数学必修 第二册7.1 复数的概念学案

这是一份数学必修 第二册7.1 复数的概念学案，共12页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，例1-4，变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1等内容，欢迎下载使用。

1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.
3.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等：设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
【知识二】复平面及复数的几何意义
1.复平面
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3.复数的模：(1)定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.
【例1-1】已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）
B．C．D．
【例1-2】已知，且，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】的平方根是________.
【例1-4】已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【变式1-1】(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是( )
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
【变式1-2】若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
【变式1-3】数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
【例2-1】已知复数(虚单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例2-2】在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】设复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例2-4】(1)设i虚数单位，复数，则（ ）
A．B．5C．1D．2
(2)已知，其中､是实数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
【变式2-2】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
【变式2-3】 (1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A.z1>z2B.z1C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|
(2)已知0A.(1，eq \r(10)) B.(1，eq \r(3))
C.(1,3) D.(1,10)
课后练习题
1．若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．1B．iC．D．
2．设为虚数单位，则复数的实部为（ ）
A．B．C．5D．
3．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A．2B．C．D．4
5．已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
6．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．若，则复数表示的点在（ ）
A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限
8．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是____.
9．已知复数若复数是实数，则实数________；若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.
10．已知，若有（为虚数单位），则（ ）
A．1B．C．D．
11．（=设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.
12．已知是虚数单位，若，则________.
13．（多选）已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数的虚部为B．
C．复数的共轭复数D．复数在复平面内对应的点在第一象限
14．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）
A．是纯虚数B．的实部为2C．的共轭复数为D．的模为
15.关于复数3－4i的说法正确的是（ ）
①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5
③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i
A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④
7.1 复数的概念
【知识一】数系的扩充与复数的概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.
3.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等：设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
【知识二】复平面及复数的几何意义
1.复平面
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3.复数的模：(1)定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi.
【例1-1】已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）
B．C．D．
【解析】复数的虚部为.故选：A.
【例1-2】已知，且，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知，，解得，故选: C.
【例1-3】的平方根是________.
【解析】由得解.
【例1-4】已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【解析】（1）复数是实数，则，解得；
（2）复数是虚数，则，解得且；
（3）复数是纯虚数，则，解得或．
【变式1-1】(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是( )
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.所以ABD均错误.
【变式1-2】若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
【解析】根据复数的分类知，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1或a＝2，,a≠1，))
即a＝2.
【变式1-3】数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
【解析】因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋7＝m2－8，,m2－2＝4m＋3，))
解得m＝5.
【例2-1】已知复数(虚单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面内对应的点为，即在第二象限，
故选：B
【例2-2】在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，
∴解得∴实数m的取值范围是故选：D.
【例2-3】设复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】复数的共轭复数，则对应点的坐标为，该点位于第四象限，
故选：D.
【例2-4】(1)设i虚数单位，复数，则（ ）
A．B．5C．1D．2
(2)已知，其中､是实数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】（1）故选：A
（2）因为，所以，，解得，，
所以，故选：C.
【变式2-1】在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
【解析】若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.
【变式2-2】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
【解析】向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.
【变式2-3】 (1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A.z1>z2B.z1C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|
【解析】 |z1|＝|5＋3i|＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq \r(52＋42)＝eq \r(41).
因为eq \r(34)(2)已知0A.(1，eq \r(10)) B.(1，eq \r(3))
C.(1,3) D.(1,10)
【解析】 0则|z|＝eq \r(a2＋1)∈(1，eq \r(10)).
课后练习题
1．若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．1B．iC．D．
【答案】C
【解析】由于，则且，所以，所以复数的虚部为.
故选：C.
2．设为虚数单位，则复数的实部为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】C
【解析】复数的实部为.故选：C.
3．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若复数是纯虚数，则，，
则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，
故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，
故选：B.
4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【解析】为纯虚数，，即．复数的虚部为4．
故选：．
5．已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）复数，若为实数，则，即
（2）若为纯虚数，则，解得
6．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由题,在复平面内对应的点为,在第二象限,故选:B
7．若，则复数表示的点在（ ）
A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D
8．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是____.
【答案】
【解析】在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解得，即实数m的取值范围是.故答案为：
9．已知复数若复数是实数，则实数________；若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】为实数，则，解得或，又，所以．
对应点在第二象限，则，解得．
故答案为：；．
10．已知，若有（为虚数单位），则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为所以，即，解得，故选：C
11．（=设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.
【答案】
【解析】由题意，设复数，
因为，可得，整理得，
即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.
故答案为：.
12．已知是虚数单位，若，则________.
【答案】
【解析】根据复数模的计算公式得：.故答案为：
13．（多选）已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数的虚部为B．
C．复数的共轭复数D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】因为复数，
所以其虚部为，即A错误；
，故B正确；
复数的共轭复数，故C正确；
复数在复平面内对应的点为，显然位于第一象限，故D正确.
故选：BCD.
14．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）
A．是纯虚数B．的实部为2C．的共轭复数为D．的模为
【答案】D
【解析】复数（为虚数单位）显然不是纯虚数，的实部是1，的共轭复数为，，故D正确，故选：D.
15.关于复数3－4i的说法正确的是（ ）
①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5
③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i
A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④
【答案】C
【解析】复数3－4i的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确；
在复平面内对应的点为在第四象限，③正确；复数3－4i的共轭复数为3+4i，④正确.故选：C.