高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时学案设计，共14页。学案主要包含了函数的零点及求法，二次函数的零点及其对应方程，简单高次不等式的解法等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法．
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧．
一、函数的零点及求法
问题1 观察下列三组方程与函数：
利用函数图像探究方程的根和函数图像与x轴的交点之间的关系．
提示 方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；
x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴有唯一交点(1,0)；
x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图像与x轴无交点．
知识梳理
函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
α是函数f(x)零点的充分必要条件是(α，0)是函数图像与x轴的公共点．
注意点：
(1)函数的零点是一个实数，不是点，即函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标．
(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)不能用公式求解的方程，可利用函数的图像和性质找零点，然后得到方程的解；或将方程转化为两个函数，利用这两个函数图像来解决问题．
eq \x(命题角度1 求函数的零点)
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝eq \f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.
解 (1)令eq \f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝eq \f(x＋3,x)的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
反思感悟 求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域．
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.
跟踪训练1 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).
解 (1)解方程x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
eq \x(命题角度2 函数的零点个数问题)
例2 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 方法一 因为方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
方法二 画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
反思感悟 判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图像进行判断．
跟踪训练2 函数f(x)＝(x2－1)·eq \r(x2－4)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 要使函数有意义，则x2－4≥0，即x≥2或x≤－2.由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立，舍去)．
解得x＝2或x＝－2，
∴函数的零点个数为2.
二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
问题2 画出二次函数y＝x2－12x＋20的图像，图像与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示 函数图像与x轴交点的横坐标恰好是方程的根．
问题3 你能根据二次函数y＝x2－12x＋20的图像，写出x2－12x＋20<0的解集吗？
提示 从图像上看，位于x轴上方的图像使得函数值大于零，位于x轴下方的图像使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2知识梳理
注意点：
(1)二次函数的零点，即对应方程的根，即对应不等式解集的端点；
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则解集为空集．
例3 利用函数解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2.
解 (1)因为Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)，
所以作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，
因为Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，
得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)，
所以作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
(1)求函数的零点．
(2)作出函数的图像．
(3)求对应不等式的解集．
跟踪训练3 利用函数解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解 (1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝eq \f(1,2).
∴作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图．由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
设f(x)＝x2－6x＋10，令f(x)＝0，得x2－6x＋10＝0，即(x－3)2＝－1，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
从而f(x)的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图．
由图可知，原不等式的解集为∅.
三、简单高次不等式的解法
例4 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
解 函数零点依次为－eq \f(1,2)，1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
由此可以画出函数图像的示意图如图所示．
由图可知f(x)>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))∪(3，＋∞)；
f(x)≤0的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1,3]．
反思感悟 数轴穿根法的步骤
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数)．
(2)将不等号换成等号解出所有根．
(3)在数轴上从左到右依次标出各根．
(4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透)．
(5)观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方穿根线以内的范围．
跟踪训练4 求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集．
解 函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
根据穿根法如图，
由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，
f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．
1．知识清单：
(1)函数的零点及求法．
(2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系．
(3)简单高次不等式的解法．
2．方法归纳：数形结合法、数轴穿根法．
3．常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论．
1．函数y＝3x－1的零点是( )
A．0 B.eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0))
答案 B
解析 令y＝3x－1＝0，得x＝eq \f(1,3).
2．(多选)下列图像表示的函数中有零点的是( )
答案 BCD
解析 B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
3．函数f(x)＝x－eq \f(1,x)零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 令x－eq \f(1,x)＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.
∴f(x)＝x－eq \f(1,x)的零点有两个.
4．不等式x2－4x＋3<0的解集为________．
答案 (1,3)
解析 作出函数y＝x2－4x＋3的图像(图略)，由图可知不等式的解集是(1,3)．
5．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________________．
答案 (－∞，－1)∪(2,3)
解析 函数的零点为－1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(图略)，
由图可知不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(2,3)．
1．(多选)函数y＝ax－2的零点的个数可能是( )
A．0 B．1 C．2 D．无法判断
答案 AB
解析 令y＝ax－2＝0，若a＝0，则函数没有零点，当a≠0时，得x＝eq \f(2,a)，有一个零点．∴函数y＝ax－2的零点有0个或者1个．
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－eq \f(1,2)，－1 B．eq \f(1,2)，1
C．eq \f(1,2)，－1 D．－eq \f(1,2)，1
答案 B
解析 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq \f(1,2)，1.
3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．3
答案 C
解析 因为函数有一个零点，
所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
4．一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1A．－6 B．－2 C．2 D．6
答案 C
解析 由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和eq \f(1,2)，且a<0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－1＋\f(1,2)，,\f(1,a)＝－1×\f(1,2)，))
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.
5．函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 ∵y＝f(|x|)是偶函数，
∴其图像关于y轴对称．
∵当x>0时，函数有三个零点，
∴当x<0时，函数也有三个零点．
又∵0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．
6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________，g(x)<0的解集是__________________________．
答案 －eq \f(1,2)，－eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))
解析 由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－6，))
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，
即为函数g(x)的零点．由g(x)＝bx2－ax－1<0，结合图像(图略)可知x<－eq \f(1,2)或x>－eq \f(1,3).
7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案 3
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0.))若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，所以a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
9．利用函数图像求下列不等式的解集．
(1)－x2－2x＋3>0；
(2)x3－x2－4x＋4<0.
解 (1)设f(x)＝－x2－2x＋3，令f(x)＝0，
得－x2－2x＋3＝0，
即(x＋3)(x－1)＝0.
解得x＝－3或x＝1，
因此－3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于点(－3,0)和(1,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像的示意图，如图所示，
由图可知，不等式的解集为(－3,1)．
(2)设g(x)＝x3－x2－4x＋4＝(x3－x2)－(4x－4)
＝x2(x－1)－4(x－1)
＝(x－1)(x2－4)
＝(x－1)(x＋2)(x－2)，
所以函数零点依次为－2,1,2.
函数的定义域被这三个零点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
由此可以画出函数图像的示意图，如图所示．
由图可知x3－x2－4x＋4<0的解集为(－∞，－2)∪(1,2)．
10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4＋12(1－m)>0，解得m函数有一个零点，即Δ＝0，解得m＝eq \f(4,3)；
函数无零点，即Δ<0，解得m>eq \f(4,3).
故当m当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m>eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1－m＝0，
解得m＝1.
11．(多选)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(1,4)))))B．R
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)答案 BCD
解析 因为Δ＝a2＋4m>0，
所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.
12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α答案 A
解析 因为α，β为f(x)＝0的两根，
所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．因为a，b为(x－a)·(x－b)＝0的根，
令g(x)＝(x－a)·(x－b)，
所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.
13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和为________．
答案 3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又∵f(2)＝－f(－2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
14．已知函数f(x)＝(3x＋1)(x＋2)(x－1)，则函数f(x)的零点是________，f(x)≥0的解集是____________．
答案 －eq \f(1,3)，－2,1 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)
解析 数轴穿根法，如图所示：
所求解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)．
15．一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，＋∞)) B．(－∞，－5)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，－5))
答案 C
解析 关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝25－4＋4m≥0，,4－10＋1－m>0，,\f(5,2)>2，))解得－eq \f(21,4)≤m<－5.故选C.
16．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？
解 (1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x<0时，－x>0，根据奇函数的定义可知，
f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－4x－3，x<0.))
(2)在平面直角坐标系中，作出函数f(x)的图像，如图所示．令g(x)＝f(x)－a＝0，g(x)零点的个数即为f(x)的图像与直线y＝a交点的个数．由图可知，
当a＝0时，
g(x)＝f(x)－a有5个零点；
当0g(x)有4个零点；
当a＝±1时，
g(x)有3个零点；
当1当a≤－3或a≥3时，
g(x)有1个零点；
故当a＝0时，
g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；
当a≤－3或a≥3时，
g(x)零点的个数最少．方程
函数
x2－2x－3＝0
y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0
y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0
y＝x2－2x＋3
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
(1,3)
(3，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
x
(－∞，－3)
(－3,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
g(x)
－
＋
－
＋