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2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）
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2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·吉林实验中学模拟)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
答案 B
解析 ∵复数z＝＝＝1＋i，∴复数的共轭复数是1－i，就是复数z＝所对应的点关于实轴对称的点A所对应的复数，故选B.
2．(2019·四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，故选A.
3．(2019·河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A. B．3＋ C. D．2
答案 B
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD和三棱锥B－A1B1C1后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为6××12＋2××()2＝3＋，故选B.
4．(2019·惠州一中二模)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝(x＋1)2＋y2的最小值为( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 作出可行域，可知当x＝1，y＝0时，目标函数z＝(x＋1)2＋y2取到最小值，最小值为z＝(1＋1)2＋02＝4.故选D.
5．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，
排除选项A，D.故选B.
6．(2019·贵阳一中二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 A
解析 由图象可知f(0)＝，故sinφ＝，因|φ|<，故φ＝，又f＝0得到ω·＋＝kπ，k∈Z，故ω＝－，k∈Z，因故<ω<，所以ω＝2.所以f(x)＝sin，令2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z，所以kπ－
A．1－ B．1－ C．1－ D.
答案 B
解析 由题意知，3n＝81，解得n＝4，∴0≤x≤π，0≤y≤1.作出对应的图象如图所示，
则此时对应的面积S＝π×1＝π，满足y≤sinx的点构成区域的面积为S1＝sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，则满足y>sinx的概率为P＝＝1－.故选B.
8．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
解析 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51
A.e B.e C.e D.e
答案 B
解析 函数f(x)＝aex－2sinx，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a＝，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)＝，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g(x)＝，x∈[0，π]，则g′(x)＝，
当0≤x<时，g′(x)>0，当
又g(0)＝0，g(π)＝0，g＝e
则可得实数a的值为e，故选B.
10．(2019·淄博模拟)已知直线y＝kx(k≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意可得图象如图所示，
F′为双曲线的左焦点，∵AB为圆的直径，∴∠AFB＝90°，根据双曲线、圆的对称性可知，四边形AFBF′为矩形，
∴S△ABF＝S矩形AFBF′＝S△FBF′，又S△FBF′＝＝b2＝4a2，可得c2＝5a2，∴e2＝5⇒e＝.故选D.
11．(2019·聊城一模)如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图，取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，
设AB＝2，则BH＝HE＝1，
AH＝，所以AE＝，
连接ED，ED＝，
因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，
在△EAD中，cos∠EAD＝＝，故选D.
12．(2019·厦门一中模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，直线y＝x－2与圆x2＋y2＝2an＋2交于An，Bn(n∈N*)两点，且Sn＝|AnBn|2.若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C．[0，＋∞) D.
答案 B
解析 圆心O(0,0)到直线y＝x－2，即x－y－2＝0的距离d＝＝2，由d2＋2＝r2，且Sn＝|AnBn|2，得22＋Sn＝2an＋2，∴4＋Sn＝2(Sn－Sn－1)＋2，即Sn＋2＝2(Sn－1＋2)且n≥2；
∴{Sn＋2}是以a1＋2为首项，2为公比的等比数列．
由22＋Sn＝2an＋2，取n＝1，解得a1＝2，
∴Sn＋2＝(a1＋2)·2n－1，则Sn＝2n＋1－2；
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n(n≥2)，
a1＝2适合上式，∴an＝2n.
设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2；
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，
即(n－1)·2n＋1＋2<λ(2n)2＋2对任意n∈N*恒成立，即λ>对任意n∈N*恒成立．
设bn＝，
∵bn＋1－bn＝－＝，
∴b1b4>…>bn>bn＋1>…，
故bn的最大值为b2＝b3，
∵b2＝b3＝，∴λ>.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·江西联考)函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
答案
解析 当x<0时，不等式f(x)>可化为x＋2>，解得x>－，
结合x<0可得－
14．(2019·西安高新一中四模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案 12
解析 如图，∵·＝2·，
∴·(＋)＝2·，
∴·＝·，
∴||·||·cos0°＝||·||·cos∠BAD，
∴2×1＝||·cos，
∴||＝2，
∴·＝·(＋)
＝||2＋·
＝||2＋||·||·cos(π－∠ADC)
＝||2＋||·||·cos∠BAD
＝(2)2＋2×2×＝12.
15．(2019·德州一模)已知函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝4a2ln x＋b，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点P，且在P点处的切线相同，当a∈(0，＋∞)时，实数b的最大值是________．
答案 2
解析 设P(x0，y0)，f′(x)＝2x＋2a，g′(x)＝.
由题意知，f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即x＋2ax0＝4a2ln x0＋b， ①
2x0＋2a＝， ②
解②得，x0＝a或x0＝－2a(舍去)，
代入①得，b＝3a2－4a2ln a，a∈(0，＋∞)，
b′＝6a－8aln a－4a＝2a(1－4ln a)，
当a∈(0，e)时，b′>0；当a∈(e，＋∞)时，b′<0.
∴实数b的最大值是b(e)＝3－4ln e＝2.
16．(2019·安庆二模)过抛物线y2＝2px的焦点F的直线l与抛物线分别交于第一、四象限内的A，B两点，分别以线段AF，BF的中点为圆心，且均与y轴相切的两圆的半径为r1，r2.若r1∶r2＝1∶3，则直线l的倾斜角为________．
答案
解析 由题设有AF∶BF＝1∶3，设AF＝x，BF＝3x，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为D，E，过A作BE的垂线，垂足为S.
则AD＝x，BE＝3x，故BS＝2x，
所以cos∠ABS＝＝，而∠ABS∈，所以∠ABS＝，故直线l的倾斜角为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·安徽黄山二模)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.
解 (1)因为＋＋＋…＋＝n，①
当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，＋＋＋…＋＝n－1，②
由①－②得，an＝n＋1，
因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N*)．
(2)证明：由(1)知，bn＝＝＝－，
Tn＝＋＋…＋＝1－，由>0，即Tn<1.
18．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
解 解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.
因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，
则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，
故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，
所以平行四边形EGFA1为矩形．
由(1)得BC⊥平面EGFA1，
则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于点O，
则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，
A1E＝2，EG＝.
由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，
所以cos∠EOG＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
解法二：(1)证明：连接A1E.
因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以A1E⊥平面ABC.
如图2，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0，得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
取n＝(1, ，1)，
故sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
所以cosθ＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
19．(本小题满分12分)(2019·衡水三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；
(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X的期望．
解 (1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P＝·C2·＋·C2＋·C3＝.
(2)m的所有取值有1,2,3.
P(m＝1)＝＝，P(m＝2)＝＝，P(m＝3)＝＝，故E(m)＝1×＋2×＋3×＝2.
由题意可知n～B，故E(n)＝3×＝2.而X＝15m＋10n，所以E(X)＝15E(m)＋10E(n)＝50.
20．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
解 (1)由题意得
∴∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，
设直线MN的方程为x＝my＋1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴my1y2＝(y1＋y2)，
∴直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，
∴(x＋2)＝(x－2)，
∴＝＝＝3，
∴x＝4，∴直线AM与BN的交点在直线x＝4上．
21．(本小题满分12分)(2019·山东济南二模)已知函数f(x)＝ax2＋1.
(1)若a＝1，g(x)＝，证明：当x≥5时，g(x)<1；
(2)设h(x)＝1－，若函数h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 (1)证明：当a＝1时．g(x)＝＝，g′(x)＝＝.
因为x≥5，所以g′(x)<0，所以g(x)在[5，＋∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(5)＝<<1，即g(x)<1.
(2)解法一：h(x)＝1－.
(ⅰ)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a>0时，h′(x)＝，当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)上的最小值．
①若h(2)>0，即a<时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点；
②若h(2)＝0，即a＝时，h(x)在(0，＋∞)上只有1个零点；
③若h(2)＜0，即a>时，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有1个零点，
由(1)知，当x≥5时，ex>x3，因为4a>e2>5>2，
所以h(4a)＝1－>1－＝1－＝>0.
故h(x)在(2,4a)上有1个零点，因此h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点．
综上，h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
解法二：因为h(x)＝1－，
所以h(x)在(0，＋∞)上零点的个数即为方程＝在(0，＋∞)上根的个数．
令k(x)＝，则k′(x)＝＝，
令k′(x)＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，
所以当x∈(0,2)时，k(x)单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，k(x)单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
由(1)知，当x≥5时，ex>x2，即当x≥5时，0<<.因为当x无限增大时，→0，所以当x无限增大时，→0，又因为k(0)＝0，所以当且仅当0<<时，函数k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝恰好有2个不同的交点，即当且仅当a>时．函数h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点，故h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·山东郓城三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
解 (1)因为直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0.
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
将曲线C的参数方程消去参数α，
得曲线C的普通方程为＋y2＝1.
(2)设N(cosα，sinα)，α∈[0,2π)．
点M的极坐标为，化为直角坐标为(－2,2)．
则P.
所以点P到直线l的距离d＝＝≤，
所以当α＝时，点P到直线l的距离的最大值为.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·山东郓城三模)已知函数f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}．
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求实数t的取值范围．
解 (1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即
－2≤ax≤6，
当a＞0时，－≤x≤，所以解得a＝1；
当a＜0时，≤x≤－，所以无解．
所以实数a的值为1.
(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝
不等式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，
由题意知y＝g(x)的图象有一部分在直线y＝tx＋2的下方，作出对应的图象如下图所示，
由图得，当t＜0时，t≤kAM；当t＞0时，t≥kBM，
又因为kAM＝－1，kBM＝，
所以t≤－1或t≥，
即t∈(－∞，－1]∪.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·吉林实验中学模拟)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i
答案 B
解析 ∵复数z＝＝＝1＋i，∴复数的共轭复数是1－i，就是复数z＝所对应的点关于实轴对称的点A所对应的复数，故选B.
2．(2019·四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，故选A.
3．(2019·河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A. B．3＋ C. D．2
答案 B
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD和三棱锥B－A1B1C1后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为6××12＋2××()2＝3＋，故选B.
4．(2019·惠州一中二模)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝(x＋1)2＋y2的最小值为( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 作出可行域，可知当x＝1，y＝0时，目标函数z＝(x＋1)2＋y2取到最小值，最小值为z＝(1＋1)2＋02＝4.故选D.
5．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，
排除选项A，D.故选B.
6．(2019·贵阳一中二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 A
解析 由图象可知f(0)＝，故sinφ＝，因|φ|<，故φ＝，又f＝0得到ω·＋＝kπ，k∈Z，故ω＝－，k∈Z，因故<ω<，所以ω＝2.所以f(x)＝sin，令2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z，所以kπ－
A．1－ B．1－ C．1－ D.
答案 B
解析 由题意知，3n＝81，解得n＝4，∴0≤x≤π，0≤y≤1.作出对应的图象如图所示，
则此时对应的面积S＝π×1＝π，满足y≤sinx的点构成区域的面积为S1＝sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，则满足y>sinx的概率为P＝＝1－.故选B.
8．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
解析 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52
A.e B.e C.e D.e
答案 B
解析 函数f(x)＝aex－2sinx，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a＝，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)＝，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g(x)＝，x∈[0，π]，则g′(x)＝，
当0≤x<时，g′(x)>0，当
又g(0)＝0，g(π)＝0，g＝e
则可得实数a的值为e，故选B.
10．(2019·淄博模拟)已知直线y＝kx(k≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意可得图象如图所示，
F′为双曲线的左焦点，∵AB为圆的直径，∴∠AFB＝90°，根据双曲线、圆的对称性可知，四边形AFBF′为矩形，
∴S△ABF＝S矩形AFBF′＝S△FBF′，又S△FBF′＝＝b2＝4a2，可得c2＝5a2，∴e2＝5⇒e＝.故选D.
11．(2019·聊城一模)如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图，取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，
设AB＝2，则BH＝HE＝1，
AH＝，所以AE＝，
连接ED，ED＝，
因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，
在△EAD中，cos∠EAD＝＝，故选D.
12．(2019·厦门一中模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，直线y＝x－2与圆x2＋y2＝2an＋2交于An，Bn(n∈N*)两点，且Sn＝|AnBn|2.若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C．[0，＋∞) D.
答案 B
解析 圆心O(0,0)到直线y＝x－2，即x－y－2＝0的距离d＝＝2，由d2＋2＝r2，且Sn＝|AnBn|2，得22＋Sn＝2an＋2，∴4＋Sn＝2(Sn－Sn－1)＋2，即Sn＋2＝2(Sn－1＋2)且n≥2；
∴{Sn＋2}是以a1＋2为首项，2为公比的等比数列．
由22＋Sn＝2an＋2，取n＝1，解得a1＝2，
∴Sn＋2＝(a1＋2)·2n－1，则Sn＝2n＋1－2；
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n(n≥2)，
a1＝2适合上式，∴an＝2n.
设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2；
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，
即(n－1)·2n＋1＋2<λ(2n)2＋2对任意n∈N*恒成立，即λ>对任意n∈N*恒成立．
设bn＝，
∵bn＋1－bn＝－＝，
∴b1
故bn的最大值为b2＝b3，
∵b2＝b3＝，∴λ>.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·江西联考)函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
答案
解析 当x<0时，不等式f(x)>可化为x＋2>，解得x>－，
结合x<0可得－
14．(2019·西安高新一中四模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案 12
解析 如图，∵·＝2·，
∴·(＋)＝2·，
∴·＝·，
∴||·||·cos0°＝||·||·cos∠BAD，
∴2×1＝||·cos，
∴||＝2，
∴·＝·(＋)
＝||2＋·
＝||2＋||·||·cos(π－∠ADC)
＝||2＋||·||·cos∠BAD
＝(2)2＋2×2×＝12.
15．(2019·德州一模)已知函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝4a2ln x＋b，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点P，且在P点处的切线相同，当a∈(0，＋∞)时，实数b的最大值是________．
答案 2
解析 设P(x0，y0)，f′(x)＝2x＋2a，g′(x)＝.
由题意知，f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即x＋2ax0＝4a2ln x0＋b， ①
2x0＋2a＝， ②
解②得，x0＝a或x0＝－2a(舍去)，
代入①得，b＝3a2－4a2ln a，a∈(0，＋∞)，
b′＝6a－8aln a－4a＝2a(1－4ln a)，
当a∈(0，e)时，b′>0；当a∈(e，＋∞)时，b′<0.
∴实数b的最大值是b(e)＝3－4ln e＝2.
16．(2019·安庆二模)过抛物线y2＝2px的焦点F的直线l与抛物线分别交于第一、四象限内的A，B两点，分别以线段AF，BF的中点为圆心，且均与y轴相切的两圆的半径为r1，r2.若r1∶r2＝1∶3，则直线l的倾斜角为________．
答案
解析 由题设有AF∶BF＝1∶3，设AF＝x，BF＝3x，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为D，E，过A作BE的垂线，垂足为S.
则AD＝x，BE＝3x，故BS＝2x，
所以cos∠ABS＝＝，而∠ABS∈，所以∠ABS＝，故直线l的倾斜角为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·安徽黄山二模)已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.
解 (1)因为＋＋＋…＋＝n，①
当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，＋＋＋…＋＝n－1，②
由①－②得，an＝n＋1，
因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(n∈N*)．
(2)证明：由(1)知，bn＝＝＝－，
Tn＝＋＋…＋＝1－，由>0，即Tn<1.
18．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
解 解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.
因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，
则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，
故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.
(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，
所以平行四边形EGFA1为矩形．
由(1)得BC⊥平面EGFA1，
则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于点O，
则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，
A1E＝2，EG＝.
由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，
所以cos∠EOG＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
解法二：(1)证明：连接A1E.
因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以A1E⊥平面ABC.
如图2，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0，得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
取n＝(1, ，1)，
故sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
所以cosθ＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.
19．(本小题满分12分)(2019·衡水三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；
(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲、乙两人得分之和X的期望．
解 (1)由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题．故所求的概率P＝·C2·＋·C2＋·C3＝.
(2)m的所有取值有1,2,3.
P(m＝1)＝＝，P(m＝2)＝＝，P(m＝3)＝＝，故E(m)＝1×＋2×＋3×＝2.
由题意可知n～B，故E(n)＝3×＝2.而X＝15m＋10n，所以E(X)＝15E(m)＋10E(n)＝50.
20．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
解 (1)由题意得
∴∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，
设直线MN的方程为x＝my＋1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴my1y2＝(y1＋y2)，
∴直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，
∴(x＋2)＝(x－2)，
∴＝＝＝3，
∴x＝4，∴直线AM与BN的交点在直线x＝4上．
21．(本小题满分12分)(2019·山东济南二模)已知函数f(x)＝ax2＋1.
(1)若a＝1，g(x)＝，证明：当x≥5时，g(x)<1；
(2)设h(x)＝1－，若函数h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 (1)证明：当a＝1时．g(x)＝＝，g′(x)＝＝.
因为x≥5，所以g′(x)<0，所以g(x)在[5，＋∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(5)＝<<1，即g(x)<1.
(2)解法一：h(x)＝1－.
(ⅰ)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；
(ⅱ)当a>0时，h′(x)＝，当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)上的最小值．
①若h(2)>0，即a<时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点；
②若h(2)＝0，即a＝时，h(x)在(0，＋∞)上只有1个零点；
③若h(2)＜0，即a>时，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有1个零点，
由(1)知，当x≥5时，ex>x3，因为4a>e2>5>2，
所以h(4a)＝1－>1－＝1－＝>0.
故h(x)在(2,4a)上有1个零点，因此h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点．
综上，h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
解法二：因为h(x)＝1－，
所以h(x)在(0，＋∞)上零点的个数即为方程＝在(0，＋∞)上根的个数．
令k(x)＝，则k′(x)＝＝，
令k′(x)＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，
所以当x∈(0,2)时，k(x)单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，k(x)单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
由(1)知，当x≥5时，ex>x2，即当x≥5时，0<<.因为当x无限增大时，→0，所以当x无限增大时，→0，又因为k(0)＝0，所以当且仅当0<<时，函数k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝恰好有2个不同的交点，即当且仅当a>时．函数h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点，故h(x)在(0，＋∞)上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·山东郓城三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
解 (1)因为直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0.
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
将曲线C的参数方程消去参数α，
得曲线C的普通方程为＋y2＝1.
(2)设N(cosα，sinα)，α∈[0,2π)．
点M的极坐标为，化为直角坐标为(－2,2)．
则P.
所以点P到直线l的距离d＝＝≤，
所以当α＝时，点P到直线l的距离的最大值为.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·山东郓城三模)已知函数f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}．
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求实数t的取值范围．
解 (1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即
－2≤ax≤6，
当a＞0时，－≤x≤，所以解得a＝1；
当a＜0时，≤x≤－，所以无解．
所以实数a的值为1.
(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝
不等式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，
由题意知y＝g(x)的图象有一部分在直线y＝tx＋2的下方，作出对应的图象如下图所示，
由图得，当t＜0时，t≤kAM；当t＞0时，t≥kBM，
又因为kAM＝－1，kBM＝，
所以t≤－1或t≥，
即t∈(－∞，－1]∪.
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