高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品第1课时学案及答案

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3．2.1 单调性与最大(小)值


第1课时 函数的单调性


学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．








知识点一 增函数与减函数的定义


一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：


(1)如果∀x1，x2∈D，当x1

(2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．


思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？


(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？


答案 (1)不是；(2)不能．


知识点二 函数的单调区间


如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．


特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．


(2)单调区间D⊆定义域I.


(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．





1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × )


2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( √ )


3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)

4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．( √ )








一、函数单调性的判定与证明


例1 根据定义，研究函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)在x∈(－1,1)上的单调性．


解 当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，


当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1

所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x1－1)－eq \f(ax2,x2－1)


＝eq \f(ax1x2－1－ax2x1－1,x1－1x2－1)


＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1)


因为x1，x2∈(－1,1)且x1

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，


所以eq \f(x2－x1,x1－1x2－1)>0，


当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，


所以f(x)在(－1,1)上单调递减，


当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，


即f(x1)

所以f(x)在(－1,1)上单调递增．


综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；


当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；


当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．


反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤





跟踪训练1 求证：函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．


证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x\\al(2,1))－eq \f(1,x\\al(2,2))＝eq \f(x\\al(2,2)－x\\al(2,1),x\\al(2,1)x\\al(2,2))＝eq \f(x2－x1x2＋x1,x\\al(2,1)x\\al(2,2)).


∵x1

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)>0.


∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(－∞，0)上是增函数．


对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \f(x2－x1x2＋x1,x\\al(2,1)x\\al(2,2)).


∵00，x2＋x1>0，xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)>0.


∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．


∴函数f(x)＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数．


二、求单调区间并判断单调性


例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？





考点 求函数的单调区间


题点 求函数的单调区间


解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．


(2)作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象，并指出函数f(x)的单调区间．


解 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象如图所示，





由图可知，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．


反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法


①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．


②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．


(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．


跟踪训练2 (1)函数y＝eq \f(1,x－1)的单调递减区间是________．


答案 (－∞，1)，(1，＋∞)


解析 方法一 y＝eq \f(1,x－1)的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移一个单位得到，如图，





所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．


方法二 函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，


设x1，x2∈(－∞，1)，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1－1)－eq \f(1,x2－1)


＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1).


因为x1

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，


所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．


所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．


综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．


(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．





考点 求函数的单调区间


题点 求函数的单调区间


解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．


三、单调性的应用


例3 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．


答案 (－∞，－3]


解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，


∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，


∴4≤1－a，


∴a≤－3，


∴a的取值范围是(－∞，－3]．


(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)

答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))


解析 因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，


f(1－a)eq \f(2,3)，


所以所求a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).


延伸探究


在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条件不变，则a的范围又是什么？


解 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－a<1，,－1<2a－1<1.))


解得0

因为f(x)在(－1,1)上是增函数，


且f(1－a)

所以1－a<2a－1，


即a>eq \f(2,3).②


由①②可知，eq \f(2,3)

即所求a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)).


反思感悟 函数单调性的应用


(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．


(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．


跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围．


解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，


对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．





由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，


因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，


从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．





1．函数y＝eq \f(6,x)的减区间是( )


A．[0，＋∞) B．(－∞，0]


C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)


答案 C


2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )


A．f(3)

C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)


答案 C


解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．


3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )


A．递减 B．递增


C．先减后增 D．先增后减


答案 C


解析 因为y＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))


作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，





易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．


4．若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．


答案 －1


解析 ∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，


∴2－a＝3，∴a＝－1.


5．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)

答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))


解析 由题设得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))


解得－1≤x




1．知识清单：


(1)增函数、减函数的定义．


(2)函数的单调区间．


2．方法归纳：数形结合法．


3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．








1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )





A．函数在区间[－5，－3]上单调递增


B．函数在区间[1,4]上单调递增


C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减


D．函数在区间[－5,5]上没有单调性


答案 C


解析 单调区间不能用“∪”连接．


2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )


A．y＝3－x B．y＝x2＋1


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－|x＋1|


答案 B


解析 y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．


3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )


A．k>eq \f(1,2) B．k>－eq \f(1,2)


C．k

答案 C


4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )


A．f(a)>f(2a) B．f(a2)

C．f(a2＋a)

答案 D


解析 因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，


且a2＋1>a2，


所以f(a2＋1)

5．已知函数y＝ax和y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )


A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0


C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0


答案 A


解析 因为y＝ax和y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，


所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.


6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1，))则f(x)的单调递减区间是________．


答案 (－∞，1)


解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，


所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．


7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是增函数，则实数a的取值范围为________．


答案 (－∞，2]


解析 因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝eq \f(a－1,2)，又函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是增函数，所以eq \f(a－1,2)≤eq \f(1,2)，解得a≤2.


8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)

考点 函数单调性的应用


题点 利用单调性解抽象函数不等式


答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))


解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x

故满足条件的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


9．已知函数f(x)＝eq \f(2－x,x＋1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．


证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2－x1,x1＋1)－eq \f(2－x2,x2＋1)


＝eq \f(3x2－x1,x1＋1x2＋1).


因为x2>x1>－1，


所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，


因此f(x1)－f(x2)>0，


即f(x1)>f(x2)，


所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．


10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．


解 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))


即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0))的图象如图所示，





单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．





11．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )


A．必是增函数 B．必是减函数


C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性


答案 D


解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，


在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．


12．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则( )


A．f(3)

C．f(2)

答案 A


解析 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，


有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，


则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，


则f(x)在R上是减函数．


又3>2>1，则f(3)

13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x－1，x≤1.))若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．


答案 [4,8)


解 因为f(x)是R上的增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)>0，,4－\f(a,2)－1≤1，))


解得4≤a<8.


14．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．


答案 [－3,0]


解析 ①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，


∴a＝0满足条件；


②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，


对称轴为x＝－eq \f(a－3,2a)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,－\f(a－3,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.


由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．





15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，2) B．(2，＋∞)


C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)


答案 A


解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.


16．已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)＋eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．


解 设11.


因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，


所以f(x1)－f(x2)＝x1－eq \f(a,x1)＋eq \f(a,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,x2)＋\f(a,2)))


＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a,x1x2)))<0.


因为x1－x2<0，所以1＋eq \f(a,x1x2)>0，即a>－x1x2.


因为11，


所以－x1x2<－1，所以a≥－1.


所以a的取值范围是[－1，＋∞)．