还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：2020届全国高考刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷
成套系列资料，整套一键下载
2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（六）（解析版）
展开
2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（六）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·宣城二调)若复数z满足z(1＋2i)＝3＋i，i为虚数单位，则z的共轭复数＝( )
A．1 B．1－i C．2 D．1＋i
答案 D
解析 由z(1＋2i)＝3＋i，z＝＝＝＝1－i，∴z的共轭复数为1＋i，故选D.
2．(2019·清远联考)已知集合A＝{x∈R|log2(x＋1)≤2}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{－1,0,1,2,3} B．{0,1,2,3}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
答案 B
解析 由题可知A＝(－1,3]，则A∩B＝{0,1,2,3}．故选B.
3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是＝18.5，④错误，故选C.
4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
答案 C
解析 记每天走的路程里数为{an}，则{an}为公比q＝的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×＝6，故选C.
5．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos＝，则sin2α＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 cos＝⇒sinα＝－，∵sin2α＋cos2α＝1，α是第三象限角，∴cosα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝，故选A.
6．(2019·黄山质检)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
解析 由于a⊥(a＋2b)，故a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2.故b在a方向上的投影为＝＝－1.故选B.
7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A.
又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
8．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 取B1C1的中点D1，连接A1D1，CD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1，点D为BC的中点，∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角，AB＝AC＝，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，显然△A1D1C是直角三角形，
sin∠CA1D1＝＝，∴∠CA1D1＝，故选B.
9．(2019·四川二诊)在数列{an}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝ D．an＝
答案 D
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.故选D.
10．(2019·山师附中模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 右焦点设为F，其坐标为(c,0)，令x＝c，代入双曲线方程可得y＝±b＝±，△OAB的面积为·c·＝bc⇒＝，可得e＝＝＝＝，故选D.
11．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．8＋4 B．2＋2＋4
C．2＋6 D．2＋4＋2
答案 D
解析 由题意可知，该几何体的直观图如图：
该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A－BCD，三棱锥的表面积为×2×2＋2××2×2＋×(2)2＝2＋4＋2.故选D.
12．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲线C1是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线x＋2y－4＝0相切的椭圆，则曲线C1的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 如图，由题意可得a＝2b(b>0)，则设椭圆方程为＋＝1.
联立得4y2－4y＋4－b2＝0.
由Δ＝48－16(4－b2)＝0，解得b＝1.所以曲线C1的方程为＋y2＝1.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·东北三校模拟)已知x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
答案 3
解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：
由z＝3x＋y，可知直线y＝－3x＋z过A(1,0)时，z有最大值为3×1＋0＝3.
14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为________．
答案
解析 运行程序，x＝2，n＝1，判断是，x＝，n＝2，判断是，x＝，n＝3，判断否，输出x＝.
15．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．
答案 (22,20)
解析 由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，
第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，
……，
第n组各个数对和为n＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，
则第40组第21个数对为(22,20)．
16．(2019·哈三中模拟)函数f(x)＝x2－6x＋4ln x的图象与直线y＝m有三个交点，则实数m的取值范围为________．
答案 (4ln 2－8，－5)
解析 由题意得f′(x)＝2x－6＋＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(1)＝－5为极大值，f(2)＝4ln 2－8为极小值，∴4ln 2－8
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，其中b＝2，sin(A－B)＝sinC－sinB.
(1)求A；
(2)若D是AC边的中点，BD＝，求a.
解 (1)∵sin(A－B)＝sinC－sinB，
∴sinB＝sinC－sin(A－B)，
即sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)，
整理得sinB＝2cosAsinB.
又sinB≠0，则cosA＝，则A＝.
(2)根据题意，设AB＝t，
又由b＝AC＝2，则AD＝1，
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cosA＝t2＋1－2×t×1×＝7，
即t2－t－6＝0，解得t＝3或t＝－2(舍去)．
在△ABC中，a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝9＋4－2×3×2×＝7，∴a＝.
18．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A，B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80 cm的为正品，小于80 cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95]
A零件
8
12
40
30
10
B零件
9
16
40
28
7
(1)试分别估计A，B两种零件为正品的概率；
(2)生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：
①设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；
②求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．
解 (1)∵指标大于或等于80 cm的为正品，且A，B两种零件为正品的频数分别为80和75，
∴A，B两种零件为正品的概率估计值分别为P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2)①由题意知，X的可能取值为－25,35,50,110，
P(X＝－25)＝×＝，
P(X＝35)＝×＝，
P(X＝50)＝×＝，
P(X＝110)＝×＝.
∴X的分布列为
X
－25
35
50
110
P
∴X的数学期望为E(X)＝(－25)×＋35×＋50×＋110×＝79.25.
②∵生产1个零件B是正品的概率为P(B)＝，
生产5个零件B所产生的正品数Y服从二项分布，即Y～B，
生产5个零件B所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，
∴生产5个零件B所得利润不少于160元的概率为
P＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C41＋C5＝.
19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
解 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)作EH⊥BC，垂足为H.
因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，
所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.
以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则
A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，
＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．
设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以可取n＝(3,6，－)．
又平面BCGE的法向量可取m＝(0,1,0)，
所以cos〈n，m〉＝＝.
因此二面角B－CG－A的大小为30°.
20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P过点F且与直线y＝－相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过△AOB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
解 (1)解法一：由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－的距离，
∴曲线C是以点F为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，∴曲线C的方程为x2＝y.
解法二：设P(x，y)，由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－的距离，
∴＝，整理得曲线C的方程为x2＝y.
(2)设直线AB：y＝kx＋m代入x2＝y，
得2x2－kx－m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＝2x，y2＝2x，Δ＝k2＋8m>0，
x1x2＝－，y1y2＝(2x)(2x)＝4(x1x2)2＝m2，
∵直线AB过△AOB的外心，
∴OA⊥OB，·＝0，
∴－＋m2＝0，∴m＝0或m＝，
∵直线AB不过点O，∴m≠0，∴m＝，
∴直线AB：y＝kx＋，∴直线AB过定点.
21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f(x)＝ln x－ax－3(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a－5，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由已知得f′(x)＝－a，
当a<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无减区间；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无最大值，
当a>0时，函数f(x)在x＝取得最大值，
即f(x)max＝f＝ln －4＝－ln a－4，
因此有－ln a－4>a－5，得ln a＋a－1<0，
设g(a)＝ln a＋a－1，则g′(a)＝＋1>0，
∴g(a)在(0，＋∞)内单调递增，
又g(1)＝0，∴g(a)
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，点M在曲线C1上运动，动点P满足＝2，其轨迹为曲线C2.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的普通方程；
(2)若点A，B分别是射线l：θ＝与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．
解 (1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵＝2，
∴
∵点M在曲线C1上，∴
∴曲线C1的普通方程为(x′－2)2＋(y′－1)2＝1，
∴曲线C2的普通方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.
(2)由得曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0，
曲线C2的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－4ρsinθ＋16＝0，
由得或
∴A或A，
由得或
∴B或B，
∴|AB|的最大值为3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·太原二模)已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．
(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若∀k∈R，∃x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，原不等式为－|x＋1|≥1，
∴或
或
∴x<－1或－1≤x≤－或x≥，
∴原不等式的解集为∪.
(2)由题意得f(x)min≤(|k＋3|－|k－2|)min，
∵f(x)＝－
∴f(x)min＝f＝－a，
∵－5＝－|(k＋3)－(k－2)|≤|k＋3|－|k－2|，
∴(|k＋3|－|k－2|)min＝－5，
∴－a≤－5，∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·宣城二调)若复数z满足z(1＋2i)＝3＋i，i为虚数单位，则z的共轭复数＝( )
A．1 B．1－i C．2 D．1＋i
答案 D
解析 由z(1＋2i)＝3＋i，z＝＝＝＝1－i，∴z的共轭复数为1＋i，故选D.
2．(2019·清远联考)已知集合A＝{x∈R|log2(x＋1)≤2}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{－1,0,1,2,3} B．{0,1,2,3}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
答案 B
解析 由题可知A＝(－1,3]，则A∩B＝{0,1,2,3}．故选B.
3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是＝18.5，④错误，故选C.
4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
答案 C
解析 记每天走的路程里数为{an}，则{an}为公比q＝的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×＝6，故选C.
5．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos＝，则sin2α＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 cos＝⇒sinα＝－，∵sin2α＋cos2α＝1，α是第三象限角，∴cosα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝，故选A.
6．(2019·黄山质检)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
解析 由于a⊥(a＋2b)，故a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2.故b在a方向上的投影为＝＝－1.故选B.
7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
答案 D
解析 ∵f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A.
又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
8．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 取B1C1的中点D1，连接A1D1，CD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1，点D为BC的中点，∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角，AB＝AC＝，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，显然△A1D1C是直角三角形，
sin∠CA1D1＝＝，∴∠CA1D1＝，故选B.
9．(2019·四川二诊)在数列{an}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝ D．an＝
答案 D
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.故选D.
10．(2019·山师附中模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 右焦点设为F，其坐标为(c,0)，令x＝c，代入双曲线方程可得y＝±b＝±，△OAB的面积为·c·＝bc⇒＝，可得e＝＝＝＝，故选D.
11．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．8＋4 B．2＋2＋4
C．2＋6 D．2＋4＋2
答案 D
解析 由题意可知，该几何体的直观图如图：
该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A－BCD，三棱锥的表面积为×2×2＋2××2×2＋×(2)2＝2＋4＋2.故选D.
12．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲线C1是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线x＋2y－4＝0相切的椭圆，则曲线C1的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 如图，由题意可得a＝2b(b>0)，则设椭圆方程为＋＝1.
联立得4y2－4y＋4－b2＝0.
由Δ＝48－16(4－b2)＝0，解得b＝1.所以曲线C1的方程为＋y2＝1.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·东北三校模拟)已知x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
答案 3
解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：
由z＝3x＋y，可知直线y＝－3x＋z过A(1,0)时，z有最大值为3×1＋0＝3.
14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为________．
答案
解析 运行程序，x＝2，n＝1，判断是，x＝，n＝2，判断是，x＝，n＝3，判断否，输出x＝.
15．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．
答案 (22,20)
解析 由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，
第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，
……，
第n组各个数对和为n＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，
则第40组第21个数对为(22,20)．
16．(2019·哈三中模拟)函数f(x)＝x2－6x＋4ln x的图象与直线y＝m有三个交点，则实数m的取值范围为________．
答案 (4ln 2－8，－5)
解析 由题意得f′(x)＝2x－6＋＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(1)＝－5为极大值，f(2)＝4ln 2－8为极小值，∴4ln 2－8
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，其中b＝2，sin(A－B)＝sinC－sinB.
(1)求A；
(2)若D是AC边的中点，BD＝，求a.
解 (1)∵sin(A－B)＝sinC－sinB，
∴sinB＝sinC－sin(A－B)，
即sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)，
整理得sinB＝2cosAsinB.
又sinB≠0，则cosA＝，则A＝.
(2)根据题意，设AB＝t，
又由b＝AC＝2，则AD＝1，
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cosA＝t2＋1－2×t×1×＝7，
即t2－t－6＝0，解得t＝3或t＝－2(舍去)．
在△ABC中，a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝9＋4－2×3×2×＝7，∴a＝.
18．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A，B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80 cm的为正品，小于80 cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95]
A零件
8
12
40
30
10
B零件
9
16
40
28
7
(1)试分别估计A，B两种零件为正品的概率；
(2)生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：
①设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；
②求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．
解 (1)∵指标大于或等于80 cm的为正品，且A，B两种零件为正品的频数分别为80和75，
∴A，B两种零件为正品的概率估计值分别为P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2)①由题意知，X的可能取值为－25,35,50,110，
P(X＝－25)＝×＝，
P(X＝35)＝×＝，
P(X＝50)＝×＝，
P(X＝110)＝×＝.
∴X的分布列为
X
－25
35
50
110
P
∴X的数学期望为E(X)＝(－25)×＋35×＋50×＋110×＝79.25.
②∵生产1个零件B是正品的概率为P(B)＝，
生产5个零件B所产生的正品数Y服从二项分布，即Y～B，
生产5个零件B所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，
∴生产5个零件B所得利润不少于160元的概率为
P＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C41＋C5＝.
19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
解 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)作EH⊥BC，垂足为H.
因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，
所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.
以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则
A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，
＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．
设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以可取n＝(3,6，－)．
又平面BCGE的法向量可取m＝(0,1,0)，
所以cos〈n，m〉＝＝.
因此二面角B－CG－A的大小为30°.
20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P过点F且与直线y＝－相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过△AOB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
解 (1)解法一：由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－的距离，
∴曲线C是以点F为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，∴曲线C的方程为x2＝y.
解法二：设P(x，y)，由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－的距离，
∴＝，整理得曲线C的方程为x2＝y.
(2)设直线AB：y＝kx＋m代入x2＝y，
得2x2－kx－m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＝2x，y2＝2x，Δ＝k2＋8m>0，
x1x2＝－，y1y2＝(2x)(2x)＝4(x1x2)2＝m2，
∵直线AB过△AOB的外心，
∴OA⊥OB，·＝0，
∴－＋m2＝0，∴m＝0或m＝，
∵直线AB不过点O，∴m≠0，∴m＝，
∴直线AB：y＝kx＋，∴直线AB过定点.
21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f(x)＝ln x－ax－3(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a－5，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由已知得f′(x)＝－a，
当a<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无减区间；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无最大值，
当a>0时，函数f(x)在x＝取得最大值，
即f(x)max＝f＝ln －4＝－ln a－4，
因此有－ln a－4>a－5，得ln a＋a－1<0，
设g(a)＝ln a＋a－1，则g′(a)＝＋1>0，
∴g(a)在(0，＋∞)内单调递增，
又g(1)＝0，∴g(a)
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，点M在曲线C1上运动，动点P满足＝2，其轨迹为曲线C2.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的普通方程；
(2)若点A，B分别是射线l：θ＝与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．
解 (1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵＝2，
∴
∵点M在曲线C1上，∴
∴曲线C1的普通方程为(x′－2)2＋(y′－1)2＝1，
∴曲线C2的普通方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.
(2)由得曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0，
曲线C2的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－4ρsinθ＋16＝0，
由得或
∴A或A，
由得或
∴B或B，
∴|AB|的最大值为3.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·太原二模)已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．
(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若∀k∈R，∃x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，原不等式为－|x＋1|≥1，
∴或
或
∴x<－1或－1≤x≤－或x≥，
∴原不等式的解集为∪.
(2)由题意得f(x)min≤(|k＋3|－|k－2|)min，
∵f(x)＝－
∴f(x)min＝f＝－a，
∵－5＝－|(k＋3)－(k－2)|≤|k＋3|－|k－2|，
∴(|k＋3|－|k－2|)min＝－5，
∴－a≤－5，∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
相关资料
更多
