 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，


所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，


所以在(0，＋∞)上单调递增．


另外，函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－eq \f(2,x)不是偶函数．故选B.


12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )


A．f(x)＋|g(x)|是偶函数


B．f(x)－|g(x)|是奇函数


C．|f(x)|＋g(x)是偶函数


D．|f(x)|－g(x)是奇函数


考点 函数的奇偶性判定与证明


题点 判断抽象函数的奇偶性


答案 A


解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，


由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，


故|g(x)|为偶函数，


∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．


13．函数f(x)＝eq \f(\r(4－x2),2－|x＋2|)的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．


答案 [－2,0)∪(0,2] 奇


解析 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,2－|x＋2|≠0，))


解得－2≤x≤2且x≠0，


∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．


∵f(x)＝eq \f(\r(4－x2),2－|x＋2|)＝eq \f(\r(4－x2),－x)＝－eq \f(\r(4－x2),x)，定义域关于原点对称，


∴f(－x)＝eq \f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，


∴f(x)为奇函数．


14．函数f(x)＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)＋5满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．


答案 8


解析 设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)(x≠0)，


∵g(－x)＝－ax3－bx－eq \f(c,x)＝－g(x)，


∴g(x)是奇函数，


∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]


＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，


又g(3)＝f(3)－5＝3，


∴f(3)＝8.





15．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq \f(2,3)，则f(－a)＝________.


考点 函数图象的对称性


题点 中心对称问题


答案 eq \f(4,3)


解析 根据题意，f(x)＝eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq \f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq \f(x,x2＋1)是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq \f(2,3)＝eq \f(4,3).


16．设函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a，b，c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．


解 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，


∴eq \f(ax2＋1,bx＋c)＋eq \f(ax2＋1,c－bx)＝0，∴c＝0.


又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.


∵f(2)<3，∴eq \f(4a＋1,2b)<3，∴eq \f(4a＋1,a＋1)<3，


解得－1

∴b＝eq \f(1,2)或1，由于b∈Z，


∴a＝1，b＝1，c＝0.