高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案

3.2.2  奇偶性

第1课时  奇偶性的概念

【学习目标】

【自主学习】

函数的奇偶性

思考1：从奇偶函数的定义来考虑，奇(偶)函数的定义域有什么特点？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？

思考2：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)

(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)

(4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数. (　　)

2.下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)

【经典例题】

题型一　函数奇偶性的判断

函数奇偶性判断的方法：

(1)定义法：                                  (2)图象法：

例1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x；　　  (2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；    (4)f(x)＝

【跟踪训练】1 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2(x2＋2);  (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(3)f(x)＝；  (4)f(x)＝

题型二　奇、偶函数的图象问题

点拨：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．

例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.

(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；

(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.

【跟踪训练】2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．

题型三　函数奇偶性的应用

例3-1 (利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)

A.26        B.18       C.10         D.－26

例3-2 (利用奇偶性求参数值) 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【跟踪训练】3　(1)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.

(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。

【当堂达标】

1.函数f(x)＝|x|＋1是(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

2.f(x)＝x3＋的图象关于(　　)

A．原点对称      B．y轴对称    C．y＝x对称   D．y＝－x对称

3.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是奇函数   B．|f(x)|g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是偶函数   D．|f(x)g(x)|是偶函数

4.已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)

A．4           B．3          C．2 D．1

5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝    .

6.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；

(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；

(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．

【课堂小结】

1.函数的奇偶性

(1)定义域特点：关于原点对称；

(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；

(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.

2.判断函数奇偶性的方法

(1)定义法；(2)图象法．

【参考答案】

【自主学习】

f(－x)＝f(x)    y轴     f(－x)＝－f(x)   原点

思考1：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．

思考2： ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.

【小试牛刀】

1.（1）×　(2)×　 (3)×   (4)×

2.(2)(4)　(1)(3)  解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．

【经典例题】

例1　解：　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．

又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．

(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．

又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．

【跟踪训练】1解：(1)∵x∈R，∴－x∈R.

又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

例2 解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.

(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).

【跟踪训练】2解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．

由图象可知f(1)<f(3)．

方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，

故f(1)<f(3)．

例3-1  D 解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.

令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，

∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，

∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.

法二　由已知条件，得

①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.

例3-2 －1 解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.

【跟踪训练】3  (1)7  (2)　0　解析： (1)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，

∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，

∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.

 (2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.

又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.

【当堂达标】

1.B解析：∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

2.A 解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．

3.ABD 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．

再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数；D为偶函数．]

4.C 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，

所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，

即4－2m＝0，所以m＝2.

5. －2 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，

∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.

6. 解：(1)由题意作出函数图象如图：

(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．