高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案及反思

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题10函数的基本性质（单调性）（练）

1．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(     )

A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)

C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)

【答案】C

【解析】

选C分别作出f(x)与g(x)的图象

得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
2．已知函数，对于任意时下列说法正确的是（    ）

A．函数最小值为7 B．函数最小值为

C．函数最大值为7 D．函数最大值为

【答案】A

【解析】

由题意可知，，

由对勾函数可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，没有最大值．

故选：A．
3．下列结论正确的是（    ）

A．在定义域内是单调递减函数

B．若在区间上满足，则在上是单调递增的

C．若在区间上单调递减，则在上单调递减

D．若在区间，上分别单调递减，则在上单调递减

【答案】C

【解析】

选项A，在分别单调递减，故A不正确；

选项B，如函数满足，但在上不是单调递增，故B不正确;

选项C，，故说法正确；

选项D，如函数，在区间，上分别单调递减，但在上不单调递减，不正确.

故选：C
4．在区间上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

对于A，时，，在上为减函数，故A不正确；

对于B，，在上为单调递增，

所以在上必为增函数；故B正确；

对于C，，对称轴为 ，开口向下，

在上为单调递增，不合题意，故C不正确；

对于D，定义域为，在无意义，故D不正确.

故选：B.
5．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

对于A选项，函数的值域为且区间上单调递减；

对于B选项，，当时，；当时，.

所以，函数的值域为，且在区间上单调递增；

对于C选项，函数的值域为，且在区间上单调递减；

对于D选项，函数的值域为，且在区间上单调递增.

故选：B.
6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

若满足分段函数是上的单调递减函数，需满足

，解得：

即的取值范围是.

故选:C.
7．若函数在上单调，则的范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】

因为函数的对称轴为：，且在上单调，

或

解得：或

故选：C

8．函数的单调增区间为___________.

【答案】，

【解析】

函数,

所以在和上单调递减，在和上单调递增.

故答案为：，
9．函数的单调递增区间为________．

【答案】

【解析】

令，解得或，

函数的定义域为.

内层函数的减区间为，增区间为.

外层函数在上为增函数，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.

故答案为.
10．若在区间上是增函数，则的取值范围是_________

【答案】a>

【解析】

因为，又在区间上是增函数，

所以只需，即.

故答案为
11．已知函数在上单调递増，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

由已知得反比例函数在上单调递增，需，

二次函数在上单调递增，则需对称轴，所以，

同时当时，，解得，

所以，

故填：。
12．若在区间上是减函数，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

因为在区间上是减函数，结合反比例函数性质可知，所以，

又，

因此，的取值范围是.

故答案为：.

13．已知函数．

（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；

（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

∵，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．

（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，

∴f（x）在上单调递增，

∴，即，，

∴．
14．已知函数．

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）函数 的对称轴为，

又函数在上是单调函数，或 ， 解得或．

实数的取值范围为；

（2）当，时，恒成立，即恒成立，

令，恒成立，

函数的对称轴，∴，即，

的范围为．
15．已知函数.

（1）求函数在上的最小值的表达式；

（2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），其对称轴为，

当，即时，函数在区间上单调递减，；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

；

当时，即当时，函数在区间上单调递增，.

综上所述：；

（2）（i）若方程在上有两个相等的实数根，

则，此时无解；

（ii）若方程有两个不相等的实数根.

①当只有一根在内时，，即，得；

②当时，，方程化为，其根为，，满足题意；

③当时，，方程化为，其根为，，满足题意.

综上所述，的取值范围是.

1．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由于函数在上是增函数.

函数在区间上为增函数，且该二次函数的图象开口向上，则；

函数在区间上也为增函数，则.

且有，所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.
2．已知函数在上单调递减，令，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由于函数在上单调递减，所以，函数在上单调递减，

由，得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.
3．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，；

当时，；

所以，

易知，在单调递增，在单调递增，

且时，，时，，

则在上单调递增，

所以得：，解得，故选C．
4．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．是减函数 D．是增函数

【答案】D

【解析】

由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，

.

当时，由于函数和函数在上都为增函数，

此时，函数在上为增函数；

当时，在上为增函数；

当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，

，所以，函数在上为增函数.

综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.
5．设函数在区间上的最大值和最小值分别为､,则(    ).

A． B．13 C． D．12

【答案】C

【解析】

；

因为，所以，

令，则；

因为，

根据对勾函数性质可知当时，函数有最小值为；

当时，函数有最大值为.

所以.

故选：C.
6．已知,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

的图象如下图所示：

由图象可知：在上单调递增，

因为，所以，

所以即，所以解集为：.

故选：C.
7．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

已知函数在定义域上是减函数，且，

故选：B

8．若,是这两个函数中的较小者,则的最大值是____.

【答案】1

【解析】

由已知可得：.

当时, ；

当时, ,所以函数的最大值为1.

故答案为：1
9．如果函数在区间上有最小值3，那么实数的值为_________.

【答案】或

【解析】

由题得抛物线的对称轴为，

当即时，或，

因为，所以舍去；

当即时，；

当即时，或，

因为，所以.

综上所述，或.

故答案为：或.
10．函数的单调减区间为______．

【答案】和

【解析】

【分析】

作出函数的图象，观察图象可得出函数的单调减区间.

【详解】

作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数的单调减区间为和.

故答案为：和.

【点睛】

本题考查函数单调区间的求解，在涉及绝对值变换时，可结合图象来得出函数的单调区间，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11．若函数在上是减函数，则的取值范围为____.

【答案】

【解析】

由于函数在上是减函数，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.
12．已知函数在区间上的函数值恒为正，则b的取值范围为______．

【答案】

【解析】

为增函数，

∴若在区间上的函数值恒为正，

则只需要即可，

即，

即实数b的取值范围是，

故答案为

13．已知函数，．

（1）求实数的取值范围，使在区间上单调．

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

解：（1）由二次函数的对称轴，要使在区间上是单调函数，

应有或，

故实数的取值范围为.

（2）因为恒成立，即恒成立.

①当时，即，在上是增函数，

,

解得，无解；

②当时，即，

，

解得或；

③当时，即

因为恒成立，在上是减函数，

，解得，无解.

综上所述，实数的取值范围为.
14．已知函数是定义在上的增函数，且满足，且.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）令，得:，

即.

（2）由，

所以，则，

因为函数是定义在上的增函数，

所以在时恒成立，

即在时恒成立，

令，

，，有最小值为0，

所以.
15．已知函数

（1）请判断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性；

（2）当时，恒成立， 求实数的取值范围.

【答案】（1）在内单调递减，在内单调递增，证明见解析；（2）

【解析】

（1）在内单调递减，在内单调递增

以下为证明：

任取且

.

因为，所以，，所以

因为，即

因此，函数在上是单调减函数；

（2）由在时恒成立，

得在时恒成立，

由（1）知，函数在为减函数

所以当时，取得最小值，

所以.

因此，实数的取值范围是.