数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀教案及反思

这是一份数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀教案及反思，共8页。教案主要包含了第一课时，教学过程，第二课时等内容，欢迎下载使用。




【第一课时】


数系的扩充和复数的概念


【教学过程】


一、问题导入


预习教材内容，思考以下问题：


1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？


2．复数分为哪两大类？


3．复数相等的条件是什么？


二、新知探究


探究点1：


复数的概念


下列命题：


①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；


②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；


③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；


④实数集是复数集的真子集．


其中正确的命题是（ ）


A．①B．②


C．③D．④


解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．


答案：D


eq \a\vs4\al()


判断与复数有关的命题是否正确的方法


（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．


（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．


提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．


探究点2：


复数的分类


当实数m为何值时，复数z＝eq \f(m2＋m－6,m)＋（m2－2m）i：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？


解：（1）当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m≠0，))即m＝2时，复数z是实数．


（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．


（3）当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0，,\f(m2＋m－6,m)＝0，,m2－2m≠0，))即m＝－3时，复数z是纯虚数．


eq \a\vs4\al()


解决复数分类问题的方法与步骤


（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．


（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．


（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），


①z为实数⇔b＝0；


②z为虚数⇔b≠0；


③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0．


探究点3：


复数相等


（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）


A．4或0B．－4或0


C．2或0D．－2或0


（2）若lg2（x2－3x－2）＋ilg2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．


解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．


（2）因为lg2（x2－3x－2）＋ilg2（x2＋2x＋1）>1，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x2－3x－2）>1，,lg2（x2＋2x＋1）＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3x－2>2，,x2＋2x＋1＝1，))解得x＝－2．


【答案：（1）A


（2）－2


eq \a\vs4\al()


复数相等的充要条件


复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．


注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．


三、课堂总结


1．复数的有关概念


（1）复数的定义


形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．


（2）复数集


全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．


（3）复数的表示方法


复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．


2．复数相等的充要条件


在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．


3．复数的分类


（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0Ｗ.))))


（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系





■名师点拨


复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．


四、课堂检测


1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）


A．b＝0B．a＝0且b≠0


C．a＝0或b＝0D．ab≠0


解析：选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0．


2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）


A．－1B．2


C．1D．－1或2


解析：选D．因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，


所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．


3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．


解析：因为z＜0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－9＝0，,m＋1＜0，))解得m＝－3．


答案：－3


4．已知eq \f(x2－x－6,x＋1)＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．


解析：因为x∈R，所以eq \f(x2－x－6,x＋1)∈R，


由复数相等的条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，,x＋1≠0，))


解得x＝3．


答案：3


【第二课时】


复数的几何意义


【教学过程】


一、问题导入


预习教材内容，思考以下问题：


1．复平面是如何定义的？


2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？


3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？


二、新知探究


探究点1：


复数与复平面内的点


已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．


（1）在实轴上；


（2）在第三象限．


解：（1）若z对应的点在实轴上，则有


2a－1＝0，解得a＝eq \f(1,2)．


（2）若z对应的点在第三象限，则有


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1

故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))．


互动探究：


变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．


解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝eq \f(5,4)．


eq \a\vs4\al()


利用复数与点的对应解题的步骤


（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据．


（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．


探究点2：


复数与复平面内的向量


在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C．求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．


解：法一：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)＝2，,\f(y＋0,2)＝\f(3,2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3，))即点D的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i．


法二：由已知得eq \(OA,\s\up6(→))＝（0，1），eq \(OB,\s\up6(→))＝（1，0），eq \(OC,\s\up6(→))＝（4，2），


所以eq \(BA,\s\up6(→))＝（－1，1），eq \(BC,\s\up6(→))＝（3，2），


所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝（2，3），所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝（3，3），


即点D对应的复数为3＋3i．


eq \a\vs4\al()


复数与平面向量的对应关系


（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．


（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．


探究点3：


复数的模


（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ）


A．－11


C．a>1D．a>0


（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）


A．1个圆B．线段


C．2个点D．2个圆


解析：（1）由题意得eq \r(a2＋22)

（2）由题意知（|z|－3）（|z|＋1）＝0，


即|z|＝3或|z|＝－1，


因为|z|≥0，所以|z|＝3，


所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．


答案：（1）A


（2）A


eq \a\vs4\al()


求解复数的模的思路


解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．


三、课堂总结


1．复平面


建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．


2．复数的两种几何意义


（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）eq \(←――→,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z（a，b）．


（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R） eq \(←――→,\s\up7(一一对应))平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))．


3．复数的模


复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)．


4．共轭复数


（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．


（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．


（3）复数z的共轭复数用eq \(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi．


■名师点拨


复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为（a，b），复数eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi在复平面内对应的点为（a，－b），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．


四、课堂检测


1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）


A．（－3，1）B．（－1，3）


C．（1，＋∞）D．（－∞，－3）


解析：选A．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3

2．在复平面内，O为原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为（ ）


A．－2－iB．2＋i


C．1＋2iD．－1＋2i


解析：选D．由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为－1＋2i．


3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．


解析：依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1．因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，eq \r(5)）．


答案：（1，eq \r(5)）


4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．


解析：因为z1与z2互为共轭复数，


所以a＝2，b＝4．


答案：2 4教学重难点
教学目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
教学重难点
教学目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念，会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算