人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念学案

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1．复平面
思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
3．复数的模
(1)定义：向量eq \(OZ,\s\up14(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝eq \r(a2＋b2).
4．共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用eq \(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi.
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
A [复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]
2．向量a＝(－2,1)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
D [向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝ .
eq \r(5) [∵z＝1＋2i，∴|z|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).]
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝eq \f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
思路探究：eq \x(确定z的实部、虚部)→eq \x(列方程不等式组)
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a2－a－6,a＋3)<0，,a2－2a－15>0，))
解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－15>0，,a＋3≠0，))
即(a＋3)(a－5)＞0，
解得a＞5或a＜－3.
1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以eq \f(a2－a－6,a＋3)＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±eq \r(15).
所以a＝－2或a＝±eq \r(15)时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
【例2】 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))和eq \(AC,\s\up14(→))对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[解] (1)由已知得eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))，eq \(OC,\s\up14(→))所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，
则eq \(OA,\s\up14(→))＝(1,4)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(0，－3)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(2,0)，
因此eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(1，－4)，
故eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))对应的复数为1＋i，eq \(AC,\s\up14(→))对应的复数为1－4i.
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，由平行四边形的性质知BD的中点也是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，若设D(x0，y0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0＋x0,2)＝\f(3,2)，,\f(－3＋y0,2)＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝7，))故D(3,7)．
法二：由已知得eq \(OA,\s\up14(→))＝(1,4)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(0，－3)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(2,0)，所以eq \(BA,\s\up14(→))＝(1,7)，eq \(BC,\s\up14(→))＝(2,3)，
由平行四边形的性质得eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＝(3,10)，
所以eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))＝(3,7)，于是D(3,7)．
复数与向量的对应和转化
对应：复数z与向量eq \(OZ,\s\up14(→))是一一对应关系．
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．
解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．
1．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))对应的复数；
(2)判定△ABC的形状．
[解] (1)由复数的几何意义知：
eq \(OA,\s\up14(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(2,1)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(－1,2)，
所以eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(－2,2)，eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝(－3,1)，所以eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up14(→))|＝eq \r(10)，
所以|eq \(AB,\s\up14(→))|2＋|eq \(AC,\s\up14(→))|2＝|eq \(BC,\s\up14(→))|2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
[探究问题]
1．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？
[提示] |z|＝eq \r(x2＋y2)，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离．
2．复数z满足|z－i|＝1，其几何意义是什么？
[提示] 由|z－i|＝1可知点z到点(0,1)的距离为1.
【例3】 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
(1)B [因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故选B.]
(2)[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，
代入方程得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8.))
∴z＝－15＋8i.
1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
2．若复数z＝eq \f(2a－1,a＋2)＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为 ．
eq \r(29) [∵z为实数，∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3.∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，
∴z1＝2－5i，∴|z1|＝eq \r(29).]
3．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
[解] 法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝eq \r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq \r(7)，eq \r(7))．
法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－eq \r(7)1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即：
特别提醒：相等向量对应同一个复数．
2．|z|＝1表示复平面上的单位圆.
1．判断正误
(1)复平面内的点与复数是一一对应的．( )
(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
(4)复数与向量一一对应．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．设O为原点，向量eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量eq \(BA,\s\up14(→))对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
D [由题意知，eq \(OA,\s\up14(→))＝(2,3)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(－3，－2)，
∴eq \(BA,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D.]
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
A [依题意可得eq \r(m－32＋m－12)＝2，解得m＝1或3，故选A.]
4．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解] 因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点
在第一象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＞0，,4m2－8m＋3＞0，))
解得m＜eq \f(－1－\r(5),2)或m＞eq \f(3,2)，
即实数m的取值范围是m＜eq \f(－1－\r(5),2)或m＞eq \f(3,2).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)
2．掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点)
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)
1.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养．
2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养.
复数与复平面内的点的关系
复数与复平面内向量的对应
复数的模及其应用