人教B版 (2019)3.2 函数与方程、不等式之间的关系授课课件ppt

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3.2　函数与方程、不等式之间的关系
课前预习课中探究课堂评价
探究点一　解一元二次不等式探究点二　三个“二次”的关系探究点三　一元二次方程根的分布探究点四　简单高次不等式的解法
第2课时　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
1.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式;2.了解高次不等式的解法.
知识点一　二次函数的图像与相应二次方程的根和二次不等式的解集之间的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0,这时方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的　　　　　　;当y≠0时,得不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,下表给出了当a>0时,二次函数的图像、二次方程的根、二次不等式的解集的关系:
【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x2-x+1的图像与x轴有交点.(　 )(2)方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根.(　 )
[解析] (1)由(-1)2-4×1×1=-3<0,知函数y=x2-x+1的图像与x轴没有交点.
[解析] (2)由(-5)2-4×1×6=1>0,知方程x2-5x+6=0有两个不相等的实根.
(3)方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有两个不相等的实数根.(　 )(4)若函数y=ax2+2x-4的图像与x轴的一个交点坐标是(1,0),则方程ax2+2x-4=0的两个根是1和2.(　 )
[解析] (3)由(-2a)2-4(a2-1)=4>0,知方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有两个不相等的实数根.
[解析] (4)因为ax2+2x-4=0有一个根是1,所以a×12+2×1-4=0,得a=2,所以方程为2x2+2x-4=0,即x2+x-2=0,由求根公式得另一个根为-2.
知识点二　一元二次方程根的分布
探究点一　解一元二次不等式
变式利用函数求下列不等式的解集:(1)2x2-x+6>0;(2)(5-x)(x+1)≥0.
解:(1)因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图像开口向上,且与x轴无交点.所以原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,设函数f(x)=(x-5)(x+1),因此f(x)的零点为-1,5,又f(x)的图像为开口向上的抛物线,所以可得原不等式的解集为[-1,5].
[素养小结]求解一元二次不等式的解集的一般步骤:(1)求方程的解,即函数的零点;(2)结合函数图像的开口方向及与x轴的交点情况确定不等式解的情况;(3)将解集写成区间的形式.
例2 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3-2-2所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( 　 )A.(-2,1)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
探究点二　三个“二次”的关系
[解析] (1)结合图像易知,不等式ax2+bx+c>0的解集是(-2,1),故选A.
(2)[2021·南京十二中高一月考] 已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为(-2,3),则不等式bx2-ax+c<0的解集是(　 )A.(-2,3)B.(-∞,-2)∪(3,+∞)C.(-3,2)D.(-∞,-3)∪(2,+∞)
(3)若不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
变式 (1)[2021·镇江高一期末] 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若f[f(x)]<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　 )A.(-3,-2)B.[-3,-2]C.(-∞,2)D.(-∞,-2]
[解析] (1)f(x)=(x-a)2-1≥-1,设t=f(x),则t≥-1,所以f[f(x)]<0可化为f(t)<0,所以f(t)=(t-a)2-1<0,即a-1[素养小结](1)二次函数的图像与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.(2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图像贯穿为一体.有关二次函数的问题,常数形结合求解,密切联系图像是探求解题思路的有效方法.
探究点三　一元二次方程根的分布
变式已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;(2)若方程的两根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
解:设f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)由题意,可画出函数f(x)的大致图像,如图所示,
[素养小结](1)关于正根、负根问题,一般有两种解题方法:一是根据根与系数的关系进行判断;二是应用根的分布,从f(0)的符号,对称轴与直线x=0的位置关系、判别式与0的关系进行判断.(2)一元二次方程根的分布问题主要是根据对应函数的图像,结合开口方向、判别式、特值符号、对称轴位置四个方面进行条件限制.具体问题中,如两个根都在直线x=r的两侧,此时结合图像可知只需考虑f(r)的符号即可,而不需要考虑判别式的限制条件,因此对于根的分布限制条件的确定一定要结合图像和二次函数的性质进行合理限定.
例4 求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
探究点四　简单高次不等式的解法
变式求函数f(x)=(x+1)(x-1)2(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
解:令f(x)=(x+1)(x-1)2(x-3)=0,得x=-1或x=1或x=3,因此函数f(x)的零点为-1,1,3.函数f(x)的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分的函数值的符号如下表所示.由此画出函数f(x)的图像的示意图,如图所示.由图可知,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),f(x)≤0的解集为[-1,3].
[素养小结]解简单高次不等式的一般步骤:(1)将不等式右边化为0,左边分解因式;(2)计算对应方程的根,求出对应函数的零点;(3)判断函数值在各个区间上的正负,作出函数图像的示意图;(4)根据函数图像的示意图与x轴的相关位置写出不等式的解集.
1. 不等式x2-2x+1>0的解集为( 　 )A.RB.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1)
[解析] 令x2-2x+1=0,得(x-1)2=0,解得x=1,结合函数y=x2-2x+1的图像可知,所求不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞).故选B.
2. 如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有(　 )A.f(5)3. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,且α,β是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是(　 )A.a<α[解析] 由题意得,f(a)=f(b)=-2<0,而f(α)=f(β)=0,作出f(x)图像的草图,如图,根据四个选项分析,可设α<β,a4. 已知集合A={x|(x-2)2(x+2)>0},集合B={x|(x-2)3(x+2)≤0},则A∩B=(　 )A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2)
[解析] 由A={x|(x-2)2(x+2)>0}得A=(-2,2)∪(2,+∞),由B={x|(x-2)3(x+2)≤0}得B={x|-2≤x≤2},则A∩B=(-2,2).故选A.
5. 若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是　　　　.
一、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程的一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x1,x2,且x1≤x2.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则一元二次方程根的零分布有以下常用结论:
例1 若一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0有两个正根,求实数m的取值范围.
例2 若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0的两根都是负数,求实数k的取值范围.
例3 若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0有一个正根和一个负根,求实数k的取值范围.
例4 若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根为零,则另一根是正根还是负根?
[定理3] x1[定理4] 有且仅有k1

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