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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教案，共12页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。
复数是“数学智慧的结晶，人类理性的胜利！没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明。”这是数学大师陈省身教授对复数重要性的描述。
本章内容主要涉及复数的概念，复数的代数形式运算以及复数的坐标表示与几何意义。复数集内的方程问题是本章的重点与难点之一。由于复数与几何、三角等相关知识联系较广，因此有必要补充一下复数的三角形式与运算，一可以让学生复习三角有关公式，二还可以拓展学生视野，利用复数与向量的知识解决解析几何中的问题。
本单元的主要学习目标包括
1、理解复数的概念，明确数集扩展的必要性；
2、掌握虚数单位的概念，理解复数的意义，掌握复数的分类；
3、掌握复数的代数形式，理解复数的相等，明确两虚数之间只有相等与不相等两种关系，虚数之间、虚数与实数之间不能比较大小的道理。
二、【单元知识结构框架】
复数系表：复数
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的基础，也是学好复数的关键.在学习本节之前，学生已经学习了物理中矢量的概念，对于大小和方向有一定的了解，且清楚平行与相等的一般含义，为介绍复数的概念，复数相等，奠定了基础.
2.认知障碍
一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的启发引导下探究体会向量的两要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相等，缺乏严谨的思维习惯.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点： 虚数单位的引入、复数的概念、复数的分类。
教学难点： 数集扩展的必要性，复数概念的引入。
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题1：从方程的角度想，一元二次方程有的有解，有的没有解，随着知识的增多和生活与学习的需要，能不能让所有方程都有解？
【破解方法】通过学生熟悉的人体，引发学生思考，因为有问题需要解决，从知识被需要和问题与知识完备的角度需要引入新知识。
问题2：怎样才能让所有一元二次方程都有解？
【破解方法】在学习过程中，我们会遇到很多一元二次方程无解的情况，这些问题产生的根本原因是负数在实数范围内不能开方！
问题3：如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？
【破解方法】引入新的量的重要性和必要性都有了，只需要介绍复数运算的重要
【教学过程】数集的发展：
问题4：看数学家们研究数的过程以及如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？
简要复习已学过的数系：
自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R。我们知道它们有如下的关系：
自然数集到实数集的每一次扩展，所得到的新的数集都保留了原来数集的运算性质，同时又增加了一些新的性质。
2、数集的发展过程：
我们知道：两自然数的和仍为自然数，但两自然数的差就不一定是自然数，因而引入了负整数的概念，把数集扩展为整数；两整数的和、差、积都是整数，但两个整数的商就不一定是整数，因而引入分数的概念，数集扩展为有理数集；在有理数范围内，两有理数的和、差、积、商都还是有理数，但是正有理数的平方根就不一定是有理数，由此引入无理数，把数集扩展为实数集。
实数还是“不够用”。我们知道，实系数一元二次方程当其根的判别式“”时，在实数范围内方程无解。例如：这样简单的方程在实数范围内就无解。也就是说，在实数范围内负数是不能开平方的。为了解决这一类的问题，还需要引入新的数集。
1、虚数单位的引入：
为了解决负数开平方问题，人们引入一个新数，规定它平方等于。这个数称为虚数单位，它具有性质：并且规定可以与实数在一起进行通常的四则运算。
这样就可以与实数进行乘法运算得。因为零和任何实数相乘得零，与此类似，规定。可以与实数相加，得。于是数的范围又得到了扩展。
问题5：如何定义复数？
复数的定义：
我们把形如的数叫做复数（，是实数，是虚数单位）。复数的全体组成的集合叫做复数集，记作C。
7.1.2复数的几何意义
问题6：如何理解复数的表示与复数的包含关系？
复数系表：
单个的复数通常用字母表示，即（），这种表示形式称为复数的代数形式。与分别叫做复数的实部与虚部，并且分别用符号和表示。对于复数（），当时，就是实数；当时，叫做虚数。特别地，当并且时，叫做纯虚数。
由此可以看出，实数集R是复数集C的真子集。有
复数系表：复数。
问题7：如何理解与表示复数相等？
两个复数相等：
如果两个复数（）和（）的实部与虚部分别相等，即且，那么这两个复数相等，记作。
如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数就只有相等与不相等两种关系，而不能比较大小。例如，但与之间就没有大小关系。若，则，知，有，则，与矛盾。若，则，知，有，则，与矛盾。
例1.下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．
【详解】，故A 正确；
，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；
若，取则，故D错
故选：A
例2.．在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为______．
【答案】##
【分析】数形结合得到对应的坐标为，从而写出答案.
【详解】点关于实轴的对称点为，对应的复数为，坐标为，
则对应的坐标为，故对应的复数为.
故答案为：
例3．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为______．
【答案】##
【分析】根据欧拉公式直接代入即可求解．
【详解】由公式得，
所以复数虚部为，
故答案为：
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【详解】复数z满足,即，
其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，
即点的轨迹为和的垂直平分线，
即z在复平面内对应的点在直线上，故，
故选：B
2．下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【答案】A
【详解】，故A 正确；
，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；
若，取则，故D错
故选：A
3．已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】A
【详解】设，则，解得：，
故的虚部为-1.
故选：A．
4．设复数满足，则在复平面上对应的图形是（ ）
A．两条直线B．椭圆C．圆D．双曲线
【答案】A
【详解】设，则，
可得：，
化简得：，
即或，
则在复平面上对应的图形是两条直线.
故选：A
5．已知，下列关于复数的描述中，不正确的是（ ）
A．不可能是实数B．不可能是纯虚数
C．D．
【答案】D
【详解】对A，，即无实数解，故不可能是实数，故A正确；
对B，，故不可能是纯虚数，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，当时，，故D错误，
综上，不正确的是D选项.
故选：D.
6．下列是关于复数的类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由实数绝对值的性质类比得到复数z的性质；
③已知a，，若，则，类比得已知，，若，则；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中推理结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确
由实数绝对值的性质类比得到复数的性质，
这两个长度的求法不是通过类比得到的，例如复数，，，所以．故②不正确，
对于③：已知，，若，例如，则，但是复数无大小关系，则不成立，故③错；
由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．
故结论正确的个数是2.
故选：B.
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
【答案】D
【详解】要使复数为纯虚数，则，
若，则；若，则，
所以且．
故选：D．
2．已知复数的共轭复数是，z、在复平面内对应的点分别是A、B，O为坐标原点，则的面积是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【详解】解：复数，则，又，z、在复平面内对应的点分别是A、B，
所以，又，则，
可得三角形是边长为的等腰直角三角形，其面积.
故选：B.
3．已知a，，若与互为共轭复数，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【详解】与互为共轭复数，∴，则有.
故选：D
4．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】依题意，复数，所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
5．集合，下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则z在复平面上所对应的点一定不在第四象限
D．若，则z不一定是纯虚数
【答案】A
【详解】对于A，当时，，A错；
对于B，若，则，此方程组无解，所以B正确；
对于C，，则，易知直线过一、二、三象限，一定不过第四象限，因此C正确；
对于D，当时，，满足，但不是纯虚数，D正确．
故选：A．
6．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】复数的共轭复数为，其对应的点在第一象限，
故选：A.
7．下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
【答案】D
【详解】对于，当时，，故选项错误；
对于，当时，，但并不相等，故选项错误；
对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；
对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，
故选：.
8．若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为向量与对应的复数分别是，
则，
所以，则向量对应的复数为，
故选：.
9．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意，复数z在复平面内对应的点的坐标为，
，
∴，
∴．
故选：D.
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本73页练习
2.课本习题7.1复习巩固及综合运用与拓广探索
复数是“数学智慧的结晶，人类理性的胜利！没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明。”这是数学大师陈省身教授对复数重要性的描述。
本章内容主要涉及复数的概念，复数的代数形式运算以及复数的坐标表示与几何意义。复数集内的方程问题是本章的重点与难点之一。由于复数与几何、三角等相关知识联系较广，因此有必要补充一下复数的三角形式与运算，一可以让学生复习三角有关公式，二还可以拓展学生视野，利用复数与向量的知识解决解析几何中的问题。
本单元的主要学习目标包括
1、理解复数的概念，明确数集扩展的必要性；
2、掌握虚数单位的概念，理解复数的意义，掌握复数的分类；
3、掌握复数的代数形式，理解复数的相等，明确两虚数之间只有相等与不相等两种关系，虚数之间、虚数与实数之间不能比较大小的道理。
二、【单元知识结构框架】
复数系表：复数
三、【学情分析】
1．认知基础
本节内容是本章的基础，也是学好复数的关键.在学习本节之前，学生已经学习了物理中矢量的概念，对于大小和方向有一定的了解，且清楚平行与相等的一般含义，为介绍复数的概念，复数相等，奠定了基础.
2.认知障碍
一方面，学生对于知识的把握是零碎、分散的.对复数概念是不了解的，需要在老师的启发引导下探究体会向量的两要素；另一方面，学生相等的问题常常会默认为是数量上的相等，缺乏严谨的思维习惯.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点： 虚数单位的引入、复数的概念、复数的分类。
教学难点： 数集扩展的必要性，复数概念的引入。
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题1：从方程的角度想，一元二次方程有的有解，有的没有解，随着知识的增多和生活与学习的需要，能不能让所有方程都有解？
【破解方法】通过学生熟悉的人体，引发学生思考，因为有问题需要解决，从知识被需要和问题与知识完备的角度需要引入新知识。
问题2：怎样才能让所有一元二次方程都有解？
【破解方法】在学习过程中，我们会遇到很多一元二次方程无解的情况，这些问题产生的根本原因是负数在实数范围内不能开方！
问题3：如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？
【破解方法】引入新的量的重要性和必要性都有了，只需要介绍复数运算的重要
【教学过程】数集的发展：
问题4：看数学家们研究数的过程以及如何解决负数在实数范围内不能开方的问题？
简要复习已学过的数系：
自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R。我们知道它们有如下的关系：
自然数集到实数集的每一次扩展，所得到的新的数集都保留了原来数集的运算性质，同时又增加了一些新的性质。
2、数集的发展过程：
我们知道：两自然数的和仍为自然数，但两自然数的差就不一定是自然数，因而引入了负整数的概念，把数集扩展为整数；两整数的和、差、积都是整数，但两个整数的商就不一定是整数，因而引入分数的概念，数集扩展为有理数集；在有理数范围内，两有理数的和、差、积、商都还是有理数，但是正有理数的平方根就不一定是有理数，由此引入无理数，把数集扩展为实数集。
实数还是“不够用”。我们知道，实系数一元二次方程当其根的判别式“”时，在实数范围内方程无解。例如：这样简单的方程在实数范围内就无解。也就是说，在实数范围内负数是不能开平方的。为了解决这一类的问题，还需要引入新的数集。
1、虚数单位的引入：
为了解决负数开平方问题，人们引入一个新数，规定它平方等于。这个数称为虚数单位，它具有性质：并且规定可以与实数在一起进行通常的四则运算。
这样就可以与实数进行乘法运算得。因为零和任何实数相乘得零，与此类似，规定。可以与实数相加，得。于是数的范围又得到了扩展。
问题5：如何定义复数？
复数的定义：
我们把形如的数叫做复数（，是实数，是虚数单位）。复数的全体组成的集合叫做复数集，记作C。
7.1.2复数的几何意义
问题6：如何理解复数的表示与复数的包含关系？
复数系表：
单个的复数通常用字母表示，即（），这种表示形式称为复数的代数形式。与分别叫做复数的实部与虚部，并且分别用符号和表示。对于复数（），当时，就是实数；当时，叫做虚数。特别地，当并且时，叫做纯虚数。
由此可以看出，实数集R是复数集C的真子集。有
复数系表：复数。
问题7：如何理解与表示复数相等？
两个复数相等：
如果两个复数（）和（）的实部与虚部分别相等，即且，那么这两个复数相等，记作。
如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数就只有相等与不相等两种关系，而不能比较大小。例如，但与之间就没有大小关系。若，则，知，有，则，与矛盾。若，则，知，有，则，与矛盾。
例1.下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．
【详解】，故A 正确；
，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；
若，取则，故D错
故选：A
例2.．在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为______．
【答案】##
【分析】数形结合得到对应的坐标为，从而写出答案.
【详解】点关于实轴的对称点为，对应的复数为，坐标为，
则对应的坐标为，故对应的复数为.
故答案为：
例3．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为______．
【答案】##
【分析】根据欧拉公式直接代入即可求解．
【详解】由公式得，
所以复数虚部为，
故答案为：
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【详解】复数z满足,即，
其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，
即点的轨迹为和的垂直平分线，
即z在复平面内对应的点在直线上，故，
故选：B
2．下列命题中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．若x，，则的充要条件是；
D．若，则．
【答案】A
【详解】，故A 正确；
，故B错误；
若x，，若有；若有；
故是的充分不必要条件，C错误；
若，取则，故D错
故选：A
3．已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】A
【详解】设，则，解得：，
故的虚部为-1.
故选：A．
4．设复数满足，则在复平面上对应的图形是（ ）
A．两条直线B．椭圆C．圆D．双曲线
【答案】A
【详解】设，则，
可得：，
化简得：，
即或，
则在复平面上对应的图形是两条直线.
故选：A
5．已知，下列关于复数的描述中，不正确的是（ ）
A．不可能是实数B．不可能是纯虚数
C．D．
【答案】D
【详解】对A，，即无实数解，故不可能是实数，故A正确；
对B，，故不可能是纯虚数，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，当时，，故D错误，
综上，不正确的是D选项.
故选：D.
6．下列是关于复数的类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由实数绝对值的性质类比得到复数z的性质；
③已知a，，若，则，类比得已知，，若，则；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中推理结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确
由实数绝对值的性质类比得到复数的性质，
这两个长度的求法不是通过类比得到的，例如复数，，，所以．故②不正确，
对于③：已知，，若，例如，则，但是复数无大小关系，则不成立，故③错；
由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．
故结论正确的个数是2.
故选：B.
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．B．且
C．且D．且
【答案】D
【详解】要使复数为纯虚数，则，
若，则；若，则，
所以且．
故选：D．
2．已知复数的共轭复数是，z、在复平面内对应的点分别是A、B，O为坐标原点，则的面积是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【详解】解：复数，则，又，z、在复平面内对应的点分别是A、B，
所以，又，则，
可得三角形是边长为的等腰直角三角形，其面积.
故选：B.
3．已知a，，若与互为共轭复数，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【详解】与互为共轭复数，∴，则有.
故选：D
4．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】依题意，复数，所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
5．集合，下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则z在复平面上所对应的点一定不在第四象限
D．若，则z不一定是纯虚数
【答案】A
【详解】对于A，当时，，A错；
对于B，若，则，此方程组无解，所以B正确；
对于C，，则，易知直线过一、二、三象限，一定不过第四象限，因此C正确；
对于D，当时，，满足，但不是纯虚数，D正确．
故选：A．
6．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】复数的共轭复数为，其对应的点在第一象限，
故选：A.
7．下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
【答案】D
【详解】对于，当时，，故选项错误；
对于，当时，，但并不相等，故选项错误；
对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；
对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，
故选：.
8．若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为向量与对应的复数分别是，
则，
所以，则向量对应的复数为，
故选：.
9．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意，复数z在复平面内对应的点的坐标为，
，
∴，
∴．
故选：D.
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