2020届全国高考数学(理)刷题1 1(2019模拟题)模拟重组卷(八)(解析版)
展开本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2019·银川质检)已知集合A={1,2,3},集合B={z|z=x-y,x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
解析 ∵A={1,2,3},B={z|z=x-y,x∈A,y∈A},∴x=1,2,3,y=1,2,3,
当x=1时,x-y=0,-1,-2;当x=2时,x-y=1,0,-1;当x=3时,x-y=2,1,0.
即x-y=-2,-1,0,1,2,即B={-2,-1,0,1,2},共有5个元素,故选B.
2.(2019·西安适应性测试)设复数z=,f(x)=x2-x+1,则f(z)=( )
A.i B.-i C.-1+i D.1+i
答案 A
解析 ∵z===-i,∴f(z)=f(-i)=(-i)2-(-i)+1=i.故选A.
3.(2019·榆林二模)某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行;
32 21 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号是( )
A.522 B.324 C.535 D.578
答案 D
解析 从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,开始的数为608不合适,436合适,767不合适,535,577,348合适,994,837不合适,522合适,535与前面的数字重复,不合适,578合适.则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,578,则第6个编号为578.故选D.
4.(2019·南阳一中模拟)在等差数列{an}中,若a3+a5+2a10=4,则S13=( )
A.13 B.14 C.15 D.16
答案 A
解析 ∵数列{an}是等差数列,设首项为a1,公差为d,
∴a3+a5+2a10=4可转化为4a1+24d=4,即a1+6d=1,
∴S13=13a1+d=13(a1+6d)=13,故选A.
5.(2019·淮北一中模拟)已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为( )
A. B.∪(2,+∞)
C. D.(-2,2)
答案 B
解析 a·b=-2λ-1,∵a,b的夹角为钝角,
∴a·b<0,且a,b不平行.
∴解得λ>-,且λ≠2.
∴λ的取值范围为∪(2,+∞).故选B.
6.(2019·南开一模)函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,f(-3)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(0,3)
答案 D
解析 ∵f(x)在R上是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,由f(-3)=0,得f(-3)=-f(3)=0,即f(3)=0,作出f(x)的草图,如图所示:
由图象,得xf(x)<0⇒或
解得0
7.(2019·南昌外国语学校模拟)正四棱锥V-ABCD的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为2,则此球的体积为( )
A.72π B.36π C.9π D.
答案 B
解析 正四棱锥的高为=4,
设外接球的半径为R,则R2=(4-R)2+(2)2,
∴R=3,∴球的体积为πR3=π·33=36π,故选B.
8.(2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100-200n万元,则n的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 D
解析 由题意,第一层货物总价为1万元,第二层货物总价为2×万元,第三层货物总价为3×2万元,…,第n层货物总价为n×n-1万元,
设这堆货物总价为W万元,则W=1+2×+3×2+…+n×n-1,
W=1×+2×2+3×3+…+n×n,
两式相减得W=-n×n+1++2+3+…+n-1=-n×n+=-n×n+10-10×n,
则W=-10n×n+100-100×n=100-200n,解得n=10,故选D.
9.(2019·大兴一模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为( )
A. B.2 C.3 D.2
答案 B
解析 由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A-BCD,
∴CD=3,BD==,
AB==,
AC==3,
BC==2,
AD==2.∴AD是最长的棱.故选B.
10.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
答案 A
解析 双曲线-=1的右焦点坐标为(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由于|PO|=|PF|,则点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,所以它的面积为××=.故选A.
11.(2019·南平市三模)已知(1-x+mx2)6的展开式中x4的系数小于90,则m的取值范围为( )
A.(-∞,-5)∪(1,+∞)
B.(-5,1)
C.∪
D.(-∞,-)∪(,+∞)
答案 B
解析 (1-x+mx2)6的通项公式为Tr+1=C(1-x)6-r(mx2)r,r=0,1,…,6.
(1-x)6-r的通项公式为Tl+1=C(-x)l,l=0,1,…,6-r.
令l+2r=4,则或或
则展开式中x4的系数为CC+CCm+Cm2<90.
即m2+4m-5<0,解得-5
A. B.∪
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”,且定义域为R,
由a>1时,z=ax+t2在R上单调递增,y=logaz在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)为R上的增函数;
同样当0 ∴f(x)在其定义域R内为增函数,
∵函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0且a≠1)是“半保值函数”,
∴y=loga(ax+t2)与y=x的图象有两个不同的交点,即loga(ax+t2)=x有两个不同的根,
∴ax+t2=a,ax-a+t2=0,
可令u=a,u>0,即有u2-u+t2=0有两个不同的正数根,
可得1-4t2>0,且t2>0,解得t∈∪.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2019·黄山质检)若整数x,y满足不等式组则z=的最小值为________.
答案
解析 画出可行域如下图所示,依题意只取坐标为整数的点.
由图可知,在点(2,1)处,目标函数取得最小值为.
14.(2019·广州模拟)阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x的取值范围是________.
答案 [-2,-1]
解析 由题意可知,该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.
又∵输出的函数值在区间内,
∴x∈[-2,-1].
15.(2019·福建毕业考试)某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛,A,B,C,D,E五个团队获得了前五名.发奖前,老师让他们各自选择两个团队,猜一猜其名次:
A团队说:C第一,B第二;B团队说:A第三,D第四;C团队说:E第四,D第五;D团队说:B第三,C第五;E团队说:A第一,E第四.
如果实际上每个名次都有人猜对,则获得第五名的是________团队.
答案 D
解析 将五个团队的猜测整理成下表:
第一名
C,A
第二名
B
第三名
A,B
第四名
D,E
第五名
D,C
由于实际上每个名次都有人猜对,若第五名为C,则第一名为A,第三名为B,从而第二名没有人猜对,不符合题意要求.故获得第五名的是D团队.
16.(2019·虹口二模)若函数f(x)=x|x-a|-4(a∈R)有3个零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (4,+∞)
解析 函数f(x)=x|x-a|-4有三个不同的零点,就是x|x-a|=4有三个不同的根;
当a>0时,函数y=x|x-a|=与y=4的图象如图:
函数f(x)=x|x-a|-4(a∈R)有3个零点,必须解得a>4;
当a≤0时,函数y=x|x-a|=与y=4的图象如图:
函数f(x)=x|x-a|-4(a∈R)不可能有三个不同的零点,综上,a∈(4,+∞).
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a=10,角B是最小的内角,且3c=4asinB+3bcosA.
(1)求sinB的值;
(2)若c=14,求b的值.
解 (1)由3c=4asinB+3bcosA且A+B+C=π,
由正弦定理得3sinC=4sinAsinB+3sinBcosA,
即3sin(A+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,由于sinA>0,整理可得3cosB=4sinB,
又sinB>0,∴sinB=.
(2)∵角B是最小的内角,∴0 又由(1)知sinB=,∴cosB=,
由余弦定理得b2=142+102-2×14×10×=72,即b=6.
18.(本小题满分12分)(2019·六盘水中学模拟)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的部分只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:
日需求量x(个)
20
30
40
50
天数
5
10
10
5
(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;
(2)以表中的频率作为概率,根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值E(X)=;现有员工建议扩大生产一天制作45个,试列出生产45个时,利润Y的分布列并求出期望E(Y),并以此判断此建议该不该被采纳.
解 (1)从这30天中任取2天,基本事件总数n=C,
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C,
∴两天的日需求量均为40个的概率P==.
(2)由该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y,得
P(Y=-20)=,P(Y=60)=,P(Y=140)=,P(Y=180)=,∴Y的分布列为
Y
-20
60
140
180
P
E(Y)=-20×+60×+140×+180×=,
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值E(X)=,<,
∴此建议不该被采纳.
19.(本小题满分12分)(2019·南开一模)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D,E分别是AC,BC的中点,F在SE上且SF=2FE.
(1)求证:AF⊥平面SBC;
(2)求直线SA与平面SBD所成角的正弦值;
(3)在线段DE上是否存在点G,使二面角G-AF-E的大小为30°?若存在,求出DG的长;若不存在,请说明理由.
解 (1)证明:如图,以A为坐标原点,分别以AC,AB,AS为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),S(0,0,2),D(1,0,0),E(1,1,0),
由SF=2FE得F,∴=,=(2,-2,0),=(2,0,-2),
∵·=0,·=0,
∴⊥,⊥,∴AF⊥平面SBC.
(2)设n1=(x1,y1,z1)是平面SBD的一个法向量,
由于=(-1,0,2),=(-1,2,0),
则有
令x1=2,则y1=1,z1=1,即n1=(2,1,1).
设直线SA与平面SBD所成的角为α,而=(0,0,2),
∴sinα=|cos〈n1,〉|==.
(3)假设满足条件的点G存在,并设DG=t.则G(1,t,0).
∴=(1,1,0),=(1,t,0),
设平面AFG的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
取y2=1,得x2=-t,z2=t-1,即n2=(-t,1,t-1).
设平面AFE的法向量为n3=(x3,y3,z3),
则
取y3=1,得x3=-1,z3=0,即n3=(-1,1,0),
由二面角G-AF-E的大小为30°,
得cos30°===,
化简得2t2-5t+2=0,
又0≤t≤1,求得t=,于是满足条件的点G存在,且DG=.
20.(本小题满分12分)(2019·张家口一模)以P为圆心的动圆经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若A,B,C,D是曲线C上的四个点,AB⊥CD,并且AB,CD相交于点F,直线AB的倾斜角为锐角.若四边形ACBD的面积为36,求直线AB的方程.
解 (1)设圆P与直线x=-1相切于点E,
则|PE|=|PF|,
即点P到F的距离与点P到直线x=-1的距离相等,
∴点P的轨迹为抛物线,F是焦点,x=-1是准线.
∴C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=k(x-1),k>0.
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
x1+x2=.
|AB|=x1+x2+2=4+.同理,|CD|=4+4k2.
∴四边形ACBD的面积S=|AB|·|CD|
=(4+4k2)=8(1+k2).
由8(1+k2)=36,得k2=2或k2=,
∴k=或k=.
∴直线AB的方程为y=(x-1)或y=(x-1).
21.(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
解 (1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f′(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减.
若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0.
故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.
(2)满足题设条件的a,b存在.
①当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
②当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
③当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为f=-+b,最大值为b或2-a+b.
若-+b=-1,b=1,则a=3,与0<a<3矛盾.
若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0<a<3矛盾.
综上,当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.
(二)选考题:10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
(2019·黄山质检)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,原点O为极点,x轴正半轴为极轴,曲线C的参数方程为(α是参数),直线l的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ+1=m.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;
(2)设点P(1,m),若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|=,求m的值.
解 (1)由题可得,曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1.
直线l的直角坐标方程为y-x+1=m,即
x-y-1+m=0,
由于直线l过点P(1,m),倾斜角为30°,
故直线l的参数方程为(t是参数).
(直线l的参数方程的结果不是唯一的)
(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得2+2=1⇒t2+mt+m2-1=0.
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=|m2-1|=8,解得m=±3.
23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]
(2019·上饶二模)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).
(1)若不等式f(x)≤2的解集为A,且A⊆(-2,2),求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)+f>对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又∵a>0,∴-≤x≤,得A=.
∵A⊆(-2,2),∴解得a>,
∴a的取值范围是.
(2)由题意,|ax-1|+|x+1|>恒成立,
设h(x)=|ax-1|+|x+1|,
h(x)=
①当0,∴ ②当a>1时,h(x)min=h=,>,
∴1 综上所述,a的取值范围为.