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2020届全国高考数学（理）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（一）（解析版）
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2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（一）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·湖南长郡中学一模)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a≥3 C．a≤1 D．a<1
答案 D
解析 因为B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝B，所以a<1.故选D.
2．(2019·广东汕头二模)若复数(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝( )
A. B．13 C．10 D.
答案 A
解析 ＝＝，
因为复数(a∈R)为纯虚数，所以
即解得a＝2，
所以|3－ai|＝|3－2i|＝＝.故选A.
3．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )
A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
答案 C
解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故选C.
4．(2019·咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝( )
A．20 B．23 C．24 D．28
答案 D
解析 由于数列是等差数列，故解得a1＝－8，d＝4，故a10＝a1＋9d＝－8＋36＝28.故选D.
5．(2019·淮南一模)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为( )
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案 B
解析 函数f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，n)，则n＝mln m，可得切线的斜率为k＝1＋ln m，∴1＋ln m＝＝，解得m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选B.
6．(2019·郑州质检)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意及图，＝＋＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m)，又＝，∴＝，∴＝m＋(1－m)，又＝t＋，∴解得m＝，t＝，故选C.
7．(2019·山西太原一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A．12 B．15 C. D.
答案 D
解析 其直观图为四棱锥E－ABCD，由题意得
V＝××5＝.故选D.
8．(2019·华师附中模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝(其中c2＋b2＝a2)上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，∵线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1，即·＝－1，∴m2＝－·≥0，∴a4－2a2c2－3c4≤0，∴3e4＋2e2－1≥0，
∴e2≥或e2≤－1(舍去)，∴e≥.
又椭圆的离心率0
若函数g(x)＝f(x)－m有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．2 B．2或2＋
C．2或3 D．2或3或2＋
答案 D
解析 当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上为减函数，当－10，故f(x)在(－1,0)上为增函数，所以当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－.又在R上，f(x)的图象如图所示，
因为g(x)有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的解，即直线y＝m与y＝f(x)有两个不同交点且交点的横坐标分别为x1，x2，故1
A．1－ B．
C． D．1－
答案 A
解析 S矩形＝π×1＝π，又 sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2，
∴S阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为＝1－.故选A.
11．(2019·昌平期末)设点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得·＝m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是( )
A. B．3 C．5 D．8
答案 B
解析 ∵点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，即F1(－2,0)，F2(2,0)，a2＝9，b2＝5，c2＝4，c＝2，设P(x0，y0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，由·＝m可得x＋y＝m＋4，又∵P在椭圆上，即＋＝1，∴x＝，要使得·＝m成立的点恰好是4个，则0<<9，解得1
A．4π B．8π C．12π D．12π
答案 A
解析 ∵正四面体A－BCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为2，取CD的中点E，连接BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，则BE＝AE＝＝3，BF＝BE＝2，
AF＝＝4，设正四面体内切球半径为r，则(4－r)2＝(2)2＋r2，解得正四面体内切球半径为r＝1，∵球的半径为，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r1＝＝2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为4×＝4π.故选A.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·临沂质检)设x，y满足约束条件
则z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 8
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，
由图形知，当目标函数z＝2x＋3y过点A时，z取得最小值．
由求得A(1,2)，
所以z＝2x＋3y的最小值是2×1＋3×2＝8.
14．(2019·金山中学模拟)数列{an}且an＝
若Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝________.
答案
解析 数列{an}且an＝
①当n为奇数时，an＝＝；
②当n为偶数时，an＝sin，
所以S2018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2018)＝＋(1＋0－1＋…＋0)＝＋1＝.
15．(2019·岳阳二模)将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝________.
答案 8
解析 (x－2)(x＋2)5＝(x2－4)(x＋2)4，(x＋2)4展开式中的x3系数为C·21＝8.所以a5＝8.
16．(2019·东莞期末)已知函数f(x)＝sinx·cos2x(x∈R)，则f(x)的最小值为________．
答案 －1
解析 函数f(x)＝sinx·cos2x＝sinx(1－2sin2x)＝sinx－2sin3x，令t＝sinx∈[－1,1]，
则h(t)＝t－2t3，h′(t)＝1－6t2，
当－1≤t<－时，h′(t)<0，h(t)在上单调递减；
当－≤t<时，h′(t)≥0，h(t)在上单调递增；
当≤t≤1时，h′(t)≤0，h(t)在上单调递减．
所以函数的最小值是h或h(1)，
h(1)＝－1
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°
18．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在(n＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n)单．
若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y的分布列、数学期望及方差；
②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．
(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)
解 (1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝100＋n，n∈N.
乙方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝
(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：
派送单数
52
54
56
58
60
频率
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以Y甲的分布列为
Y甲
152
154
156
158
160
P
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以E(Y甲)＝152×0.2＋154×0.3＋156×0.2＋158×0.2＋160×0.1＝155.4，
s＝0.2×(152－155.4)2＋0.3×(154－155.4)2＋0.2×(156－155.4)2＋0.2×(158－155.4)2＋0.1×(160－155.4)2＝6.44；
Y乙的分布列为
Y乙
140
152
176
200
P
0.5
0.2
0.2
0.1
所以E(Y乙)＝140×0.5＋152×0.2＋176×0.2＋200×0.1＝155.6，
s＝0.5×(140－155.6)2＋0.2×(152－155.6)2＋0.2×(176－155.6)2＋0.1×(200－155.6)2＝404.64.
②答案一：由①可知，E(Y甲)
(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
(2)若DE∥CF，CD＝，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．
解 (1)证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在题图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE.
(2)在题图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，即AE⊥平面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，
由题意得DM＝2，CM＝1，由勾股定理可得DC⊥CF，则∠CDM＝，CE＝2，
过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1，)，D，
＝(－2,1，)，＝.
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取x＝1得n＝(1，－1，)，
设AP＝m，则P(2，m,0)(0≤m≤2)，
得＝(2，m－1，－)，
设CP与平面ACD所成的角为θ，
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝⇒m＝.
∴AP＝.
20．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解 (1)由题意得＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，
代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，
故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.
又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，得2t－＋yC＝0，
得C，G.
所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而
＝
＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m>0，
＝2－＝2－≥2－
＝1＋.
当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
21．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a<－时，若对于任意x1，x2∈(1，＋∞)(x1
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，则0.
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：∵当a<－时，
＝ln －a(x2＋x1)＋(2－a)，
f′(x0)＝－2ax0＋(2－a)，
∴ln －a(x2＋x1)＝－2ax0，
∴f′－f′(x0)＝－a(x2＋x1)－＝－ln
＝－ln
＝，
令t＝，g(t)＝－ln t，t>1，
则g′(t)＝－<0，∴g(t)
∴f′
则h′(x)＝－－2a>－1＋1＝0，
∴h(x)＝f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cosθ.
(1)求l和C的直角坐标方程；
(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α.
解 (1)当α＝时，l：x＝1.当α≠时，l：y＝tanα·(x－1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cosθ得2ρ2sin2θ＝8ρcosθ，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得(sin2α)t2－(4cosα)t－4＝0，则t1＋t2＝，t1t2＝，
因为|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，
所以sinα＝或－，因为0<α<π，所以sinα＝，故α＝或.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·甘肃天水一中三模)设函数f(x)＝|2x＋a|－|x－2|(a∈R，x∈R)．
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若在x∈R上f(x)≥－1恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)a＝－1时，f(x)>0可得|2x－1|>|x－2|，即(2x－1)2>(x－2)2，
化简得(3x－3)(x＋1)>0，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)①当a<－4时，
f(x)＝由函数单调性可得f(x)min＝f＝＋2≥－1，解得－6≤a<－4；
②当a＝－4时，f(x)＝|x－2|，f(x)min＝0≥－1，所以a＝－4符合题意；
③当a>－4时，f(x)＝由函数单调性可得，f(x)min＝f＝－－2≥－1，解得－4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·湖南长郡中学一模)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a≥3 C．a≤1 D．a<1
答案 D
解析 因为B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝B，所以a<1.故选D.
2．(2019·广东汕头二模)若复数(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝( )
A. B．13 C．10 D.
答案 A
解析 ＝＝，
因为复数(a∈R)为纯虚数，所以
即解得a＝2，
所以|3－ai|＝|3－2i|＝＝.故选A.
3．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )
A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
答案 C
解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8×120＝96人，女性人数为0.6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故选C.
4．(2019·咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝( )
A．20 B．23 C．24 D．28
答案 D
解析 由于数列是等差数列，故解得a1＝－8，d＝4，故a10＝a1＋9d＝－8＋36＝28.故选D.
5．(2019·淮南一模)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为( )
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案 B
解析 函数f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，n)，则n＝mln m，可得切线的斜率为k＝1＋ln m，∴1＋ln m＝＝，解得m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选B.
6．(2019·郑州质检)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意及图，＝＋＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m)，又＝，∴＝，∴＝m＋(1－m)，又＝t＋，∴解得m＝，t＝，故选C.
7．(2019·山西太原一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A．12 B．15 C. D.
答案 D
解析 其直观图为四棱锥E－ABCD，由题意得
V＝××5＝.故选D.
8．(2019·华师附中模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝(其中c2＋b2＝a2)上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，设点P，则由中点公式可得线段PF1的中点K，∵线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于－1，即·＝－1，∴m2＝－·≥0，∴a4－2a2c2－3c4≤0，∴3e4＋2e2－1≥0，
∴e2≥或e2≤－1(舍去)，∴e≥.
又椭圆的离心率0
若函数g(x)＝f(x)－m有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．2 B．2或2＋
C．2或3 D．2或3或2＋
答案 D
解析 当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上为减函数，当－1
因为g(x)有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的解，即直线y＝m与y＝f(x)有两个不同交点且交点的横坐标分别为x1，x2，故1
A．1－ B．
C． D．1－
答案 A
解析 S矩形＝π×1＝π，又 sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2，
∴S阴影＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为＝1－.故选A.
11．(2019·昌平期末)设点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得·＝m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是( )
A. B．3 C．5 D．8
答案 B
解析 ∵点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，即F1(－2,0)，F2(2,0)，a2＝9，b2＝5，c2＝4，c＝2，设P(x0，y0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，由·＝m可得x＋y＝m＋4，又∵P在椭圆上，即＋＝1，∴x＝，要使得·＝m成立的点恰好是4个，则0<<9，解得1
A．4π B．8π C．12π D．12π
答案 A
解析 ∵正四面体A－BCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为2，取CD的中点E，连接BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，则BE＝AE＝＝3，BF＝BE＝2，
AF＝＝4，设正四面体内切球半径为r，则(4－r)2＝(2)2＋r2，解得正四面体内切球半径为r＝1，∵球的半径为，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r1＝＝2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为4×＝4π.故选A.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·临沂质检)设x，y满足约束条件
则z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 8
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，
由图形知，当目标函数z＝2x＋3y过点A时，z取得最小值．
由求得A(1,2)，
所以z＝2x＋3y的最小值是2×1＋3×2＝8.
14．(2019·金山中学模拟)数列{an}且an＝
若Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝________.
答案
解析 数列{an}且an＝
①当n为奇数时，an＝＝；
②当n为偶数时，an＝sin，
所以S2018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2018)＝＋(1＋0－1＋…＋0)＝＋1＝.
15．(2019·岳阳二模)将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝________.
答案 8
解析 (x－2)(x＋2)5＝(x2－4)(x＋2)4，(x＋2)4展开式中的x3系数为C·21＝8.所以a5＝8.
16．(2019·东莞期末)已知函数f(x)＝sinx·cos2x(x∈R)，则f(x)的最小值为________．
答案 －1
解析 函数f(x)＝sinx·cos2x＝sinx(1－2sin2x)＝sinx－2sin3x，令t＝sinx∈[－1,1]，
则h(t)＝t－2t3，h′(t)＝1－6t2，
当－1≤t<－时，h′(t)<0，h(t)在上单调递减；
当－≤t<时，h′(t)≥0，h(t)在上单调递增；
当≤t≤1时，h′(t)≤0，h(t)在上单调递减．
所以函数的最小值是h或h(1)，
h(1)＝－1
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°
18．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在(n＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n)单．
若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y的分布列、数学期望及方差；
②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．
(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)
解 (1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝100＋n，n∈N.
乙方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝
(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：
派送单数
52
54
56
58
60
频率
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以Y甲的分布列为
Y甲
152
154
156
158
160
P
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以E(Y甲)＝152×0.2＋154×0.3＋156×0.2＋158×0.2＋160×0.1＝155.4，
s＝0.2×(152－155.4)2＋0.3×(154－155.4)2＋0.2×(156－155.4)2＋0.2×(158－155.4)2＋0.1×(160－155.4)2＝6.44；
Y乙的分布列为
Y乙
140
152
176
200
P
0.5
0.2
0.2
0.1
所以E(Y乙)＝140×0.5＋152×0.2＋176×0.2＋200×0.1＝155.6，
s＝0.5×(140－155.6)2＋0.2×(152－155.6)2＋0.2×(176－155.6)2＋0.1×(200－155.6)2＝404.64.
②答案一：由①可知，E(Y甲)
(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
(2)若DE∥CF，CD＝，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．
解 (1)证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在题图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE.
(2)在题图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，即AE⊥平面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，
由题意得DM＝2，CM＝1，由勾股定理可得DC⊥CF，则∠CDM＝，CE＝2，
过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1，)，D，
＝(－2,1，)，＝.
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取x＝1得n＝(1，－1，)，
设AP＝m，则P(2，m,0)(0≤m≤2)，
得＝(2，m－1，－)，
设CP与平面ACD所成的角为θ，
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝⇒m＝.
∴AP＝.
20．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解 (1)由题意得＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，
代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，
故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.
又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，得2t－＋yC＝0，
得C，G.
所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而
＝
＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m>0，
＝2－＝2－≥2－
＝1＋.
当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
21．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a<－时，若对于任意x1，x2∈(1，＋∞)(x1
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，则0
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：∵当a<－时，
＝ln －a(x2＋x1)＋(2－a)，
f′(x0)＝－2ax0＋(2－a)，
∴ln －a(x2＋x1)＝－2ax0，
∴f′－f′(x0)＝－a(x2＋x1)－＝－ln
＝－ln
＝，
令t＝，g(t)＝－ln t，t>1，
则g′(t)＝－<0，∴g(t)
∴f′
则h′(x)＝－－2a>－1＋1＝0，
∴h(x)＝f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cosθ.
(1)求l和C的直角坐标方程；
(2)若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α.
解 (1)当α＝时，l：x＝1.当α≠时，l：y＝tanα·(x－1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cosθ得2ρ2sin2θ＝8ρcosθ，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得(sin2α)t2－(4cosα)t－4＝0，则t1＋t2＝，t1t2＝，
因为|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，
所以sinα＝或－，因为0<α<π，所以sinα＝，故α＝或.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·甘肃天水一中三模)设函数f(x)＝|2x＋a|－|x－2|(a∈R，x∈R)．
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若在x∈R上f(x)≥－1恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)a＝－1时，f(x)>0可得|2x－1|>|x－2|，即(2x－1)2>(x－2)2，
化简得(3x－3)(x＋1)>0，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)①当a<－4时，
f(x)＝由函数单调性可得f(x)min＝f＝＋2≥－1，解得－6≤a<－4；
②当a＝－4时，f(x)＝|x－2|，f(x)min＝0≥－1，所以a＝－4符合题意；
③当a>－4时，f(x)＝由函数单调性可得，f(x)min＝f＝－－2≥－1，解得－4
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