高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.2　函数的基本性质

3.2.1　单调性与最大(小)值

第1课时　函数的单调性

【课前预习】

知识点一

f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　上升的　下降的

诊断分析

1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)应该为∀x1,x2∈D,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在区间D上单调递增.

(2)f(x)=在区间(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减.

(3)因为f(x)是R上的减函数,且-3<2,所以f(-3)>f(2).

(4)易知正确.

2.解:是.若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),当x2<x1时,f(x2)<f(x1),所以f(x)在D上单调递增.同理由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0,可得f(x)在D上单调递减.

知识点二

单调性　单调区间

诊断分析

(1)×　(2)×　[解析] (1)函数f(x)也可能有其他的单调递减区间.

(2)多个单调递增区间不能用并集符号连接.

【课中探究】

探究点一

例1　解:由图像知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].

变式　(1)[-2,1),[3,5]　[-5,-2),[1,3)　(2)(-∞,-1),(1,+∞)　[-1,0),(0,1]　[解析] (1)观察图像可知f(x)的单调递减区间为[-2,1),[3,5],单调递增区间为[-5,-2),[1,3).

(2)由图像知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为[-1,0),(0,1].

拓展　解:(1)由已知得y=其图像如图所示.

由图像可得函数的单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为(-1,+∞).

(2)由已知得y=(x+3)|x-1|=其图像如图所示.

由图像可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),[1,+∞),单调递减区间为[-1,1).

例2　解:依题意得,函数的定义域为{x|x≠-2},

y===1-.

因为函数y=的单调递减区间为(-∞,-2),(-2,+∞),

所以y=的单调递增区间为(-∞,-2),(-2,+∞).

变式　B　[解析] 由已知得f(x)的定义域为R,f(x)=(x-2)2-1的图像的对称轴方程为x=2,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).

探究点二

例3　解:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

证明:∀0<x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-x1+--x2+=x2-x1+=(x2-x1)1+.

∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>0,

故f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

变式　解:∀x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,

有f(x1)-f(x2)=-===.∵-1<0,-1<0,x1x2+1>0,x2-x1>0,

∴当a>0时,>0,

即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-1,1)上单调递减;

当a<0时,<0,

即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,1)上单调递增.

综上所述,当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;

当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.

拓展　解:函数f(x)在R上单调递减.

证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2,

有f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)-1]=1-f(x2-x1),

因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<1,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以f(x)在R上单调递减.

探究点三

例4　(1)-∞,-　(2)1,　[解析] (1)因为函数f(x)=是R上的减函数,所以解得a≤-,即实数a的取值范围是-∞,-.

(2)由题意可知解得1≤t≤2.因为f(x)是定义域为[-1,1]的增函数,且f(t-2)<f(1-t),所以t-2<1-t,解得t<.故实数t的取值范围为1,.

变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)由题意知,实数a满足解得0<a≤2,故实数a的取值范围为(0,2].故选D.

(2)∵>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,又π>2,∴f(π)<f(2),即a<b,故选C.

【课堂评价】

1.C　[解析] 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.故选C.

2.A　[解析] 易知函数f(x)=-x2+2x+3的图像开口向下,对称轴方程为x=1,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1).

3.D　[解析] 由函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,得2a-1<0,即a<.故选D.

4.D　[解析] 二次函数f(x)=x2+4x+c的图像的对称轴方程为x=-2,且开口向上,所以f(x)在[-2,+∞)上单调递增,所以f(-2)<f(0)<f(1),又f(0)=c,所以f(1)>c>f(-2).

5.[-2,-1],[2,6]　(-1,2)　[解析] 由图像可知f(x)的单调递增区间为[-2,-1],[2,6],单调递减区间为(-1,2).