2021学年3.2 函数与方程、不等式之间的关系课文内容课件ppt

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第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
1．函数零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，___________________________.
即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0　
思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.
2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．
思考2：当|b－a|＜2ε时，取区间(a，b)的中点作为零点的近似解，区间(a，b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x0，区间(a，b)的其他点为x′，x′也可能是零点的近似解，即满足|x′－x0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．
1．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间[a，b]内(　　)A．一定有零点　B．一定没有零点C．可能有两个零点　D．至多有一个零点解析：如图所示，当f(a)＞0，f(b)＞0时，函数图像与x轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A、B、D不正确，C正确．
2．方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是(　　)A．[－1,0]　B．[0,1]　　C．[1,2]　D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．
3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)A．(0.5,1)，f(0.75)　B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)　D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．
4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为_________.解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称____次就可以发现这枚假币．解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．
　(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内　B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内　D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系．
归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
1．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)A．(0,1)　B．(1,2)　　C．(2,3)　D．(3,4)
解析：令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.∵f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f(x)的图像在R上连续不间断，∴函数f(x)在(2,3)内必有零点，故方程f(x)＝0在(2,3)内必有实数根．
　求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．
解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：
2．(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)A．[－2,1]　B．[－1,0]　　C．[0,1]　D．[1,2](2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝___________.
已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m的取值范围．思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围．
归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负．(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系．
3．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是____________.
误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的．因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点．
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？
思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．