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2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（八）（解析版）
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2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（八）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·银川质检)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，∴x＝1,2,3，y＝1,2,3，
当x＝1时，x－y＝0，－1，－2；当x＝2时，x－y＝1,0，－1；当x＝3时，x－y＝2,1,0.
即x－y＝－2，－1,0,1,2，即B＝{－2，－1,0,1,2}，共有5个元素，故选B.
2．(2019·西安适应性测试)设复数z＝，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i
答案 A
解析 ∵z＝＝＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故选A.
3．(2019·榆林二模)某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；
32 21 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是( )
A．522 B．324 C．535 D．578
答案 D
解析 从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，开始的数为608不合适，436合适，767不合适，535,577,348合适，994,837不合适，522合适，535与前面的数字重复，不合适，578合适．则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.故选D.
4．(2019·南阳一中模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋2a10＝4，则S13＝( )
A．13 B．14 C．15 D．16
答案 A
解析 ∵数列{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a3＋a5＋2a10＝4可转化为4a1＋24d＝4，即a1＋6d＝1，
∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝13，故选A.
5．(2019·淮北一中模拟)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为( )
A. B.∪(2，＋∞)
C. D．(－2,2)
答案 B
解析 a·b＝－2λ－1，∵a，b的夹角为钝角，
∴a·b<0，且a，b不平行．
∴解得λ>－，且λ≠2.
∴λ的取值范围为∪(2，＋∞)．故选B.
6．(2019·南开一模)函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(0,3)
答案 D
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，由f(－3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，即f(3)＝0，作出f(x)的草图，如图所示：
由图象，得xf(x)<0⇒或
解得0
7．(2019·南昌外国语学校模拟)正四棱锥V－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球的体积为( )
A．72π B．36π C．9π D.
答案 B
解析 正四棱锥的高为＝4，
设外接球的半径为R，则R2＝(4－R)2＋(2)2，
∴R＝3，∴球的体积为πR3＝π·33＝36π，故选B.
8．(2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100－200n万元，则n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 D
解析 由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2×万元，第三层货物总价为3×2万元，…，第n层货物总价为n×n－1万元，
设这堆货物总价为W万元，则W＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1，
W＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n×n，
两式相减得W＝－n×n＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝－n×n＋＝－n×n＋10－10×n，
则W＝－10n×n＋100－100×n＝100－200n，解得n＝10，故选D.
9．(2019·大兴一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )
A. B．2 C．3 D．2
答案 B
解析 由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A－BCD，
∴CD＝3，BD＝＝，
AB＝＝，
AC＝＝3，
BC＝＝2，
AD＝＝2.∴AD是最长的棱．故选B.
10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
11．(2019·南平市三模)已知(1－x＋mx2)6的展开式中x4的系数小于90，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
B．(－5,1)
C.∪
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 B
解析 (1－x＋mx2)6的通项公式为Tr＋1＝C(1－x)6－r(mx2)r，r＝0,1，…，6.
(1－x)6－r的通项公式为Tl＋1＝C(－x)l，l＝0，1，…，6－r.
令l＋2r＝4，则或或
则展开式中x4的系数为CC＋CCm＋Cm2<90.
即m2＋4m－5<0，解得－5
A. B.∪
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
由a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；
同样当0
∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”，
∴y＝loga(ax＋t2)与y＝x的图象有两个不同的交点，即loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，
∴ax＋t2＝a，ax－a＋t2＝0，
可令u＝a，u>0，即有u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，
可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·黄山质检)若整数x，y满足不等式组则z＝的最小值为________．
答案
解析 画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点．
由图可知，在点(2,1)处，目标函数取得最小值为.
14．(2019·广州模拟)阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是________．
答案 [－2，－1]
解析 由题意可知，该程序的作用是计算分段函数f(x)＝的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[－2，－1]．
15．(2019·福建毕业考试)某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A，B，C，D，E五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
A团队说：C第一，B第二；B团队说：A第三，D第四；C团队说：E第四，D第五；D团队说：B第三，C第五；E团队说：A第一，E第四．
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是________团队．
答案 D
解析 将五个团队的猜测整理成下表：
第一名
C，A
第二名
B
第三名
A，B
第四名
D，E
第五名
D，C
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名为B，从而第二名没有人猜对，不符合题意要求．故获得第五名的是D团队．
16．(2019·虹口二模)若函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 函数f(x)＝x|x－a|－4有三个不同的零点，就是x|x－a|＝4有三个不同的根；
当a>0时，函数y＝x|x－a|＝与y＝4的图象如图：
函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3个零点，必须解得a>4；
当a≤0时，函数y＝x|x－a|＝与y＝4的图象如图：
函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)不可能有三个不同的零点，综上，a∈(4，＋∞)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.
(1)求sinB的值；
(2)若c＝14，求b的值．
解 (1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π，
由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA，
即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于sinA>0，整理可得3cosB＝4sinB，
又sinB>0，∴sinB＝.
(2)∵角B是最小的内角，∴0
由余弦定理得b2＝142＋102－2×14×10×＝72，即b＝6.
18．(本小题满分12分)(2019·六盘水中学模拟)某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x(个)
20
30
40
50
天数
5
10
10
5
(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝；现有员工建议扩大生产一天制作45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
解 (1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，
∴两天的日需求量均为40个的概率P＝＝.
(2)由该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，得
P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，∴Y的分布列为
Y
－20
60
140
180
P
E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝，
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，
∴此建议不该被采纳．
19．(本小题满分12分)(2019·南开一模)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上且SF＝2FE.
(1)求证：AF⊥平面SBC；
(2)求直线SA与平面SBD所成角的正弦值；
(3)在线段DE上是否存在点G，使二面角G－AF－E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．
解 (1)证明：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，D(1,0,0)，E(1,1,0)，
由SF＝2FE得F，∴＝，＝(2，－2,0)，＝(2,0，－2)，
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴AF⊥平面SBC.
(2)设n1＝(x1，y1，z1)是平面SBD的一个法向量，
由于＝(－1,0,2)，＝(－1,2,0)，
则有
令x1＝2，则y1＝1，z1＝1，即n1＝(2,1,1)．
设直线SA与平面SBD所成的角为α，而＝(0,0,2)，
∴sinα＝|cos〈n1，〉|＝＝.
(3)假设满足条件的点G存在，并设DG＝t.则G(1，t,0)．
∴＝(1,1,0)，＝(1，t,0)，
设平面AFG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
取y2＝1，得x2＝－t，z2＝t－1，即n2＝(－t,1，t－1)．
设平面AFE的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，
则
取y3＝1，得x3＝－1，z3＝0，即n3＝(－1,1,0)，
由二面角G－AF－E的大小为30°，
得cos30°＝＝＝，
化简得2t2－5t＋2＝0，
又0≤t≤1，求得t＝，于是满足条件的点G存在，且DG＝.
20．(本小题满分12分)(2019·张家口一模)以P为圆心的动圆经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B，C，D是曲线C上的四个点，AB⊥CD，并且AB，CD相交于点F，直线AB的倾斜角为锐角．若四边形ACBD的面积为36，求直线AB的方程．
解 (1)设圆P与直线x＝－1相切于点E，
则|PE|＝|PF|，
即点P到F的距离与点P到直线x＝－1的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线，F是焦点，x＝－1是准线．
∴C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0.
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
x1＋x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理，|CD|＝4＋4k2.
∴四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|
＝(4＋4k2)＝8(1＋k2)．
由8(1＋k2)＝36，得k2＝2或k2＝，
∴k＝或k＝.
∴直线AB的方程为y＝(x－1)或y＝(x－1)．
21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
解 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·黄山质检)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＋1＝m.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设点P(1，m)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|＝，求m的值．
解 (1)由题可得，曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
直线l的直角坐标方程为y－x＋1＝m，即
x－y－1＋m＝0，
由于直线l过点P(1，m)，倾斜角为30°，
故直线l的参数方程为(t是参数)．
(直线l的参数方程的结果不是唯一的)
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得2＋2＝1⇒t2＋mt＋m2－1＝0.
∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8，解得m＝±3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·上饶二模)已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0)．
(1)若不等式f(x)≤2的解集为A，且A⊆(－2,2)，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)＋f>对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝.
∵A⊆(－2,2)，∴解得a>，
∴a的取值范围是.
(2)由题意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立，
设h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|，
h(x)＝
①当0，∴
∴1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·银川质检)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{z|z＝x－y，x∈A，y∈A}，∴x＝1,2,3，y＝1,2,3，
当x＝1时，x－y＝0，－1，－2；当x＝2时，x－y＝1,0，－1；当x＝3时，x－y＝2,1,0.
即x－y＝－2，－1,0,1,2，即B＝{－2，－1,0,1,2}，共有5个元素，故选B.
2．(2019·西安适应性测试)设复数z＝，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i
答案 A
解析 ∵z＝＝＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故选A.
3．(2019·榆林二模)某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；
32 21 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是( )
A．522 B．324 C．535 D．578
答案 D
解析 从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，开始的数为608不合适，436合适，767不合适，535,577,348合适，994,837不合适，522合适，535与前面的数字重复，不合适，578合适．则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.故选D.
4．(2019·南阳一中模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋2a10＝4，则S13＝( )
A．13 B．14 C．15 D．16
答案 A
解析 ∵数列{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a3＋a5＋2a10＝4可转化为4a1＋24d＝4，即a1＋6d＝1，
∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝13，故选A.
5．(2019·淮北一中模拟)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为( )
A. B.∪(2，＋∞)
C. D．(－2,2)
答案 B
解析 a·b＝－2λ－1，∵a，b的夹角为钝角，
∴a·b<0，且a，b不平行．
∴解得λ>－，且λ≠2.
∴λ的取值范围为∪(2，＋∞)．故选B.
6．(2019·南开一模)函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(0,3)
答案 D
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，由f(－3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，即f(3)＝0，作出f(x)的草图，如图所示：
由图象，得xf(x)<0⇒或
解得0
7．(2019·南昌外国语学校模拟)正四棱锥V－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球的体积为( )
A．72π B．36π C．9π D.
答案 B
解析 正四棱锥的高为＝4，
设外接球的半径为R，则R2＝(4－R)2＋(2)2，
∴R＝3，∴球的体积为πR3＝π·33＝36π，故选B.
8．(2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100－200n万元，则n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 D
解析 由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2×万元，第三层货物总价为3×2万元，…，第n层货物总价为n×n－1万元，
设这堆货物总价为W万元，则W＝1＋2×＋3×2＋…＋n×n－1，
W＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n×n，
两式相减得W＝－n×n＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝－n×n＋＝－n×n＋10－10×n，
则W＝－10n×n＋100－100×n＝100－200n，解得n＝10，故选D.
9．(2019·大兴一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )
A. B．2 C．3 D．2
答案 B
解析 由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A－BCD，
∴CD＝3，BD＝＝，
AB＝＝，
AC＝＝3，
BC＝＝2，
AD＝＝2.∴AD是最长的棱．故选B.
10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
11．(2019·南平市三模)已知(1－x＋mx2)6的展开式中x4的系数小于90，则m的取值范围为( )
A．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
B．(－5,1)
C.∪
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 B
解析 (1－x＋mx2)6的通项公式为Tr＋1＝C(1－x)6－r(mx2)r，r＝0,1，…，6.
(1－x)6－r的通项公式为Tl＋1＝C(－x)l，l＝0，1，…，6－r.
令l＋2r＝4，则或或
则展开式中x4的系数为CC＋CCm＋Cm2<90.
即m2＋4m－5<0，解得－5
A. B.∪
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，
由a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；
同样当0
∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”，
∴y＝loga(ax＋t2)与y＝x的图象有两个不同的交点，即loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，
∴ax＋t2＝a，ax－a＋t2＝0，
可令u＝a，u>0，即有u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，
可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·黄山质检)若整数x，y满足不等式组则z＝的最小值为________．
答案
解析 画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点．
由图可知，在点(2,1)处，目标函数取得最小值为.
14．(2019·广州模拟)阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是________．
答案 [－2，－1]
解析 由题意可知，该程序的作用是计算分段函数f(x)＝的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[－2，－1]．
15．(2019·福建毕业考试)某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A，B，C，D，E五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
A团队说：C第一，B第二；B团队说：A第三，D第四；C团队说：E第四，D第五；D团队说：B第三，C第五；E团队说：A第一，E第四．
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是________团队．
答案 D
解析 将五个团队的猜测整理成下表：
第一名
C，A
第二名
B
第三名
A，B
第四名
D，E
第五名
D，C
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名为B，从而第二名没有人猜对，不符合题意要求．故获得第五名的是D团队．
16．(2019·虹口二模)若函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 函数f(x)＝x|x－a|－4有三个不同的零点，就是x|x－a|＝4有三个不同的根；
当a>0时，函数y＝x|x－a|＝与y＝4的图象如图：
函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)有3个零点，必须解得a>4；
当a≤0时，函数y＝x|x－a|＝与y＝4的图象如图：
函数f(x)＝x|x－a|－4(a∈R)不可能有三个不同的零点，综上，a∈(4，＋∞)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.
(1)求sinB的值；
(2)若c＝14，求b的值．
解 (1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π，
由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA，
即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，由于sinA>0，整理可得3cosB＝4sinB，
又sinB>0，∴sinB＝.
(2)∵角B是最小的内角，∴0
由余弦定理得b2＝142＋102－2×14×10×＝72，即b＝6.
18．(本小题满分12分)(2019·六盘水中学模拟)某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x(个)
20
30
40
50
天数
5
10
10
5
(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝；现有员工建议扩大生产一天制作45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
解 (1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，
∴两天的日需求量均为40个的概率P＝＝.
(2)由该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，得
P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，∴Y的分布列为
Y
－20
60
140
180
P
E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝，
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，
∴此建议不该被采纳．
19．(本小题满分12分)(2019·南开一模)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上且SF＝2FE.
(1)求证：AF⊥平面SBC；
(2)求直线SA与平面SBD所成角的正弦值；
(3)在线段DE上是否存在点G，使二面角G－AF－E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．
解 (1)证明：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，D(1,0,0)，E(1,1,0)，
由SF＝2FE得F，∴＝，＝(2，－2,0)，＝(2,0，－2)，
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴AF⊥平面SBC.
(2)设n1＝(x1，y1，z1)是平面SBD的一个法向量，
由于＝(－1,0,2)，＝(－1,2,0)，
则有
令x1＝2，则y1＝1，z1＝1，即n1＝(2,1,1)．
设直线SA与平面SBD所成的角为α，而＝(0,0,2)，
∴sinα＝|cos〈n1，〉|＝＝.
(3)假设满足条件的点G存在，并设DG＝t.则G(1，t,0)．
∴＝(1,1,0)，＝(1，t,0)，
设平面AFG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
取y2＝1，得x2＝－t，z2＝t－1，即n2＝(－t,1，t－1)．
设平面AFE的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，
则
取y3＝1，得x3＝－1，z3＝0，即n3＝(－1,1,0)，
由二面角G－AF－E的大小为30°，
得cos30°＝＝＝，
化简得2t2－5t＋2＝0，
又0≤t≤1，求得t＝，于是满足条件的点G存在，且DG＝.
20．(本小题满分12分)(2019·张家口一模)以P为圆心的动圆经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B，C，D是曲线C上的四个点，AB⊥CD，并且AB，CD相交于点F，直线AB的倾斜角为锐角．若四边形ACBD的面积为36，求直线AB的方程．
解 (1)设圆P与直线x＝－1相切于点E，
则|PE|＝|PF|，
即点P到F的距离与点P到直线x＝－1的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线，F是焦点，x＝－1是准线．
∴C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0.
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
x1＋x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理，|CD|＝4＋4k2.
∴四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|
＝(4＋4k2)＝8(1＋k2)．
由8(1＋k2)＝36，得k2＝2或k2＝，
∴k＝或k＝.
∴直线AB的方程为y＝(x－1)或y＝(x－1)．
21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
解 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·黄山质检)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＋1＝m.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设点P(1，m)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|＝，求m的值．
解 (1)由题可得，曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
直线l的直角坐标方程为y－x＋1＝m，即
x－y－1＋m＝0，
由于直线l过点P(1，m)，倾斜角为30°，
故直线l的参数方程为(t是参数)．
(直线l的参数方程的结果不是唯一的)
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得2＋2＝1⇒t2＋mt＋m2－1＝0.
∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8，解得m＝±3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·上饶二模)已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0)．
(1)若不等式f(x)≤2的解集为A，且A⊆(－2,2)，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)＋f>对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝.
∵A⊆(－2,2)，∴解得a>，
∴a的取值范围是.
(2)由题意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立，
设h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|，
h(x)＝
①当0
∴1
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