高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品当堂检测题

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第2讲 函数的基本性质（单调性与最大（小）值）
(重点题型方法与技巧)
目录
类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
类型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
角度2：求复合函数的单调区间
类型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
角度2：利用函数的单调性解不等式
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
类型四：求函数的最值
类型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
角度2：含参数的二次函数最值问题
类型六：恒成立与能成立问题








类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·浙江省东阳中学高一开学考试）已知函数，
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）增函数.证明见解析；（2），.
【详解】（1）设，且，
所以，
∵，∴，，
∴，即，在上为增函数；
（2）在上为增函数，则，
.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性.
【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增．
【详解】设，
则
（1）假如，则
又，所以故函数单调递减；
（2）假如，则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
类型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，
故选：D．
例题2．（2022·全国·高一）函数的单调递减区间是（       ）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）
【答案】B
【详解】解：函数，
画出函数的图象，如图所示：

函数的单调递减区间是，，
故选：B
同类题型演练
1．（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合，
故选D
角度2：求复合函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为显然恒成立，
所以函数的定义域为；
令，则是开口向上的二次函数，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
根据复合函数单调性的判定方法可得，
的单调增区间为.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的减区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，所以函数的定义域为[－3，1]．可以看成由及复合而成．因为函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，1]上是减函数，函数在上是增函数，所以根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，可知函数的减区间是[－1，1]．
故选：B．
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是________.
【答案】
【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，
故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
3．（2022·河南安阳·高一期末（理））函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【详解】由可得，解得：，
所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，
对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
类型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以D选项的正确的．
故选：D
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数在是增函数，若，则有（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）定义域为的函数满足:对任意的，有，则有（   ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数是上的减函数，则       （       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
角度2：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．
【答案】
【详解】由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数，则不等式的x的解集是________．
【答案】
【详解】画出函数的图象如图所示：

所以函数在上为增函数，
由得，即，解得.
故答案为：.
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数在上是增函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数的对称轴为，开口向下，
若在上是增函数，
则，可得，
所以的取值范围是，
故选：A.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数的值为___________.
【答案】
【详解】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）若函数，在上单调递增，则的取值范围为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，解得．
故选：B
例题4．（2022·全国·高一专题练习）若是上的单调减函数，则实数的取值范围为____.
【答案】
【详解】若f（x）＝ 是R上的单调减函数，得则 ，解得，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
2．（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【详解】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为：   .
3．（2022·全国·高一课时练习）若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：函数，
由复合函数的增减性可知，若在为增函数，
，，
故答案为：．
4．（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【答案】##
【详解】不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．
故答案为：．
类型四：求函数的最值（值域）
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
（1）解：函数在上的为增函数，理由如下：
任取，且，有

∵，∴
∴即
∴函数在区间上单调递增
（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，
∴，又∵时，，∴
∴
∴函数的值域为.
例题3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.
【详解】（1）在区间上单调递增
证明：任取，且

因为，，，所以，即
所以在区间上单调递增
（2）由（1）可得，在区间上单调递增
所以，
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）求函数，的最大值与最小值.
【答案】最大值，最小值
【详解】函数，根据对勾函数的性质可得：在上单调递减，上单调递增.
当时取到最小值.
又当时，，当时，
所以当时取到最大值，
所以函数的最大值，最小值
2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数，
（1）判断并用定义证明的单调性；
（2）求的值域.
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.
【详解】（1）为增函数，证明如下：
，，

因为，

可得：
所以在上为增函数.
（2）由第一问可知该函数在上为增函数，则当，有最小值，当，有最大值.
因为，，所以函数值域为.

类型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（   ）
A． B． C． D．最小值是，无最大值
【答案】C
【详解】，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
例题2．（2022·浙江·高三专题练习）函数的值域为 （   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知函数的对称轴为，开口向上，作出函数图像如图所示，由图可知，，，所以值域为.
故选：D.

同类题型演练
1．（2022·新疆喀什·高一期末）函数在区间上的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，对称轴，开口向上，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以.
故选：C
2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）函数的最大值与最小值之和       
A．1.75 B．3.75 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：函数的对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，
，
故选B．
3．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）设，则函数的最大值为______.
【答案】##0.5
【详解】二次函数是开口向下的，对称轴为 ，
∴当 时， ；
故答案为： .
角度2：含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
(1)解：当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
(2)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
(3)解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)－1
(2)
(3)
（1）因为定义在上的函数为偶函数，
所以，都有成立，即，都有成立，解得．
（2）因为函数图象的对称轴为，
所以要使函数在上具有单调性，
则，或，即或，
则的取值范围为．
（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为.
例题3．（2022·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．
【答案】(1)
(2)
（1）因为二次函数，且满足，，
所以，且，
由，得，
所以，得，
所以.
（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，
在上单调递减，
则；
当，即时，，
综上
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
【答案】g(t)＝
【详解】解：∵对称轴x＝1，
当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
当t≤1 f(x)min＝f(1)＝－4.
当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，
则g(t)＝
2．（2022·全国·高三专题练习（理））求二次函数在上的最小值.
【答案】当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为
【详解】由题意，函数，可得在区间递减递增，
（1）当时，函数在区间递减，所以
（2）当时，在区间递增，所以
（3）当时，在区间递减，在区间递增，
所以
3．（2022·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．
【答案】(1)
(2)
(1)是二次函数，且的解集是，
可设，对称轴为，
在区间上的最大值是．
由已知得，
．
(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为
(讨论对称轴与闭区间的相对位置)
①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)
此时，
综上所述，得的表达式为：．
类型六：恒成立与能成立问题
典型例题
例题1．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若函数的定义城为， 则实数的取值范围是（    ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，] D．[0，）
【答案】D
【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：D.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，对，，使成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，
所以在上单调递减，
则在上的值域为.
因为在上单调递增，
所以在上的值域为.
由题意，可得，
即，解得.
故答案为：
例题3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：依题意显然，
因为对任意，总存在，使得，
所以存在，使得，
故在上有解，即在上有解.
设，其图象的对称轴为，
若，即，则此时，故不成立；
若，即，此时需在上，即，
故，解得.
故答案为：
例题5．（2022·福建省德化第一中学高二期末）设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)若不等式对于一切实数恒成立，
①当时，，恒成立，符合题意，
②当时，只需，
解得，
综上所述，的取值范围是；
(2)若不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则只需，即，
解得，或，
所以的取值范围是.
例题6．（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】由得
令，这是关于m的一次函数，
由于一次函数为单调函数，
所以当时，函数值恒为负，即
解该不等式组得
同类题型演练
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为
故答案为：
2．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】若“，使得成立”是假命题，则“，使得成立”是真命题，分离，进而.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是__．
【答案】[1，+∞）
【详解】解：函数的定义域为，
即为ax2+2x+1≥0恒成立，
若a＝0，则2x+1≥0不恒成立；
当a＞0，＝4﹣4a≤0，
解得a≥1；
当a＜0，ax2+2x+1≥0不恒成立．
综上可得，a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
4．（2022·四川凉山·高一期末（理））已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(1)解：当时，，即，，
所以：或
(2)①当时，恒成立，
②当时，恒成立，，即，
综上所述：a的取值范围为：．