人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系学案设计

  3.2　函数与方程、不等式之间的关系

最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.

知识点一　函数的零点

1．零点的定义

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

2．方程的根与函数零点的关系

　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

知识点二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

知识点三　函数零点的判定

　函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.

　定理要求具备两条：

①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.

[基础自测]

1．函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)

A.；　　　 B.；

C．－；－  D.；－

解析：令3x－2＝0，则x＝，∴函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标为，函数零点为.

答案：B

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．[0,3]                B．(0,3)

C．(－∞，0]∪[3，＋∞)  D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

解析：要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.

答案：A

3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．

答案：D

4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：由得

∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.

答案：－，－

题型一　函数零点的概念及求法

例1　(1)下列图像表示的函数中没有零点的是(　　)

(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．

【解析】　(1)由图观察，A中图像与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．

(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得：－4<x<1，

所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．

【答案】　(1)A　(2)(－4,1)

　1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x轴是否有交点．

2．求函数对应方程的根即为函数的零点．

方法归纳

函数零点的求法

求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

跟踪训练1　若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.

所以函数f(x)其余的零点是2.

由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.

题型二　确定函数零点的个数[教材P111例6]

例2　求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．

【证明】　因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，

所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，

即结论成立.

教材反思

判断函数零点个数的三种方法

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．

(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．

(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．

跟踪训练2　(1)函数f(x)＝x－－2的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．

解析：(1)令f(x)＝0得x－－2＝0，设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．

故＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．

(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．

答案：(1)B　(2)一个

　思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；

思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．

题型三　判断函数的零点所在的大致区间

例3　设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

【解析】　因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．

【答案】　C

　根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．

方法归纳

判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

跟踪训练3　函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(　　)

A.(0,1)　　　　B．(1,2)

C．(2,3)　　　D．(3,4)

解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．

答案：C

利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．

题型四　函数零点的应用[经典例题]

例4　已知函数f(x)＝其中m>0.

若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

【解析】　作出f(x)的图像如图所示．

当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，

∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，

则4m－m2<m，即m2－3m>0.

又m>0，解得m>3.

【答案】　(3，＋∞)

方法归纳

已知函数零点情况求参数的步骤及方法

(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．

(2)方法：常利用数形结合法．

跟踪训练4　已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．

解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，

则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.

答案：1

　求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．

课时作业 19

一、选择题

1．下列函数不存在零点的是(　　)

A．y＝x－            B．y＝

C．y＝  D．y＝

解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．

答案：D

2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)

A．0,2     B．0，

C．0，－  D．2，－

解析：∵2a＋b＝0，

∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．

∴零点为0和－.

答案：C

3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)

A．(0,0.5)，f(0.125)  B．(0.5,1)，f(0.875)

C．(0.5,1)，f(0.75)  D．(0,0.5)，f(0.25)

解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，

∴f(0)·f(0.5)<0，

∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，

第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.

答案：D

4．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.

C．(1,2)  D．(2，＋∞)

解析：作出f(x)，g(x)图像，如图．

因为A(0,1)，B(－2,0)，kAB＝＝，

要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图像有两个不同的交点，由图可知，＜k＜1.

答案：B

二、填空题

5．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．

解析：方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，

f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，

又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图像是连续的，

故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，

∴(x－6)(x＋3)＝0.

∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，

∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

答案：存在

6．函数f(x)＝的零点为________．

解析：f(x)＝0，∴或，

∴x＝1，x＝－1，x＝2(舍)

答案：1，－1

7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．

解析：由题意函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上单调递增，函数f(x)在(0,1)上有零点，可得：f(1)·f(0)＜0.

∴a(2＋a)＜0.∴－2＜a＜0.

答案：(－2,0)

三、解答题

8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x2＋2x＋4.

解析：(1)令＝0，解得x＝－3，

所以函数f(x)＝的零点是－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.

9．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝nx2＋mx＋3的零点个数．

解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.

则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．

可得解得

∴y＝2x2－2x＋3

∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0

∴无零点．

[尖子生题库]

10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．

解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得2≤a＜.

即a的取值范围为.

(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.

即a的取值范围为.

(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得 ＜a＜.

即a的取值范围为.