高中数学7.1 复数的概念精品当堂达标检测题

第七章复数

7.1　复数的概念

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021陕西阎良期末)设复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,则实数a=(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

答案A

解析∵复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3.故选A.

2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(　　)

A.-1 B.2

C.1 D.-1或2

答案D

解析因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.

3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是(　　)

A.3 B.2

C.2或3 D.0或2或3

答案B

解析因为复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以m2-5m+6=0,m2-3m≠0,解得m=2.

4.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　)

A.若a≠0,则ai是纯虚数

B.虚部为-的虚数有无数个

C.实数集是复数集的真子集

D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

答案BCD

解析对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.

5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析“ab=0”则a=0或b=0,“复数a-bi为纯虚数”则a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.

6.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为　　　　　　　　. 

答案-,-

解析依题意得所以

7.若复数z=m+(m2-1)i是负实数,则实数m的值为　　　　　. 

答案-1

解析依题意可知m2-1=0且m<0,因此m=-1.

8.已知关于实数x,y的方程组:

有实数解,求实数a,b.

解由①式,根据复数相等的充要条件有

解得 (*)

将(*)代入②式,得5+4a-(6+b)i=9-8i,且a,b∈R,所以有解得a=1,b=2.

关键能力提升练

9.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是(　　)

A.3-3i B.3+i

C.-i D.i

答案A

解析3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.

10.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 (　　)

A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1

B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数

C.若=0,则z1=z2=0

D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数

答案BD

解析取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;

∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;

取z1=i,z2=1,则=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;

当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.

11.(多选题)(2021江苏相城校级期中)已知复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为(　　)

A. B. C.π D.

答案BC

解析∵复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,

∴3cos α+cos 2α=-2,

即2cos2α+3cos α+1=0,

解得cos α=-或cos α=-1.

∵0<α<2π,

∴α=或π.

故选BC.

12.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　　,n=　　　　　. 

答案2　±2

解析由复数相等的充要条件有解得

13.下列说法:

①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.

其中说法正确的序号是　　　　　. 

答案③

解析当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错误;两个虚数不能比较大小,故③正确.

14.已知复数z=-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值.

解∵z>0,∴z∈R.∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.

∵z>0,∴-x>0.对于不等式-x>0,x=1适合,x=3不适合,∴x=1.

学科素养创新练

15.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=(　　)

A.3+i B.3-i

C.-3-i D.-3+i

答案B

解析由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0.

所以解得所以z=3-i.