2020届全国高考数学(理)刷题1 1(2019模拟题)模拟重组卷(七)(解析版)
展开本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2019·宣城二调)复数(i是虚数单位)的虚部是( )
A.3i B.6i C.3 D.6
答案 C
解析 复数==-2+3i.复数(i是虚数单位)的虚部是3.故选C.
2.(2019·广东汕头模拟)已知集合A={0,1,2},若A∩∁ZB=∅(Z是整数集合),则集合B可以为( )
A.{x|x=2a,a∈A} B.{x|x=2a,a∈A}
C.{x|x=a-1,a∈N} D.{x|x=a2,a∈N}
答案 C
解析 由题意知,集合A={0,1,2},可知{x|x=2a,a∈A}={0,2,4},此时A∩∁ZB={1}≠∅,A不满足题意;{x|x=2a,a∈A}={1,2,4},则A∩∁ZB={0}≠∅,B不满足题意;{x|x=a-1,a∈N}={-1,0,1,2,3,…},则A∩∁ZB=∅,C满足题意;{x|x=a2,a∈N}={0,1,4,9,16,…},则A∩∁ZB={2}≠∅,D不满足题意.故选C.
3.(2019·衡阳联考)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是( )
A.乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
答案 C
解析 甲的逻辑推理能力指标值为4,优于乙的逻辑推理能力指标值3,故A错误;甲的数学建模能力指标值为3,乙的直观想象能力指标值为5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值,故B错误;甲的六维能力指标值的平均值为×(4+3+4+5+3+4)=,乙的六维能力指标值的平均值为×(5+4+3+5+4+3)=4,因为<4,故C正确;甲的数学运算能力指标值为4,甲的直观想象能力指标值为5,所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值,故D错误.故选C.
4.(2019·东北三校模拟)已知cos=,则sin=( )
A.- B. C. D.-
答案 B
解析 ∵cos=,∴sin=-cos=-cos=1-2cos2=.故选B.
5.(2019·达州一诊)如图虚线网格的最小正方形边长为1,实线是某几何体的三视图,这个几何体的体积为( )
A.4π B.2π C. D.π
答案 B
解析 根据图中三视图可知几何体的直观图如图所示,为圆柱的一半,可得几何体的体积为×12×π×4=2π.故选B.
6.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
答案 A
解析 作出函数f(x)=|cos2x|的图象,如图.
由图象可知f(x)=|cos2x|的周期为,在区间上单调递增.
同理可得f(x)=|sin2x|的周期为,在区间上单调递减,f(x)=cos|x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数,排除B,C,D.故选A.
7.(2019·镇海中学模拟)已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an=16a,则+的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设正项等比数列{an}的公比为q,且q>0,
由a7=a6+2a5,得a6q=a6+,
化简得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),
因为aman=16a,所以(a1qm-1)(a1qn-1)=16a,则qm+n-2=16,解得m+n=6,所以+=(m+n)·=≥=,故选C.
8.(2019·安徽芜湖二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当a∈[2,2019]时,符合条件的a共有( )
A.133个 B.134个 C.135个 D.136个
答案 C
解析 由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,则3m=5n+1.当m=5k,n不存在;当m=5k+1,n不存在;当m=5k+2,n=3k+1,满足题意;当m=5k+3,n不存在;当m=5k+4,n不存在;故2≤a=15k+8≤2019,解得≤k≤,k∈Z,则k=0,1,2,…,134,共135个.故选C.
9.(2019·湖南百所重点中学诊测)若变量x,y满足约束条件且a∈(-6,3),则z=仅在点A处取得最大值的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 z=可以看作点(x,y)和点(a,0)的斜率,直线AB与x轴交点为(-2,0),当a∈(-2,-1)时,z=仅在点A处取得最大值,所以P==.故选A.
10.(2019·肇庆二模)已知x=1是f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
答案 D
解析 根据题意求函数f(x)的导数f′(x),根据x=1是f(x)的极小值点,得出x<1时f′(x)<0,且x>1时f′(x)>0,由此可得出实数a的取值范围.函数f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex,则f′(x)=[x2-(a+1)x+a]ex,令f′(x)=0,得x2-(a+1)x+a=0,极值点是x=1和x=a,仅当a<1时,增区间是(-∞,a)和(1,+∞),减区间是(a,1),符合题意.故选D.
11.(2019·启东中学模拟)若椭圆+=1和双曲线-=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( )
A. B.84 C.3 D.21
答案 D
解析 依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下,
由椭圆方程+=1可得a=25,a1=5,由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a1=10①,由双曲线方程-=1可得a=4,a2=2,由双曲线定义可得,|PF1|-|PF2|=2a2=4②,联立方程①②,解得,|PF1|=7,|PF2|=3,∴|PF1|·|PF2|=3×7=21,故选D.
12.(2019·茂名一模)已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数,且f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则关于x的方程f(x)=|cosπx|在上所有实数解之和为( )
A.1 B.3 C.6 D.7
答案 D
解析 因为f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),所以f(x)的最小正周期为2,又由f(x+1)=f(x-1)=f(1-x)得f(x)的图象关于直线x=1对称.
令g(x)=|cosπx|,则g(x)的图象如图所示,
由图象可得,y=f(x)与g(x)=|cosπx|的图象在上有7个交点,且实数解的和为2×3+1=7,故选D.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2019·湖南八校联考)二项式5的展开式中的系数为________.
答案 80
解析 由二项式5的展开式的通项公式得,
Tr+1=2rCxx-r=2rCx,
令=-2,解得r=3,
即二项式5的展开式中的系数为23C=80.
14.(2019·葫芦岛调研)庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:
甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;
丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.
游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是________.
答案 甲
解析 由四人的预测可得下表:
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
√
×
×
×
乙
√
×
√
√
丙
×
×
√
√
丁
×
√
×
√
①若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;
②若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;
③若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;
④若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意.
故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,故答案为甲.
15.(2019·吉林一模)设函数f(x)=若f(m)>1,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,0)∪(e,+∞)
解析 如图所示,
可得f(x)=的图象与y=1的交点分别为(0,1),(e,1),
∴f(m)>1,则实数m的取值范围是(-∞,0)∪(e,+∞).
16.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.
答案 2
解析 解法一:由=,
得A为F1B的中点.
又∵O为F1F2的中点,
∴OA∥BF2.
又·=0,
∴∠F1BF2=90°.
∴OF2=OB,
∴∠OBF2=∠OF2B.
又∵∠F1OA=∠BOF2,∠F1OA=∠OF2B,
∴∠BOF2=∠OF2B=∠OBF2,
∴△OBF2为等边三角形.
如图1所示,不妨设B为.
∵点B在直线y=-x上,∴=,
∴离心率e===2.
解法二:∵·=0,
∴∠F1BF2=90°.在Rt△F1BF2中,O为F1F2的中点,
∴|OF2|=|OB|=c.如图2,作BH⊥x轴于H,由l1为双曲线的渐近线,可得=,
且|BH|2+|OH|2=|OB|2=c2,∴|BH|=b,|OH|=a,∴B(a,-b),F2(c,0).
又∵=,∴A为F1B的中点.
∴OA∥F2B,∴=,∴c=2a,
∴离心率e==2.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.(本小题满分12分)(2019·湖南永州三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
(2)若数列{bn}为等差数列,且b3=a2,b7=a3,求数列的前n项和Tn.
解 (1)证明:当n=1时,a1=2a1-1,∴a1=1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-(n-1),
∴an=2an-2an-1-1,∴an+1=2(an-1+1),
∴数列{an+1}是首项、公比都为2的等比数列.
(2)由(1)得,an+1=2n,即an=2n-1,
∵b3=3,b7=7,∴b1+2d=3,b1+6d=7,
∴b1=d=1,∴bn=n,
∴==-,
∴Tn=++…+=1-.
18.(本小题满分12分)(2019·汕头一模)我市南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(g)在正常环境下服从正态分布N(32,16).
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性有多大?
(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量x(万人)与年收益增量y(万元)的数据如下:
人工投入增量x(万人)
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y(万元)
13
22
31
42
50
56
58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了y与x的两个回归模型:
模型①:由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程:=4.1x+11.8;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:y=b+a的附近,对人工投入增量x做变换,令t=,则y=b·t+a,且有=2.5,=38.9,
(ti-)(yi-)=81.0, (ti-)2=3.8.
(1)根据所给的统计量,求模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
=4.1x+11.8
y=b+a
(yi-i)2
182.4
79.2
附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-3σ
由正态分布的对称性可知,
P(ξ<20)=[1-P(20<ξ<44)]=[1-P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)]=(1-0.9974)=0.0013,
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”,其中质量小于20 g的牡蛎为X只,故X~B(10,0.0013),故P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.0013)10=1-0.9871=0.0129,∴这10只“南澳牡蛎”中,会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性仅为1.29%.
(2)(ⅰ)由=2.5,=38.9, (ti-)(yi-)=81.0, (ti-)2=3.8,有==≈21.3,且=-=38.9-21.3×2.5≈-14.4,
∴模型②中y关于x的回归方程为=21.3-14.4.
(ⅱ)由表格中的数据,有182.4>79.2,即>,模型①的R2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好.
当x=16时,模型②的收益增量的预测值为=21.3×-14.4=21.3×4-14.4=70.8(万元),
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.
19.(本小题满分12分)(2019·哈尔滨三中模拟)如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD的中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
解 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,连接AC,则△ACD为等边三角形,
又∵M为CD的中点,∴AM⊥CD,由CD∥AB,
∴AM⊥AB,
∵AA1⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,
∴AM⊥AA1,
又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90°,
又∵AA1⊥底面ABCD,
分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1,,0),D1,
∴=,=(-3,,0,=(2,0,-2),
设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),
则有⇒⇒y=x=z,令x=1,则n=(1,,1),
∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值sinθ=|cos〈n,〉|==.
20.(本小题满分12分)(2019·南京市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为.A,B分别是椭圆C的上、下顶点,M是椭圆C上异于A,B的一点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在直线x-y+2=0上,且=3,求△PMA的面积;
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且D点在线段OA上(不包括端点O,A),直线NA与直线BM交于点P,求·的值.
解 (1)因为椭圆过点,离心率为,
所以+=1,=1-e2=,解得a2=2,b2=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知B(0,-1),设M(x0,y0),P(x,y).
由=3,得(x,y+1)=3(x0,y0+1),
则x=3x0,y=3y0+2.
又因为P在直线x-y+2=0上,所以y0=x0. ①
因为M在椭圆C上,所以+y=1,
将①代入上式,得x=.
所以|x0|=,从而|xP|=,
所以S△PMA=S△PAB-S△MAB=×2×-×2×=.
(3)解法一:由(1)知,A(0,1),B(0,-1).
设D(0,m),0<m<1,M(x1,y1),N(x2,y2).
因为MN的斜率为1,
所以直线MN的方程为y=x+m,
联立方程组消去y,
得3x2+4mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
直线MB的方程为y=x-1,直线NA的方程为y=x+1,
联立解得yP=.
将y1=x1+m,y2=x2+m代入,得
yP=
=
==.
所以·=(0,m)·(xP,yP)=myP=m·=1.
解法二:A(0,1),B(0,-1).设M(x0,y0),
则+y=1.
因为MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x-x0+y0,则D(0,y0-x0),
联立方程消去y,
得3x2-4(x0-y0)x+2(x0-y0)2-2=0,
所以xN+x0=,
所以xN=,yN=-,
所以直线NA的方程为y=x+1=x+1,
直线MB的方程为y=x-1,
联立解得yP=.
又因为+y=1,
所以yP==,
所以·=(0,y0-x0)·(xP,yP)=(y0-x0)·=1.
21.(本小题满分12分)(2019·仙桃期末)已知函数f(x)=x2-+axln x,其中e为自然对数的底数.
(1)当a≥0时,求证:x≥1时,f(x)>0;
(2)当a≥-时,讨论函数f(x)的极值点个数.
解 (1)证明:由f′(x)=x-+a(ln x+1),易知
f′=0,
设g(x)=f′(x),则g′(x)=,
当a≥0时,g′(x)>0,
又f′=g=0,∴0
即f(x)在上递减,在上递增,所以当x≥1时,f(x)≥f(1)=->0得证.
(2)由(1)可得,①当a≥0时,f(x)当且仅当在x=处取得极小值,无极大值,故此时极值点个数为1;
②当-≤a<0时,易知g(x)在(0,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,
所以g(x)min=g(-a)=-+aln (-a),
又设h(a)=-+aln (-a),其中-≤a<0,则h′(a)=1+ln (-a)≤0,对-≤a<0恒成立,所以h(a)单调递减,h(a)≤h=0,
所以(ⅰ)当a=-时,g(x)≥0即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故此时极值点个数为0;
(ⅱ)当--a>0,g(x)在(-a,+∞)上递增,
又g=0,所以当-a≤x<时g(x)<0,
当x>时,g(x)>0,即f(x)总在x=处取得极小值;又当x→0且x>0时,g(x)→+∞,所以存在唯一x0∈(0,-a)使得g(x0)=0,且当0
(二)选考题:10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
(2019·宝鸡模拟)点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中心,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,设定点M(2,0),求△MAB的面积.
解 (1)曲线C1的圆心为(2,0),半径为2,把互化公式代入可得曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ.
设Q(ρ,θ),则P,则有ρ=4cos=4sinθ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(2)M到射线θ=的距离为d=2sin=,
|AB|=ρB-ρA=4=2(-1),
则S=|AB|×d=3-.
23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]
(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)·(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).