四川省自贡市普通高中高三第一次诊断性考试数学（理）试题附答案
展开四川省自贡市普高第一次诊断性考试数学试题(理工类)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B．或
C． D．
2．若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．2
3．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．66 B．99 C．110 D．143
4．在矩形中，，，若向该矩形内随机投一点，那么使与的面积都小于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）
A．在上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．周期为，图象关于点对称
7．已知数列，则是数列是递增数列的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
9．在四边形中，，，则（ ）
A．5 B． C． D．3
10．若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（ ）
A．576 B．288 C．144 D．72
11．如果函数满足（），则的一个正周期为（ ）
A． B． C． D．
12．下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（ ）（为自然对数的底数）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． ．
14．在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于 ．
15．满分为100分的试卷，60分为及格线，若满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24，36)，[36，48)，…，[84，96 ]分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10 取整”的方法进行换算以提高及格率(实数a的取整等于不超过a的最大整数)，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩则按照这种方式， 这次测试的不及格的人数变为 ．
16．函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知向量
（1）当时，求的值；
（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且，若函数，求的值．
18．某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
| 同意 | 不同意 | 合计 |
男生 | a | 5 |
|
女生 | 40 | d |
|
合计 |
|
| 100 |
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
19．若数列的前项和为，首项，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，设数列的前项和，比较与大小.
20．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，.
（1）证明：：；
（2）点在棱上，且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值.
21．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数，），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与圆交于两点，求的值.
23．设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对任意实数，都有成立，求实数的取值范围．
高三数学“一诊”参考答案
一、选择题（60分）
ADDAC ACCCB AB
二、填空题（20分）
13. 14.15 15.18 16.
三、解答题（70分）
17.（1）∵,∴，即
（2），
由角为钝角知
18. （1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2） ①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
X的数学期望为
19. （1）且
（2）
20.（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP
∵为等边三角形，且O是边AD 的中点
∴
∵平面底面，且它们的交线为AD
∴
∴
∵
∴
∴
(2)分别以OC,OD,OP为建立空间直角坐标系，
则
∵ ∴
∴,即：
设，且是平面ABM的一个法向量，
∵
∴
取
而平面ABD的一个法向量为
∴
∴ ∵
∴
21. 解：（1）的定义域为，
.
理科①若，则，所以 在上是单调递增.
②若，当时，，单调递增.
当时，,单调递减.
(2) 由（1）当时，存在极值.
由题设得.
又，……5分
设.则.
令，则
所以在上是增函数，所以
又，所以，
因此
即
又由知在上是减函数，
所以，即.
22．（1）
圆
（2） 将 代入
∴
设点所对应的参数为则
∴
23．（1）当时，
当时
当时
当时
综上:
（2）对任意实数，都有成立
即
根据图象可知
