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2020届全国高考数学（文）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）
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2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·濮阳市二模)已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2(3x－1)＜2}，则( )
A．A∪B＝(0，＋∞) B．A∩B＝
C．A∪B＝R D．A∩B＝
答案 A
解析 依题意，得B＝{x|log2(3x－1)＜2}＝{x|0＜3x－1＜4}＝，所以A∩B＝，A∪B＝(0，＋∞)．故选A.
2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝( )
A.－i B．－＋i
C．－－i D.＋i
答案 B
解析 ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3－i，∴z2＝－3－i∴＝＝＝－＋i.故选B.
3．(2019·合肥一中模拟)若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由题意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，排除A.当x＝π时，
f (π)＝>0，排除B，C.故选D.
6．(2019·江南十校联考)已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足＝2，则·的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 由题意可得大致图象如下：
＝＋＝＋；＝－＝－，∴·＝·(－)＝·－·＋·－·＝·－||2＋||2，又||＝||＝1，·＝||·||cos∠BAD＝.∴·＝×－1＋＝－.故选D.
7．(2019·河南九师联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n＞111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )
A．输出i＋2 B．输出i
C．输出i－1 D．输出i－2
答案 D
解析 根据程序框图得到循环是：M＝1，i＝3；M＝1×3，i＝5；M＝1×3×5，i＝7；M＝1×3×5×7，i＝9；…；M＝1×3×5×…×(n－2)，i＝n之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i－2.故选D.
8．(2019·天津高考)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
解析 ∵a＝log27>log24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<0.30＝1，∴c
A．(87－8)人 B．(89－8)人
C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人
答案 D
解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也为8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故选D.
10．(2019·深圳调研)已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥P－ABC的体积为V1，三棱锥O－ABC的体积为V2，若的最大值为3，则球O的表面积为( )
A. B. C. D．6π
答案 B
解析 由题意，设△ABC的外接圆圆心为O′，其半径为r，球O的半径为R，且|OO′|＝d，依题意可知max＝＝3，即R＝2d，显然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，∴球O的表面积为4πR2＝πr2＝.故选B.
11．(2019·西工大附中模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a＜c，∴|PF2|＜|F1F2|，∴|PF2|为△PF1F2的最小边，∴△PF1F2的最小内角∠PF1F2＝30°，根据余弦定理，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|·cos∠PF1F2，即4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×，∴c2－2ca＋3a2＝0，
∴c＝a，所以e＝＝.故选C.
12．(2019·四川诊断)已知定义在R上的函数f (x)关于y轴对称，其导函数为f′(x)．当x≥0时，不等式xf′(x)＞1－f (x)．若∀x∈R，不等式exf (ex)－ex＋ax－ax·f (ax)＞0恒成立，则正整数a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵xf′(x)＞1－f (x)，∴xf′(x)－1＋f (x)＞0，
令F (x)＝x[f (x)－1]，则F′(x)＝xf′(x)＋f (x)－1＞0，又∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴F (x)是定义在R上的奇函数，∴F (x)是定义在R上的单调递增函数，又∵exf (ex)－axf (ax)＞ex－ax，可化为ex[f (ex)－1]＞ax[f (ax)－1]，即F (ex)＞F (ax)，又∵F (x)是在R上的单调递增函数，∴ex－ax＞0恒成立，令g(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，∵a＞0，∴g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝a－aln a＞0，则1－ln a＞0，∴0＜a＜e，
∴正整数a的最大值为2.故选B.
第Ⅱ卷 (选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·武威十八中一模)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
答案 B
解析 若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．
14．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.
答案 100
解析 ∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，
∴公差d＝＝＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋d＝100.
15．(2019·淮北一中模拟)若实数x，y满足约束条件则z＝ln y－ln x的最小值是________．
答案 －ln 3
解析 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图中阴影部分所示．
又因为z＝ln y－ln x＝ln ，当取最小值时z取最小值，根据表示的是点(x，y)与原点连线的斜率，根据图形可知，在点C处取得最小值，解方程组解得C(3,1)，此时z取得最小值ln ＝－ln 3.
16．(2019·浙江高考)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案
解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以PF′＝4.
根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，
所以PF＝2.
又因为FF′＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－得sinB＝.
由正弦定理得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，
所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
18．(本小题满分12分)(2019·济南市模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P－EBCD，点M为棱PB的中点．
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M－BCE的体积．
解 (1)在题图1中，
因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，
所以四边形EBCD是平行四边形．
如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，
所以点O是BD的中点，
又点M为棱PB的中点，
所以OM∥PD，
因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，
所以PD∥平面MCE.
(2)在题图1中，
因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，
因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以AD＝BC，所以AD＝DE，
因为∠BAD＝45°，
所以AD⊥DE.
所以PD⊥DE，
又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，
所以PD⊥平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝，
所以OM＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，
所以V三棱锥M－BCE＝S△BCE·OM＝.
19．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值，如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同)，得到如下数据：
编号x
1
2
3
4
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
数量y(单位：辆)
34
95
124
181
216
(1)若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
(2)小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方式如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价，根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；③申请阶段截止后，将所有申报的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；④若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交．为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查，统计了他们的拟报竞价，得到如下频率分布直方图：
(ⅰ)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
(ⅱ)如果所有符合条件的车主均参加竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？(精确到整数)
参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－.
解 (1)由表中数据，计算得，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(34＋95＋124＋181＋216)＝130，
＝＝＝45，
＝－＝130－45×3＝－5，
故所求线性回归方程为＝45x－5，
令x＝7，得＝310，
所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆．
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为(0.25＋0.05)×1＝0.3，
共抽取40位业主，则40×0.3＝12，
所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人．
(ⅱ)由题意，＝，
所以竞价自高到低排列位于前比例的业主可以竞拍成功，
结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为
1000－×100＝≈974元．
20．(本小题满分12分)(2019·合肥二模)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
解 (1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切．
由消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x得，y2－4ty－4＝0，
∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴当t＝时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.
21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当0
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f (x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f (x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)当0
所以M－m＝
当0
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·黄山二模)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＋1＝m.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设点P(1，m)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|＝，求m的值．
解 (1)由题可得，曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
直线l的直角坐标方程为y－x＋1＝m，即x－y－1＋m＝0.
由于直线l过点P(1，m)，倾斜角为30°，
故直线l的参数方程为(t是参数)．
注意：直线l的参数方程的结果不是唯一的．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得：2＋2＝1⇒t2＋mt＋m2－1＝0
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8
解得m＝±3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·长春二模)已知f (x)＝|2－x|－|4－x|.
(1)关于x的不等式f (x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f (m)＋f (n)＝4，且m＜n，求m＋n的取值范围．
解 (1)f (x)＝所以f (x)min＝－2，
∵f (x)≥a2－3a恒成立，则a2－3a≤f (x)min＝－2，
解得1≤a≤2.
(2)∵f (x)max＝2，∴f (m)≤2，f (n)≤2，则f (m)＋f (n)≤4，
又f (m)＋f (n)＝4，所以f (m)＝f (n)＝2，于是n＞m≥4，故m＋n＞8.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·濮阳市二模)已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2(3x－1)＜2}，则( )
A．A∪B＝(0，＋∞) B．A∩B＝
C．A∪B＝R D．A∩B＝
答案 A
解析 依题意，得B＝{x|log2(3x－1)＜2}＝{x|0＜3x－1＜4}＝，所以A∩B＝，A∪B＝(0，＋∞)．故选A.
2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝( )
A.－i B．－＋i
C．－－i D.＋i
答案 B
解析 ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3－i，∴z2＝－3－i∴＝＝＝－＋i.故选B.
3．(2019·合肥一中模拟)若sin＝，那么cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由题意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，排除A.当x＝π时，
f (π)＝>0，排除B，C.故选D.
6．(2019·江南十校联考)已知边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足＝2，则·的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 由题意可得大致图象如下：
＝＋＝＋；＝－＝－，∴·＝·(－)＝·－·＋·－·＝·－||2＋||2，又||＝||＝1，·＝||·||cos∠BAD＝.∴·＝×－1＋＝－.故选D.
7．(2019·河南九师联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n＞111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )
A．输出i＋2 B．输出i
C．输出i－1 D．输出i－2
答案 D
解析 根据程序框图得到循环是：M＝1，i＝3；M＝1×3，i＝5；M＝1×3×5，i＝7；M＝1×3×5×7，i＝9；…；M＝1×3×5×…×(n－2)，i＝n之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i－2.故选D.
8．(2019·天津高考)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
解析 ∵a＝log27>log24＝2，b＝log38
A．(87－8)人 B．(89－8)人
C．8＋(87－8)人 D．8＋(89－84)人
答案 D
解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也为8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故选D.
10．(2019·深圳调研)已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥P－ABC的体积为V1，三棱锥O－ABC的体积为V2，若的最大值为3，则球O的表面积为( )
A. B. C. D．6π
答案 B
解析 由题意，设△ABC的外接圆圆心为O′，其半径为r，球O的半径为R，且|OO′|＝d，依题意可知max＝＝3，即R＝2d，显然R2＝d2＋r2，故R＝r，又由2r＝＝，故r＝，∴球O的表面积为4πR2＝πr2＝.故选B.
11．(2019·西工大附中模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵a＜c，∴|PF2|＜|F1F2|，∴|PF2|为△PF1F2的最小边，∴△PF1F2的最小内角∠PF1F2＝30°，根据余弦定理，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|·cos∠PF1F2，即4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×，∴c2－2ca＋3a2＝0，
∴c＝a，所以e＝＝.故选C.
12．(2019·四川诊断)已知定义在R上的函数f (x)关于y轴对称，其导函数为f′(x)．当x≥0时，不等式xf′(x)＞1－f (x)．若∀x∈R，不等式exf (ex)－ex＋ax－ax·f (ax)＞0恒成立，则正整数a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵xf′(x)＞1－f (x)，∴xf′(x)－1＋f (x)＞0，
令F (x)＝x[f (x)－1]，则F′(x)＝xf′(x)＋f (x)－1＞0，又∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴F (x)是定义在R上的奇函数，∴F (x)是定义在R上的单调递增函数，又∵exf (ex)－axf (ax)＞ex－ax，可化为ex[f (ex)－1]＞ax[f (ax)－1]，即F (ex)＞F (ax)，又∵F (x)是在R上的单调递增函数，∴ex－ax＞0恒成立，令g(x)＝ex－ax，则g′(x)＝ex－a，∵a＞0，∴g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝a－aln a＞0，则1－ln a＞0，∴0＜a＜e，
∴正整数a的最大值为2.故选B.
第Ⅱ卷 (选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·武威十八中一模)学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
答案 B
解析 若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖．
14．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.
答案 100
解析 ∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，
∴公差d＝＝＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋d＝100.
15．(2019·淮北一中模拟)若实数x，y满足约束条件则z＝ln y－ln x的最小值是________．
答案 －ln 3
解析 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图中阴影部分所示．
又因为z＝ln y－ln x＝ln ，当取最小值时z取最小值，根据表示的是点(x，y)与原点连线的斜率，根据图形可知，在点C处取得最小值，解方程组解得C(3,1)，此时z取得最小值ln ＝－ln 3.
16．(2019·浙江高考)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案
解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以PF′＝4.
根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，
所以PF＝2.
又因为FF′＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－得sinB＝.
由正弦定理得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，
所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
18．(本小题满分12分)(2019·济南市模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P－EBCD，点M为棱PB的中点．
(1)求证：PD∥平面MCE；
(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M－BCE的体积．
解 (1)在题图1中，
因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，
所以四边形EBCD是平行四边形．
如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，
所以点O是BD的中点，
又点M为棱PB的中点，
所以OM∥PD，
因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，
所以PD∥平面MCE.
(2)在题图1中，
因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，
因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以AD＝BC，所以AD＝DE，
因为∠BAD＝45°，
所以AD⊥DE.
所以PD⊥DE，
又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，
所以PD⊥平面EBCD.
由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，
在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝，
所以OM＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，
所以V三棱锥M－BCE＝S△BCE·OM＝.
19．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值，如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同)，得到如下数据：
编号x
1
2
3
4
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
数量y(单位：辆)
34
95
124
181
216
(1)若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
(2)小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方式如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价，根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；③申请阶段截止后，将所有申报的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；④若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交．为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查，统计了他们的拟报竞价，得到如下频率分布直方图：
(ⅰ)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
(ⅱ)如果所有符合条件的车主均参加竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？(精确到整数)
参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－.
解 (1)由表中数据，计算得，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(34＋95＋124＋181＋216)＝130，
＝＝＝45，
＝－＝130－45×3＝－5，
故所求线性回归方程为＝45x－5，
令x＝7，得＝310，
所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆．
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为(0.25＋0.05)×1＝0.3，
共抽取40位业主，则40×0.3＝12，
所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人．
(ⅱ)由题意，＝，
所以竞价自高到低排列位于前比例的业主可以竞拍成功，
结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为
1000－×100＝≈974元．
20．(本小题满分12分)(2019·合肥二模)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
解 (1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切．
由消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x得，y2－4ty－4＝0，
∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴当t＝时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.
21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当0
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f (x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f (x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)当0
所以M－m＝
当0
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·黄山二模)设极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＋1＝m.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设点P(1，m)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|＝，求m的值．
解 (1)由题可得，曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
直线l的直角坐标方程为y－x＋1＝m，即x－y－1＋m＝0.
由于直线l过点P(1，m)，倾斜角为30°，
故直线l的参数方程为(t是参数)．
注意：直线l的参数方程的结果不是唯一的．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得：2＋2＝1⇒t2＋mt＋m2－1＝0
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝|m2－1|＝8
解得m＝±3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·长春二模)已知f (x)＝|2－x|－|4－x|.
(1)关于x的不等式f (x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f (m)＋f (n)＝4，且m＜n，求m＋n的取值范围．
解 (1)f (x)＝所以f (x)min＝－2，
∵f (x)≥a2－3a恒成立，则a2－3a≤f (x)min＝－2，
解得1≤a≤2.
(2)∵f (x)max＝2，∴f (m)≤2，f (n)≤2，则f (m)＋f (n)≤4，
又f (m)＋f (n)＝4，所以f (m)＝f (n)＝2，于是n＞m≥4，故m＋n＞8.
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