高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案

专题10函数的基本性质（单调性）（讲）

1．增函数和减函数

[知识点拨]　(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1<x2⇔f(x1)<f(x2)．

(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1<x2⇔f(x1)>f(x2)．

2．单调性

(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．

[归纳总结]　基本初等函数的单调区间如下表所示：

3. 最大值和最小值

[知识拓展]　函数最大值和最小值定义中两个关键词：

①“存在”：

M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，

如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.

②“任意”：

最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．

1．设函数，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数

2．若关于在上是单调递增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（    ）

A．[-1，+∞) B．(-∞，-1] C．[-2，+∞) D．(-∞，-2]

4．已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．下列四个函数中，在上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

重要考点一：利用图象求函数的单调区间

【典型例题】函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【题型强化】已知函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【收官验收】关于函数的下列结论，错误的是（   ）

A．图像关于对称

B．最小值为

C．图像关于点对称

D．在上单调递减

【名师点睛】

函数单调区间的求法及表示方法

(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．

(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．

(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．

重要考点二：用定义证明函数的单调性

【典型例题】已知函数，试判断函数的单调性，并证明.

【题型强化】试用函数单调性的定义证明：在上是减函数．

【收官验收】已知函数.

(1)判断在区间上的单调性并证明；

(2)求的最大值和最小值.

【名师点睛】

1．函数单调性的证明方法——定义法

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：

2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．

重要考点三：单调性的应用

【典型例题】函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________

【题型强化】已知为奇函数，且在上是减函数，若不等式在上都成立，则实数的取值范围是___________.

【收官验收】已知是定义在上的函数，对任意的，恒有成立.，若在上单调递增，且，则的取值范围为__________.

【名师点睛】

利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．

重要考点四：对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误

【典型例题】已知函数在区间上单调递增，求实数k的取值范围.

【题型强化】二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；

【收官验收】

(1)已知在上是单调函数,求的取值范围；

(2)求的解集.

【名师点睛】

若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f(x)在区间A上单调增(或减)和f(x)的单调增(或减)区间为A不等价．

重要考点五：抽象函数单调性的判断与证明

【典型例题】已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.

（1）求;    

（2）试判断在上的单调性,并证明;

（3）解不等式:.

【题型强化】设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .

(1)求的值;

(2)求证:对任意,恒有.

(3)求证:在R上是减函数.

【收官验收】已知定义在上的恒不为的函数满足，试证明：

(1)及；

(2)；

(3)当时，，则函数在上是增函数.

【名师点睛】

一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型[即给出f(x＋y)所具有的性质，如本例]，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可．

重要考点六：利用图象求函数的最值

【典型例题】对于任意R，函数表示，，中的较小者，则函数的最大值是_________.

【题型强化】函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．2

【收官验收】若函数在区间上的最大值是，最小值是，则(    )

A．与有关，且与有关 B．与无关，但与有关

C．与无关，且与无关 D．与有关，但与无关

【名师点睛】

利用图象法求函数最值的一般步骤是：

重要考点七：利用单调性求最值

【典型例题】函数在区间上的最大值为（    ）

A． B． C． D．不存在

【题型强化】若正数x、y满足，则的最小值等于（    ）

A．4 B．5 C．9 D．13

【收官验收】函数在区间上的最大值与最小值的差记为，若 恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【名师点睛】

1．利用函数单调性求最值的一般步骤：

(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．

2．利用单调性求最值的三个常用结论

(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．

(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．

(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

重要考点八：实际应用中的函数最值问题

【典型例题】某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状，面积为，并且一面紧靠工地现有围墙，另三面用高度一定的矩形彩钢板围成，顶部用防雨布遮盖，其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米，整理地面及防雨布总费用为500元，不受地形限制，不考虑彩钢板的厚度，记与墙面平行的彩钢板的长度为米.

（1）用表示修建储物间的总造价（单位：元）；

（2）如何设计该储物间，可使总造价最低？最低总造价为多少元？

【题型强化】某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．

（1）写出与的解析式；

（2）选择哪家比较合算？请说明理由．

【收官验收】某汽车公司购买了辆大客车，每辆万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约万元，每辆车第一年各种费用约为万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.

写出辆车运营的总利润（万元）与运营年数的函数关系式.

这辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？

【名师点睛】

(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．要注意自变量的取值范围．

(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．

重要考点九：忽视端点值致误

【典型例题】函数的值域为__________.

【题型强化】函数在区间上的值域为_____

【收官验收】对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________.

重要考点十：逻辑推理训练——抽象函数

【典型例题】已知函数的定义域是，当时， ，且

(1)求；

(2)证明在定义域上是增函数；

(3)如果，求满足不等式的的取值范围．

【题型强化】设是定义在上的函数，且对任意，恒有.

（1）求的值；

（2）求证：为奇函数；

（3）若函数是上的增函数，已知,且，求实数的取值范围.

【收官验收】若定义在上的函数对任意的、，都有成立，且当时，.

（1）求证：为奇函数；

（2）求证：是上的增函数；

（3）若，解不等式．

【名师点睛】

处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f()＝－f(x)可作为推理依据．