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2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）
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2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·驻马店期中)若集合A＝{x|x(x－2)<0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A．{－1} B．{0} C．{1} D．{2}
答案 C
解析 A＝(0,2)，∵A∪B＝A，∴B⊆A，选项中只有{1}⊆A，故选C.
2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝( )
A.－i B．－＋i
C．－－i D.＋i
答案 B
解析 ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3－i，∴z2＝－3－i，∴＝＝－＋i.故选B.
3．(2019·合肥一中模拟)若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由题意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－，故选D.
4．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.
5．(2019·江南十校模拟)已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足＝2，则·的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 由题意可得大致图象如下图所示，
∵＝＋＝＋；＝－＝－，∴·＝·(－)＝·－·＋·－·＝·－||2＋||2，又||＝||＝1，·＝||||cos∠BAD＝，∴·＝×－1＋＝－.故选D.
6．(2019·珠海一模)若x，y满足约束条件
目标函数z＝ax＋y取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－1,0]
答案 A
解析 结合不等式组，绘制可行域，得到图中的阴影部分，
目标函数转化为y＝－ax＋z，当－a≥0时，则－a<1，此时a的取值范围为(－1,0]，当－a<0时，则－a>－1，此时a的取值范围为(0,1)．综上所述，a的取值范围为(－1,1)，故选A.
7．(2019·河南九狮联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n>111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )
A．输出i＋2 B．输出i
C．输出i－1 D．输出i－2
答案 D
解析 根据程序框图得到的循环是M＝1，i＝3；
M＝1×3，i＝5；
M＝1×3×5，i＝7；
M＝1×3×5×7，i＝9；
…
M＝1×3×5×…×(n－2)，i＝n之后进入判断，不符合题意时输出，输出的是i－2.故选D.
8．(2019·宜宾诊断)已知直线l1：3x＋y－6＝0与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．5(＋1) D．5(－1)
答案 A
解析 以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，联立解得A(2,0)，B(1,3)，∴AB的中点为，而直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，
|AB|＝＝，
∴四边形ACBD面积的最大值为S＝×|AB|×|CD|＝××2＝5.故选A.
9．(2019·漳州一模)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )
A.(87－8)人 B.(89－8)人
C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人
答案 D
解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故选D.
10．(2019·深圳调研)已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥P－ABC的体积为V1，三棱锥O－ABC的体积为V2，若的最大值为3，则球O的表面积为( )
A. B. C. D．6π
答案 B
解析 由题意，设△ABC的外接圆圆心为O′，其半径为r，球O的半径为R，且|OO′|＝d，依题意可知max＝＝3，即R＝2d，显然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，得球O的表面积为4πR2＝πr2＝，故选B.
11．(2019·西工大附中模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵xf′(x)>1－f(x)，∴xf′(x)－1＋f(x)>0，
令F(x)＝x[f(x)－1]，则
F′(x)＝xf′(x)＋f(x)－1>0，
又∵f(x)是在R上的偶函数，
∴F(x)是在R上的奇函数，
∴F(x)是在R上的单调递增函数，
又∵exf(ex)－axf(ax)>ex－ax，
可化为ex[f(ex)－1]>ax[f(ax)－1]，
即F(ex)>F(ax)，
又∵F(x)是在R上的单调递增函数，
∴ex－ax>0恒成立，
令g(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，
∵a>0，∴g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝a－aln a>0，则1－ln a>0，
∴0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·武威十八中模拟)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；
丁说：“C作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
答案 B
解析 若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意．综上所述，故B获得一等奖．
14．(2019·天津七校联考)若二项式6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝________.
答案 124
解析 由题意，二项展开式的通项为Tr＋1＝C·6－r·r＝6－rC·x12－3r，由12－3r＝0，得r＝4，所以m＝2·C＝5，则3x2dx＝3x2dx＝x3＝53－13＝124.
15．(2019·东师附中模拟)已知f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2－3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－4)处的切线方程为________．
答案 5x＋y－1＝0
解析 由题意，设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.
又由函数f(x)是奇函数，所以－f(x)＝x2＋3x，
即f(x)＝－x2－3x(x>0)，
则f′(x)＝－2x－3，所以f′(1)＝－2－3＝－5，且f(1)＝－4，由直线的点斜式方程可知y＋4＝－5(x－1)＝－5x＋5，所以5x＋y－1＝0.
16．(2019·烟台适应性测试)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.
答案 3
解析 画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y＝－1.
设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.
由题意得△NPM∽△NOF，
又＝，即M为FN的中点，
∴|MP|＝|OF|＝，
∴|MQ|＝＋1＝，∴|FM|＝|MN|＝.
又＝＝，
即＝＝，解得|TN|＝3.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a2，a3－2成等差数列，
∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，
∴q＝＝2⇒an＝a1qn－1＝2n(n∈N*)．
(2)∵bn＝＋2log2an－1＝n＋2log22n－1＝n＋2n－1，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝＋
＝n2－n＋1(n∈N*)．
18．(本小题满分12分)(2019·广州二模)科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：
x(年
龄/岁)
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
y(脂肪
含量/%)
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图．
(1)根据上表中的样本数据及其散点图：
①求；
②计算样本相关系数(精确到0.01)，并刻画它们的相关程度；
(2)若y关于x的线性回归方程为＝1.56＋x，求的值(精确到0.01)，并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．
参考数据：＝27，xiyi＝13527.8，x＝23638，y＝7759.6，≈6.56，≈54.18.
参考公式：相关系数r＝＝，回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解 (1)根据上表中的样本数据及其散点图知，
①＝＝47.
②回归系数r＝
＝
＝
＝
＝ .
因为≈6.56，≈54.18，
所以r≈0.98.
由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
(2)因为回归方程为＝1.56＋x，即＝1.56，
所以＝＝≈0.54.
所以y关于x的线性回归方程为＝0.54x＋1.56，
将x＝50代入线性回归方程得＝0.54×50＋1.56＝28.56，
所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%.
19．(本小题满分12分)(2019·咸阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°，求二面角B－PC－D 的余弦值．
解 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC，BD的中点，
又PA＝PC，PB＝PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC∩BD＝O，且AC，BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
(2)设菱形ABCD的边长为2t(t>0)，
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴OA＝t.
由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAO＝30°，得到PO＝t，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，t,0)，C(－t,0,0)，P(0,0，t)，D(0，－t,0)，得到＝(0，－t，t)，＝(t,0，t)．
设平面PBC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
则即令x1＝1，
则y1＝z1＝－，得到n1＝(1，－，－)．
同理可得n2＝(1，，－)，
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝.
∵二面角B－PC－D为钝二面角，则余弦值为－.
20．(本小题满分12分)(2019·广州六校联考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0.以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)已知定点P(0,4)，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，若直线MP，NP关于y轴对称，求△PMN面积的取值范围．
解 (1)由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得，sinA＋sinB＝2sinC，
由正弦定理|CA|＋|CB|＝2|AB|＝4>|AB|，
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中a＝2，c＝1，则b＝，
故轨迹E的方程为＋＝1(x≠0)．
(2)由题可知，P(0,4)，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m(mk≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l的方程代入轨迹E的方程得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.
由Δ>0得3k2＋4>m2，且
x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为直线MP，NP关于y轴对称，所以kMP＋kNP＝0，即＋＝0.
化简得2kx1x2＋(m－4)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(m－4)·＝0，
得m＝1，
那么直线l过点B(0,1)，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以△PMN的面积
S＝·|BP|·|x1－x2|＝＝18，
设k2＋1＝t，则t>1，S＝18·，
显然S在t∈(1，＋∞)上单调递减，所以S∈.
即△PMN面积的取值范围为.
21．(本小题满分12分)(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝xln x－x2＋(a－1)x，其导函数f′(x)的最大值为0.
(1)求实数a的值；
(2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，证明：x1＋x2>2.
解 (1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数f′(x)＝ln x－a(x－1)，
记h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝.
当a≤0时，h′(x)＝≥0恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0.
所以∀x∈(1，＋∞)，有h(x)＝f′(x)>0，故a≤0时不成立；
当a>0时，若x∈，则h′(x)＝>0；
若x∈，则h′(x)＝<0.
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减．
所以h(x)max＝h＝－ln a＋a－1＝0.
令g(a)＝－ln a＋a－1，则g′(a)＝1－＝.
当01时，g′(a)>0.
所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以g(a)≥g(1)＝0，故a＝1.
(2)证明：当a＝1时，f(x)＝xln x－x2，则
f′(x)＝1＋ln x－x.
由(1)知f′(x)＝1＋ln x－x≤0恒成立，
所以f(x)＝xln x－x2在(0，＋∞)上单调递减，
且f(1)＝－，f(x1)＋f(x2)＝－1＝2f(1)，
不妨设0
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
则只需证f(x2)
则只需证－1－f(x1)
令F(x)＝f(x)＋f(2－x)(其中x∈(0,1))，
且F(1)＝－1.
所以欲证f(2－x1)＋f(x1)>－1，
只需证F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
由F′(x)＝f′(x)－f′(2－x)＝1＋ln x－x－[1＋ln (2－x)－2＋x]，
整理得F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)，x∈(0,1)，
F″(x)＝>0，x∈(0,1)，
所以F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)在区间(0,1)上单调递增，
所以∀x∈(0,1)，F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)
所以有F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
故x1＋x2>2.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，
|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·漳州质检)已知函数f(x)＝|2－x|－|4－x|.
(1)关于x的不等式f(x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(m)＋f(n)＝4，且m
所以f(x)min＝－2，
因为f(x)≥a2－3a恒成立，
所以a2－3a≤f(x)min＝－2，解得1≤a≤2.
(2)因为f(x)max＝2，所以f(m)≤2，f(n)≤2，
则f(m)＋f(n)≤4，
又f(m)＋f(n)＝4，所以f(m)＝f(n)＝2，
于是n>m≥4，故m＋n>8.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·驻马店期中)若集合A＝{x|x(x－2)<0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A．{－1} B．{0} C．{1} D．{2}
答案 C
解析 A＝(0,2)，∵A∪B＝A，∴B⊆A，选项中只有{1}⊆A，故选C.
2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝( )
A.－i B．－＋i
C．－－i D.＋i
答案 B
解析 ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3－i，∴z2＝－3－i，∴＝＝－＋i.故选B.
3．(2019·合肥一中模拟)若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由题意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－，故选D.
4．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.
5．(2019·江南十校模拟)已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足＝2，则·的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 由题意可得大致图象如下图所示，
∵＝＋＝＋；＝－＝－，∴·＝·(－)＝·－·＋·－·＝·－||2＋||2，又||＝||＝1，·＝||||cos∠BAD＝，∴·＝×－1＋＝－.故选D.
6．(2019·珠海一模)若x，y满足约束条件
目标函数z＝ax＋y取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－1,0]
答案 A
解析 结合不等式组，绘制可行域，得到图中的阴影部分，
目标函数转化为y＝－ax＋z，当－a≥0时，则－a<1，此时a的取值范围为(－1,0]，当－a<0时，则－a>－1，此时a的取值范围为(0,1)．综上所述，a的取值范围为(－1,1)，故选A.
7．(2019·河南九狮联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n>111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )
A．输出i＋2 B．输出i
C．输出i－1 D．输出i－2
答案 D
解析 根据程序框图得到的循环是M＝1，i＝3；
M＝1×3，i＝5；
M＝1×3×5，i＝7；
M＝1×3×5×7，i＝9；
…
M＝1×3×5×…×(n－2)，i＝n之后进入判断，不符合题意时输出，输出的是i－2.故选D.
8．(2019·宜宾诊断)已知直线l1：3x＋y－6＝0与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．5(＋1) D．5(－1)
答案 A
解析 以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，联立解得A(2,0)，B(1,3)，∴AB的中点为，而直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，
|AB|＝＝，
∴四边形ACBD面积的最大值为S＝×|AB|×|CD|＝××2＝5.故选A.
9．(2019·漳州一模)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )
A.(87－8)人 B.(89－8)人
C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人
答案 D
解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故选D.
10．(2019·深圳调研)已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥P－ABC的体积为V1，三棱锥O－ABC的体积为V2，若的最大值为3，则球O的表面积为( )
A. B. C. D．6π
答案 B
解析 由题意，设△ABC的外接圆圆心为O′，其半径为r，球O的半径为R，且|OO′|＝d，依题意可知max＝＝3，即R＝2d，显然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，得球O的表面积为4πR2＝πr2＝，故选B.
11．(2019·西工大附中模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵xf′(x)>1－f(x)，∴xf′(x)－1＋f(x)>0，
令F(x)＝x[f(x)－1]，则
F′(x)＝xf′(x)＋f(x)－1>0，
又∵f(x)是在R上的偶函数，
∴F(x)是在R上的奇函数，
∴F(x)是在R上的单调递增函数，
又∵exf(ex)－axf(ax)>ex－ax，
可化为ex[f(ex)－1]>ax[f(ax)－1]，
即F(ex)>F(ax)，
又∵F(x)是在R上的单调递增函数，
∴ex－ax>0恒成立，
令g(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，
∵a>0，∴g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝a－aln a>0，则1－ln a>0，
∴0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·武威十八中模拟)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；
丁说：“C作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
答案 B
解析 若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意．综上所述，故B获得一等奖．
14．(2019·天津七校联考)若二项式6的展开式中的常数项为m，则3x2dx＝________.
答案 124
解析 由题意，二项展开式的通项为Tr＋1＝C·6－r·r＝6－rC·x12－3r，由12－3r＝0，得r＝4，所以m＝2·C＝5，则3x2dx＝3x2dx＝x3＝53－13＝124.
15．(2019·东师附中模拟)已知f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2－3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－4)处的切线方程为________．
答案 5x＋y－1＝0
解析 由题意，设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.
又由函数f(x)是奇函数，所以－f(x)＝x2＋3x，
即f(x)＝－x2－3x(x>0)，
则f′(x)＝－2x－3，所以f′(1)＝－2－3＝－5，且f(1)＝－4，由直线的点斜式方程可知y＋4＝－5(x－1)＝－5x＋5，所以5x＋y－1＝0.
16．(2019·烟台适应性测试)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.
答案 3
解析 画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y＝－1.
设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.
由题意得△NPM∽△NOF，
又＝，即M为FN的中点，
∴|MP|＝|OF|＝，
∴|MQ|＝＋1＝，∴|FM|＝|MN|＝.
又＝＝，
即＝＝，解得|TN|＝3.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a2，a3－2成等差数列，
∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，
∴q＝＝2⇒an＝a1qn－1＝2n(n∈N*)．
(2)∵bn＝＋2log2an－1＝n＋2log22n－1＝n＋2n－1，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝＋
＝n2－n＋1(n∈N*)．
18．(本小题满分12分)(2019·广州二模)科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：
x(年
龄/岁)
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
y(脂肪
含量/%)
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图．
(1)根据上表中的样本数据及其散点图：
①求；
②计算样本相关系数(精确到0.01)，并刻画它们的相关程度；
(2)若y关于x的线性回归方程为＝1.56＋x，求的值(精确到0.01)，并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．
参考数据：＝27，xiyi＝13527.8，x＝23638，y＝7759.6，≈6.56，≈54.18.
参考公式：相关系数r＝＝，回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解 (1)根据上表中的样本数据及其散点图知，
①＝＝47.
②回归系数r＝
＝
＝
＝
＝ .
因为≈6.56，≈54.18，
所以r≈0.98.
由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
(2)因为回归方程为＝1.56＋x，即＝1.56，
所以＝＝≈0.54.
所以y关于x的线性回归方程为＝0.54x＋1.56，
将x＝50代入线性回归方程得＝0.54×50＋1.56＝28.56，
所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%.
19．(本小题满分12分)(2019·咸阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°，求二面角B－PC－D 的余弦值．
解 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC，BD的中点，
又PA＝PC，PB＝PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC∩BD＝O，且AC，BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
(2)设菱形ABCD的边长为2t(t>0)，
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴OA＝t.
由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAO＝30°，得到PO＝t，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，t,0)，C(－t,0,0)，P(0,0，t)，D(0，－t,0)，得到＝(0，－t，t)，＝(t,0，t)．
设平面PBC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
则即令x1＝1，
则y1＝z1＝－，得到n1＝(1，－，－)．
同理可得n2＝(1，，－)，
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝.
∵二面角B－PC－D为钝二面角，则余弦值为－.
20．(本小题满分12分)(2019·广州六校联考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0.以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)已知定点P(0,4)，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，若直线MP，NP关于y轴对称，求△PMN面积的取值范围．
解 (1)由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得，sinA＋sinB＝2sinC，
由正弦定理|CA|＋|CB|＝2|AB|＝4>|AB|，
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中a＝2，c＝1，则b＝，
故轨迹E的方程为＋＝1(x≠0)．
(2)由题可知，P(0,4)，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m(mk≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l的方程代入轨迹E的方程得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.
由Δ>0得3k2＋4>m2，且
x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为直线MP，NP关于y轴对称，所以kMP＋kNP＝0，即＋＝0.
化简得2kx1x2＋(m－4)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(m－4)·＝0，
得m＝1，
那么直线l过点B(0,1)，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以△PMN的面积
S＝·|BP|·|x1－x2|＝＝18，
设k2＋1＝t，则t>1，S＝18·，
显然S在t∈(1，＋∞)上单调递减，所以S∈.
即△PMN面积的取值范围为.
21．(本小题满分12分)(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝xln x－x2＋(a－1)x，其导函数f′(x)的最大值为0.
(1)求实数a的值；
(2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，证明：x1＋x2>2.
解 (1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数f′(x)＝ln x－a(x－1)，
记h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝.
当a≤0时，h′(x)＝≥0恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0.
所以∀x∈(1，＋∞)，有h(x)＝f′(x)>0，故a≤0时不成立；
当a>0时，若x∈，则h′(x)＝>0；
若x∈，则h′(x)＝<0.
所以h(x)在上单调递增，在上单调递减．
所以h(x)max＝h＝－ln a＋a－1＝0.
令g(a)＝－ln a＋a－1，则g′(a)＝1－＝.
当0
所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以g(a)≥g(1)＝0，故a＝1.
(2)证明：当a＝1时，f(x)＝xln x－x2，则
f′(x)＝1＋ln x－x.
由(1)知f′(x)＝1＋ln x－x≤0恒成立，
所以f(x)＝xln x－x2在(0，＋∞)上单调递减，
且f(1)＝－，f(x1)＋f(x2)＝－1＝2f(1)，
不妨设0
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
则只需证f(x2)
则只需证－1－f(x1)
令F(x)＝f(x)＋f(2－x)(其中x∈(0,1))，
且F(1)＝－1.
所以欲证f(2－x1)＋f(x1)>－1，
只需证F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
由F′(x)＝f′(x)－f′(2－x)＝1＋ln x－x－[1＋ln (2－x)－2＋x]，
整理得F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)，x∈(0,1)，
F″(x)＝>0，x∈(0,1)，
所以F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)在区间(0,1)上单调递增，
所以∀x∈(0,1)，F′(x)＝ln x－ln (2－x)＋2(1－x)
所以有F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
故x1＋x2>2.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，
|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·漳州质检)已知函数f(x)＝|2－x|－|4－x|.
(1)关于x的不等式f(x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(m)＋f(n)＝4，且m
所以f(x)min＝－2，
因为f(x)≥a2－3a恒成立，
所以a2－3a≤f(x)min＝－2，解得1≤a≤2.
(2)因为f(x)max＝2，所以f(m)≤2，f(n)≤2，
则f(m)＋f(n)≤4，
又f(m)＋f(n)＝4，所以f(m)＝f(n)＝2，
于是n>m≥4，故m＋n>8.
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