高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教案，共8页。教案主要包含了增加新元素；，原有的运算性质仍然成立；，新数系能解决旧数系中的矛盾.等内容，欢迎下载使用。

课题
7.1复数的概念
单元
第七单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念及几何意义，为复数的运算打好基础。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用坐标系和平面向量将复数具体刻画出来，便于更好的理解复数的几何意义；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：通过数系扩充将数扩大到复数范围，以便于解决更多的实际问题，例如：一元二次方程判别式小于0时方程的解的问题；
4.直观想象：利用数形结合法探究复数相关概念；
5.数学运算:能够正确理解复数的概念及其几何意义；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
数系扩充、复数概念及复数的几何意义
难点
复数概念及复数的几何意义
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
旧知导入：
思考1：你还记得实数的发展历程吗？
数系的扩充
自然数、整数、有理数、无理数、实数
并用图形表示其包含关系。
思考2：为什么要将数系进行扩充？
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、原有的运算性质仍然成立；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
思考3： SKIPIF 1 < 0
方程无实数解；因为负实数不能开平方。
为了解决正方形对角线的度量，以及 SKIPIF 1 < 0 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。根据这个方法，为了使负实数也能开平方，我们将数系进行扩充。
依照这种思想，为了解决 SKIPIF 1 < 0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程的解。 SKIPIF 1 < 0
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念
思考4：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配率。
那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi.
思考5：以上这些数有什么特点呢？
所有实数以及i都可以写成a+bi SKIPIF 1 < 0 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
复数的概念
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
复数的代数形式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
其中，a是实部，b是虚部，i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0
复数的相等
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
虚数与纯虚数
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
思考：复数集C和实数集R有什么联系？
我们已经知道复数有如下分类：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
显然，实数集R是复数集C的真子集。 SKIPIF 1 < 0
由此可得，数的发展历程如下：
自然数、整数、有理数、实数、复数
小试牛刀
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×)
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( √ )
(3)bi是纯虚数．( × )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
2、判断以下复数哪些是虚数？哪些是纯虚数；并说出实部和虚部。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
例题讲解
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 例2、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解： ∵M∪P＝P，∴M⊆P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1.
方法总结：
解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
知识探究（二）：复数的几何意义
思考1:我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
规定：
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
SKIPIF 1 < 0
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应。
由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
这就是复数的第一种几何意义。
思考2:在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，那么，你能用平面向量来表示复数吗？
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
这就是复数的另一种几何意义。
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
变式训练
1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
解：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－12或m<1，))
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.
2.已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq \(AO,\s\up16(→))表示的复数；(2)eq \(CA,\s\up16(→))表示的复数；(3)点B对应的复数．
解：由题意得O为原点，eq \(OA,\s\up16(→))＝(3,2)，eq \(OC,\s\up16(→))＝(－2,4)．
(1)∵eq \(AO,\s\up16(→))＝－eq \(OA,\s\up16(→))＝－(3,2)＝(－3，－2)
∴eq \(AO,\s\up16(→))表示的复数为－3－2i.
(2)∵eq \(CA,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OC,\s\up16(→))＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，
∴eq \(CA,\s\up16(→))表示的复数为5－2i.
(3)∵eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，
∴eq \(OB,\s\up16(→))表示的复数为1＋6i，
即点B对应的复数为1＋6i.
思考: SKIPIF 1 < 0
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭复数。
SKIPIF 1 < 0 思考:
SKIPIF 1 < 0
横坐标相等，纵坐标互为相反数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 变式训练
设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量eq \(OZ,\s\up16(→))的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
提升训练
1、已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 x 与 y．
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
由复数相等的条件得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2、在实数与复数范围内, 讨论关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 (a、b、c∈R, a≠0)的根的情况。
解：∵∆=b2-4ac
当∆=0时，有两相等实根；
当∆>0时，有两不等实根；
SKIPIF 1 < 0
当∆<0时，b2-4ac<0,4ac-b2>0，∆=i2（4ac-b2）
SKIPIF 1 < 0
设复数z = a + bi (a，b∈R)和复平面上的点Z (a，b)对应，a，b必须满足什么条件，才能使点Z位于：
实轴上？ SKIPIF 1 < 0
虚轴上（不含原点）？ SKIPIF 1 < 0
上半平面（含实轴）？ SKIPIF 1 < 0
左半平面（不含虚轴）？ SKIPIF 1 < 0
学生探究如何进行数系扩充。
学生根据环环相扣的思考题，探究得出复数的概念。
学生通过例题和练习题，巩固复数概念，并能够灵活运用.
学生根据思考题，探究得出复数的几何意义。
学生和教师共同探究完成3个提升训练。
探究得出复数数系,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
通过提升训练，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
数系的扩充与复数的概念；
复数的两种几何意义；
共轭复数。
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书

教学反思