数学必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系优秀ppt课件

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（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第114~118，回答下列问题：
（1）本节将要研究函数的零点存在定理及二分法求方程近似解．
（2）起点是函数的零点，函数的零点与对应方程的根之间的关系，以及利用函数的图像求解对应不等式的解集．目标是理解函数零点存在定理，会用函数的性质判断对应方程是否有实根，会利用“二分法”找到实根的近似值等．重点是渗透数形结合的数学思想，二分法，提升学生直观想象、数学抽象、数据分析和逻辑推理等素养．
我们知道：一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式．
问题2　关于x的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的求根公式为________；一元二次方程的求根公式为
____________________________．
问题3　对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）．那么，什么情况下一个函数一定存在零点呢？
问题4　如下图所示，已知A，B都是函数y＝f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种y＝f（x）的可能的图像．判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律．
可以看出，满足要求的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点．
零点存在定理：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的 图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0．
问题5　例1中的函数在区间（－2，0）中存在零点x0，但是不难看出，求出x0的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1－x0|＜　？
【尝试与发现】如果在区间（－2，0）中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间（－2，0）的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？
如果在区间（－2，0）中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2；如果取区间（－2，0）的中点作为x0的近似值，误差小于1．
【尝试与发现】怎样才能不断缩小误差？
一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示．
当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值．
上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法．
在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
这些步骤可用如图所示的框图表示
所以f（－2）f（0）＜0，因此∃x0∈（－2，0），f（x0）＝0，即结论成立．
f（0）＝2＞0，f（－2）＝－8＋4＋2＝－2＜0，
例1　求证：函数f（x）＝x3－2x＋2至少有一个零点．
例2　已知函数f（x）＝x2＋ax＋1有两个零点，在区间（－1，1）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
因为函数f（x）的图像是开口朝上的抛物线，因此满足条件的函数图像示意图如下图（1）（2）所示．
因此（2－a）（a＋2）＜0且|a|≥2，解得a＜－2或a＞2．
例3　用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在（1.75，1.875）之间，
结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8，故选C．
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（　　）
A．1.6　　　　B．1.7　　　　C．1.8　　　　D．1.9
例4　已知函数　　　　　　　 ．
（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内．
由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解．
问题6　回顾本节课，你有什么收获？
（1）函数的零点存在定理的内容是什么？有哪些注意点？
（3）二分法求函数零点近似解的求解步骤？
作业：教科书P120练习B 4~9，练习C1、3、4、5
　　用GeGebra中的rt命令，可以方便地求得多项式函数的图像与x轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息．
　　例如，在“输入”对话框中输入“rt［x^2－x－6］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x2－x－6与x轴的两个交点A，B的坐标；
　　输入“rt［x^3－2x＋2］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x3－2x＋2与x轴的交点C的坐标；
　　显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点．
　　输入“rt［x^3－2x＋2，1，2］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x3－2x＋2，x∈［1，2］与x轴的交点的信息．