高中数学3.2 函数的基本性质第1课时学案设计

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这是一份高中数学3.2 函数的基本性质第1课时学案设计，共11页。学案主要包含了知识导学，新知拓展等内容，欢迎下载使用。

3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间，判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性．
教学难点：用定义证明函数的单调性.

【知识导学】
知识点一　　　函数的单调性及其符号表达
(1)函数单调性的概念
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．
(2)函数单调性的符号表达
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果∀x1，x2∈D，当x1 如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
知识点二　　　增函数、减函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．
知识点三　　　单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【新知拓展】
1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：
(1)属于同一个区间D；
(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；
(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝
它的定义域为N，但不具有单调性．
3．单调区间
(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；
(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．
5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．
7．图象变换对单调性的影响
(1)上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同．
(2)左右平移影响单调区间．如y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x＋1)2的单调递减区间为(－∞，－1]．
(3)y＝k·f(x)，当k>0时单调区间与f(x)相同，当k<0时单调区间与f(x)相反．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　)
(2)函数单调递增(减)定义中的“∀x1，x2∈D”可以改为“∃x1，x2∈D”．(　　)
(3)若区间D是函数f(x)的一个单调递增区间，且x1，x2∈D，若x1 (4)设D是函数f(x)定义域内的某个区间，若∃x1，x2∈D，当x1f(x2)，则f(x)在区间D上不单调递增．(　　)
(5)对于二次函数y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上单调递减，所以它的单调递减区间是(－∞，0]．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的：________.
(2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

(3)下列函数f(x)中，满足∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案　(1)上升的　(2)(－∞，－1]，(1，＋∞)　[－1,1]
(3)②

题型一证明或判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
[证明]　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
∵24，x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
金版点睛
定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：

注意：对单调递增的判断，当x1 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.
对单调递减的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
　利用单调性的定义判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性．
解　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 ∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴>0，
即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
题型二求单调区间
例2　(1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间；
(2)作出函数f(x)＝＋的图象，并指出其单调区间．
[解]　(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及其上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．

由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1，1]．
(2)函数f(x)可化为：
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
作出函数f(x)的图象如图所示．

由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．
金版点睛
常用画图象求单调区间
(1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．
(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．

　(1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；

(2)写出f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
解　(1)函数的单调递增区间是[0,2]，[4,5]，函数的单调递减区间是[－1,0]，[2,4]．
(2)先画出f(x)＝的图象，如图．

所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).
题型三抽象函数的单调性
例3　设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0 (1)f(0)＝1；
(2)∀x∈R，恒有f(x)>0；
(3)f(x)是减函数．
[证明]　(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)．
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，0 当x＝0时，f(0)＝1>0，
当x<0时，－x>0，∴0 ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)·f(－x)＝1，
∴f(x)＝>0.
∴∀x∈R，恒有f(x)>0.
(3)∀x1，x2∈R，且x1 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，
∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．
由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，
∴0 故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)是减函数．
金版点睛
抽象函数单调性的判断方法
这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法．一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试．
注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]；
若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f.

　已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0.求证：f(x)为减函数．
证明　∀x1，x2∈R，且x2>x1，
则x2－x1>0，
∵当x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
∴f(x)为减函数.
题型四复合函数的单调性
例4　求函数f(x)＝的单调区间．
[解]　易知函数f(x)的定义域为{x|x<－4或－42}．
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
易知其单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是(－1,2)和(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－4)和(－4，－1]．
金版点睛
一般地，对于复合函数y＝f[g(x)]，如果t＝g(x)在(a，b)上单调，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上也单调，那么y＝f[g(x)]在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”．

若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定．若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数．
判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)将复合函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调性；
(4)确定复合函数y＝f[g(x)]的单调性．

　已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f(1－x2)的单调递减区间．
解　∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，
∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1.
令u＝1－x2，则f(1－x2)＝f(u)．
∵u＝1－x2在[0,1]上单调递减，
∴f(1－x2)在[0,1]上单调递增；
∵u＝1－x2在[－1,0]上单调递增，
∴f(1－x2)在[－1,0]上单调递减．
故f(1－x2)的单调递减区间为[－1,0].
题型五函数单调性的应用
例5　(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上单调递减，且f(1－a) (2)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由题意可知
解得0 又f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(1－a) ∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0 即所求a的取值范围是.
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又∵函数f(x)在(－∞，4]上单调递减，
∴1－a≥4，即a≤－3.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．
金版点睛
利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
(2)相关结论
①正向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；
②逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2.
当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．

　(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小；
(2)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2) 解　(1)由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，
故f(1)＝f(3)，
由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(2) (2)由题意，得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2) 由①②得1≤x＜.
所以满足题设条件的x的取值范围为.

1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案　C
解析　函数在区间[－3,1]和[4,5]上单调递减，在区间[－3,1]∪[4,5]上无单调性．故选C.
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案　A
解析　因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上单调递减．故选A.
3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1 A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
答案　D
解析　由单调性的定义可知，不能用特殊值代替一般值．故y＝f(x)的单调性不能确定．
4．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，在[－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，则f(1)＝________.
答案　13
解析　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
5．已知函数f(x)＝，判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．
解　函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1＋1>0，x2＋1>0，
又由x1>x2，得x1－x2>0，故f(x1)－f(x2)>0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．