初中数学沪科版七年级上册第1章 有理数1.6 有理数的乘方课后练习题

这是一份初中数学沪科版七年级上册第1章 有理数1.6 有理数的乘方课后练习题，共27页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3955" 【题型1 有理数乘方的概念】 PAGEREF _Tc3955 \h 1
\l "_Tc28512" 【题型2 乘方的运算】 PAGEREF _Tc28512 \h 2
\l "_Tc10349" 【题型3 偶次乘方的非负性】 PAGEREF _Tc10349 \h 2
\l "_Tc23099" 【题型4 含乘方的混合运算】 PAGEREF _Tc23099 \h 3
\l "_Tc14237" 【题型5 含乘方的程序图运算】 PAGEREF _Tc14237 \h 4
\l "_Tc27139" 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 PAGEREF _Tc27139 \h 5
\l "_Tc19039" 【题型7 乘方的应用规律】 PAGEREF _Tc19039 \h 6
\l "_Tc32024" 【题型8 乘方应用中的新定义问题】 PAGEREF _Tc32024 \h 7
\l "_Tc31287" 【题型9 科学记数法的表示】 PAGEREF _Tc31287 \h 9
\l "_Tc20712" 【题型10 近似数的表示】 PAGEREF _Tc20712 \h 10
【知识点1 有理数乘方的概念】
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
【题型1 有理数乘方的概念】
【例1】（2022•河北模拟）表示的意义是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022•博湖县校级期中）写成乘方的形式 ，（）×（）×（）写成乘方的形式是 ．
【变式1-2】（2022秋•泾阳县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．23表示2×3
B．﹣110读作“﹣1的10次幂”
C．（﹣5）2中﹣5是底数，2是指数
D．2×32的底数是2×3
【变式1-3】（2022秋•顺平县期中）将写成幂的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【知识点2 有理数乘方的运算】
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【题型2 乘方的运算】
【例2】（2022春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．﹣28与（﹣2）8B．（﹣3）7与﹣37
C．﹣3×23与﹣33×2D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2
【变式2-1】（2022秋•玉门市期末）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和 23B．﹣23 和（﹣2）3
C．﹣|23|和|﹣23|D．﹣32和（﹣3）2
【变式2-2】（2022•涞水县期末）设n是自然数，则的值为（ ）
A．1或﹣1B．0C．﹣1D．0或1
【变式2-3】（2022•兰考县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣an和（﹣a）n一定不相等
B．﹣an和（﹣a）n一定互为相反数
C．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等
D．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等
【知识点3 偶次乘方的非负性】
任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
【题型3 偶次乘方的非负性】
【例3】（2022春•诸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，则x+2y的值为（ ）
A．25B．﹣27C．﹣23D．27
【变式3-1】（2022春•吉州区期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a2021•b2022的值为 ．
【变式3-2】（2022•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点
佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3
音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2
对于以上观点，则（ ）
A．佳佳和音音均正确B．佳佳正确，音音不正确
C．佳佳不正确，音音正确D．佳佳和音音均不正确
【变式3-3】（2022•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：
①a2+（b+1）2总是正数； ②a2+b2+1总是正数；
③9+（a﹣b）2的最小值为9； ④1﹣（ab+1）2的最大值是0
其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【知识点4 含乘方的混合运算】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【题型4 含乘方的混合运算】
【例4】（2022秋•沂水县期中）（1）计算：
①（3×5）2与32×52；
②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；
③[（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）根据以上计算结果猜想：（ab）2，（ab）3分别等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求（﹣8）2021×0.1252022的值．
【变式4-1】（2022春•杨浦区校级期末）计算：．
【变式4-2】（2022•庆阳期末）计算：．
【变式4-3】（2022•越城区校级月考）计算：32÷（﹣22）×（﹣1）+（﹣5）6×（）3
【题型5 含乘方的程序图运算】
【例5】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 ．
【变式5-1】（2022•海州区期中）如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3时，则输出的值为 ．
【变式5-2】（2022秋•胶州市期末）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ．
【变式5-3】（2022•和平区期中）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】
【例6】（2022•呼伦贝尔）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 ．
【变式6-1】（2022•黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为 （结果用n表示）．
【变式6-2】（2020•莫旗一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+5+7+……+101＝（ ）
A．2601B．2501C．2400D．2419
【变式6-3】（2022•亭湖区校级月考）观察下面的等式：
32﹣12＝8＝8×1；
52﹣32＝16＝8×2：
72﹣52＝24＝8×3；
92﹣72＝32＝8×4
…
（1）请写出第5个等式；
（2）通过观察，你能发现什么规律？猜想并写出第n个等式；
（3）请利用上述规律计算1012﹣992的值．
【题型7 乘方的应用规律】
【例7】（2022秋•下城区校级期中）某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后存活的个数是 65 个，经过n个小时后，细胞存活的个数为 个（结果用含n的代数式表示）．
【变式7-1】（2022•雁塔区校级期中）1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第8次后剩下的木棒长度是（ ）米
A．B．C．D．
【变式7-2】（2022•黔东南州模拟）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：
（1）经过第3次捏合后，可以拉出 根细面条；
（2）到第 次捏合后可拉出32根细面条．
【变式7-3】（2022秋•仪征市期中）看过《西游记》的同学一定很喜欢孙悟空，孙悟空的金箍棒能随意伸缩．假设它最短时只有1厘米，第1次变化后变成3厘米，第2次变化后变成9厘米，第3次变化后变成27厘米…照此规律变化下去，到第5次变化后金箍棒的长度是 米．
【题型8 乘方应用中的新定义问题】
【例8】（2022•新化县模拟）定义：若10x＝N，则x＝lg10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为
【变式8-1】（2022•梁溪区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2022次“F运算”的结果是（ ）
A．16B．5C．4D．1
【变式8-2】（2022•顺城区校级月考）[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓒ，读作“a的圈c次方”．
（1）[初步探究]直接写出计算结果：3③＝ ；（）⑤＝ ﹣8 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C.3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（3）[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ．
Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝ ；
Ⅲ．算一算：（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33．
【变式8-3】（2022•花溪区一模）在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪榕筑花园小区利用如图①的建立了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d算式a×23+b×22+c×21+d×20的运算结果为该业主所居住房子的栋数号．例如，图②第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5栋住户，小敏家住在11栋，则表示他家的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
【知识点5 科学记数法的表示】
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【题型9 科学记数法的表示】
【例9】（2022•日照）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据336905万用科学记数法表示为（ ）
A．0.336905×1010B．3.36905×1010
C．3.36905×109D．33.6905×109
【变式9-1】（2022•湘西州）据统计，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试九年级考生报名人数约为35000人，其中数据35000用科学记数法表示为（ ）
A．35×103B．0.35×105C．350×102D．3.5×104
【变式9-2】（2022春•馆陶县期末）某种颗粒每粒的质量为0.00000037克，500粒此种颗粒的质量用科学记数法可以表示为a×10n克，则n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【变式9-3】（2022•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（ ）
A．14280.2万大约是1.4亿
B．14280.2万大约是1.4×108
C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104
D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108
【知识点7 近似数的表示】
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.．
【题型10 近似数的表示】
【例10】（2022•济宁）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015B．0.016C．0.01D．0.02
【变式10-1】（2022•长沙模拟）用四舍五入法把某数取近似值为4.8×10﹣3，精确度正确的是（ ）
A．精确到万分位B．精确到千分位
C．精确到0.01D．精确到0.1
【变式10-2】（2022秋•南阳期末）下列对近似数的叙述不正确的是（ ）
A．用四舍五入法对270.18（精确到个位）取近似值为270
B．用四舍五入法对0.518（精确到0.01）取近似值为0.52
C．由四舍五入法得到的近似数42.3万是精确到万位
D．由四舍五入法得到的近似数0.185是精确到千分位
【变式10-3】（2022春•杨浦区校级期末）根据最新的上海市国民经济和社会发展统计公报，全市目前常住人口约为2489.43万人，用科学记数法保留三个有效数字表可表示为 人．
专题1.5 有理数的乘方【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3955" 【题型1 有理数乘方的概念】 PAGEREF _Tc3955 \h 1
\l "_Tc28512" 【题型2 乘方的运算】 PAGEREF _Tc28512 \h 3
\l "_Tc10349" 【题型3 偶次乘方的非负性】 PAGEREF _Tc10349 \h 4
\l "_Tc23099" 【题型4 含乘方的混合运算】 PAGEREF _Tc23099 \h 6
\l "_Tc14237" 【题型5 含乘方的程序图运算】 PAGEREF _Tc14237 \h 8
\l "_Tc27139" 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 PAGEREF _Tc27139 \h 10
\l "_Tc19039" 【题型7 乘方的应用规律】 PAGEREF _Tc19039 \h 12
\l "_Tc32024" 【题型8 乘方应用中的新定义问题】 PAGEREF _Tc32024 \h 13
\l "_Tc31287" 【题型9 科学记数法的表示】 PAGEREF _Tc31287 \h 17
\l "_Tc20712" 【题型10 近似数的表示】 PAGEREF _Tc20712 \h 19
【知识点1 有理数乘方的概念】
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
【题型1 有理数乘方的概念】
【例1】（2022•河北模拟）表示的意义是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据乘方的意义即可得出结果．
【解答】解：∵表示3个（）相乘，
∴表示的意义是（）×（）×（），
故选：A．
【变式1-1】（2022•博湖县校级期中）写成乘方的形式 ，（）×（）×（）写成乘方的形式是 ．
【分析】根据有理数的乘方解决此题．
【解答】解：根据有理数的乘方，；（）×（）×（）．
故答案为：，．
【变式1-2】（2022秋•泾阳县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．23表示2×3
B．﹣110读作“﹣1的10次幂”
C．（﹣5）2中﹣5是底数，2是指数
D．2×32的底数是2×3
【分析】根据幂的意义，底数和指数的定义即可得出答案．
【解答】解：A选项，23表示3个2相乘，故该选项不符合题意；
B选项，﹣110读作“1的10次幂的相反数”，故该选项不符合题意；
C选项，（﹣5）2中﹣5是底数，2是指数，故该选项符合题意；
D选项，2×32的底数是3，故该选项符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•顺平县期中）将写成幂的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理数的乘方解答即可．
【解答】解：将写成幂的形式为：，
故选：A．
【知识点2 有理数乘方的运算】
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【题型2 乘方的运算】
【例2】（2022春•宝山区校级月考）下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．﹣28与（﹣2）8B．（﹣3）7与﹣37
C．﹣3×23与﹣33×2D．﹣（﹣2）3与﹣（﹣3）2
【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：A选项，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故该选项不符合题意；
B选项，（﹣3）7＝﹣37，故该选项符合题意；
C选项，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故该选项不符合题意；
D选项，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-1】（2022秋•玉门市期末）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．32和 23B．﹣23 和（﹣2）3
C．﹣|23|和|﹣23|D．﹣32和（﹣3）2
【分析】根据有理数的乘方及绝对值的运算将四个选项中各数计算出来，再进行比较即可得出结论．
【解答】解：A、∵32＝9，23＝8，
∴32≠23；
B、∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣23＝（﹣2）3；
C、∵﹣|23|＝﹣8，|﹣23|＝8，
∴﹣|23|≠|﹣23|；
D、∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，
∴﹣32≠（﹣3）2．
故选：B．
【变式2-2】（2022•涞水县期末）设n是自然数，则的值为（ ）
A．1或﹣1B．0C．﹣1D．0或1
【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得．
【解答】解：若n为奇数，则n+2也是奇数，此时1；
若n为偶数，则n+2也为偶数，此时1；
故选：A．
【变式2-3】（2022•兰考县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣an和（﹣a）n一定不相等
B．﹣an和（﹣a）n一定互为相反数
C．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等
D．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、﹣an和（﹣a）n一定不相等，说法错误，例如当n＝0两者就相等；
B、﹣an和（﹣a）n一定互为相反数，说法错误，例如当n＝0时，两者就不是相反数；
C、当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等，说法正确，故本选项正确；
D、当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n不一定相等，例如当a＝1时，﹣an＝﹣1，（﹣a）n＝1，故本选项错误；
故选：C．
【知识点3 偶次乘方的非负性】
任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
【题型3 偶次乘方的非负性】
【例3】（2022春•诸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，则x+2y的值为（ ）
A．25B．﹣27C．﹣23D．27
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，
∴2x+1﹣y＝0，y﹣3x+4＝0，
解得：x＝5，y＝11，
故x+2y＝5+2×11＝27．
故选：D．
【变式3-1】（2022春•吉州区期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a2021•b2022的值为 ．
【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得a与b，再代入a2021•b2022求值．
【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，|2b﹣1|≥0，
∴当（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a﹣2＝0，2b﹣1＝0．
∴a＝2，b．
∴a2021•b2022．
故答案为：．
【变式3-2】（2022•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点
佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3
音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2
对于以上观点，则（ ）
A．佳佳和音音均正确B．佳佳正确，音音不正确
C．佳佳不正确，音音正确D．佳佳和音音均不正确
【分析】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可．
【解答】解：因为|a﹣1|≥0，
所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为﹣3；
因为（b+3）2≥0，
所以﹣（b+3）2≤0，
所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2，
所以佳佳不正确，音音正确，
故选：C．
【变式3-3】（2022•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：
①a2+（b+1）2总是正数； ②a2+b2+1总是正数；
③9+（a﹣b）2的最小值为9； ④1﹣（ab+1）2的最大值是0
其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．
【解答】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；
②a2+b2+1总是正数，正确；
③9+（a﹣b）2的最小值为9，正确；
④1﹣（ab+1）2的最大值是1，故此选项错误．
故选：B．
【知识点4 含乘方的混合运算】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【题型4 含乘方的混合运算】
【例4】（2022秋•沂水县期中）（1）计算：
①（3×5）2与32×52；
②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；
③[（﹣3）×（﹣4）]2与（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）根据以上计算结果猜想：（ab）2，（ab）3分别等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求（﹣8）2021×0.1252022的值．
【分析】（1）根据积的乘方的计算法则进行计算即可；
（2）根据（1）的计算结果，类推得出答案；
（3）利用乘方的意义进行计算即可；
（4）应用上述结论，将原式化为（﹣8×0.125）2021×0.125即可．
【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225；
②[（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36；
③∵[（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144，
∴[（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2；
（2）（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；
（3）（ab）n＝anbn，
理由如下：
（ab）n

＝anbn；
（4）原式＝（﹣8）2021×0.1252021×0.125
＝（﹣8×0.125）2021×0.125
＝（﹣1）2021×0.125
＝﹣0.125．
【变式4-1】（2022春•杨浦区校级期末）计算：．
【分析】先计算乘方和后面的乘法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：原式＝16
＝16


．
【变式4-2】（2022•庆阳期末）计算：．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：
＝﹣9[2+（﹣8）]﹣3×（﹣4）
＝﹣9（﹣6）+12
＝﹣9+（﹣4）+12
＝﹣1．
【变式4-3】（2022•越城区校级月考）计算：32÷（﹣22）×（﹣1）+（﹣5）6×（）3
【分析】先算乘方，再算除法和乘法，最后算加减即可；
【解答】解：原式＝32÷（﹣4）×（）+（﹣1）
＝10﹣1
＝9.
【题型5 含乘方的程序图运算】
【例5】（2022春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 4 ；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 4 ．
【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案．
【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4；
若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2，
∵﹣2＜0，
∴（﹣2）2×2﹣4＝4，
∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4，
故答案为：4，4．
【变式5-1】（2022•海州区期中）如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3时，则输出的值为 ．
【分析】由题意可得其运算程序为：﹣5x2+2，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：由题意得其运算程序为：﹣5x2+2，
当x＝﹣3时，有：
﹣5×（﹣3）2+2
＝﹣5×9+2
＝﹣45+2
＝﹣43．
故答案为：﹣43．
【变式5-2】（2022秋•胶州市期末）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ．
【分析】根据题意找出一般性规律，写出即可．
【解答】解：根据题意得：当输入的数据是n时，输出的数据为，
则当输入的数据是8时，输出的数据为，
故答案为：
【变式5-3】（2022•和平区期中）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72B．144C．288D．576
【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可．
【解答】解：把18输入得：18×||÷[﹣（）2]
＝18（）
＝﹣36＜100，
把﹣36输入得：﹣36×||÷[﹣（）2]
＝﹣36（）
＝72＜100，
把72输入得：72×||÷[﹣（）2]
＝72（）
＝﹣144＜100，
把﹣144输入得：﹣144×||÷[﹣（）2]
＝﹣144（）
＝288＞100，
则输出的数字为288．
故选：C．
【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】
【例6】（2022•呼伦贝尔）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 8 ．
【分析】首先观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，又由15÷4＝3…3，即可求得答案．
【解答】解：观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，
∵15÷4＝3…3，
∴215的个位数字是8．
故答案为：8．
【变式6-1】（2022•黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为 1 （结果用n表示）．
【分析】根据图中可知正方形的面积依次为，，．根据组合图形的面积计算可得．
【解答】解：1．
答：的值为1．
故答案为：1．
【变式6-2】（2020•莫旗一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+5+7+……+101＝（ ）
A．2601B．2501C．2400D．2419
【分析】观察图形和算式可得规律1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，得2n﹣1＝101，解得n＝51，进而可得结果．
【解答】解：观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
发现规律：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2
∵2n﹣1＝101，
解得n＝51，
∴1+3+5+7+……+101＝512＝2601．
故选：A．
【变式6-3】（2022•亭湖区校级月考）观察下面的等式：
32﹣12＝8＝8×1；
52﹣32＝16＝8×2：
72﹣52＝24＝8×3；
92﹣72＝32＝8×4
…
（1）请写出第5个等式；
（2）通过观察，你能发现什么规律？猜想并写出第n个等式；
（3）请利用上述规律计算1012﹣992的值．
【分析】（1）仿照已知等式确定出第5个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出第n个等式即可；
（3）根据上述规律确定出原式的值即可．
【解答】解：（1）112﹣92＝40＝8×5；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）根据题中的规律得：原式＝8×50＝400．
【题型7 乘方的应用规律】
【例7】（2022秋•下城区校级期中）某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后存活的个数是 65 个，经过n个小时后，细胞存活的个数为 （2n+1） 个（结果用含n的代数式表示）．
【分析】根据细胞分裂过程，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：按此规律，6小时后存活的个数是26+1＝65个，经过n个小时后，细胞存活的个数为（2n+1）个．
故答案为：65；（2n+1）．
【变式7-1】（2022•雁塔区校级期中）1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第8次后剩下的木棒长度是（ ）米
A．B．C．D．
【分析】根据有理数的乘方的定义列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，第8次后剩下的木棒的长度是（）8．
故选：D．
【变式7-2】（2022•黔东南州模拟）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：
（1）经过第3次捏合后，可以拉出 8 根细面条；
（2）到第 5 次捏合后可拉出32根细面条．
【分析】（1）根据图片信息，可以总结出规律，进而得出答案；
（2）根据25＝32，知道第5次捏合后可拉出32根细面条．
【解答】解：（1）第一次，可以拉出2根细面条，
第二次，可以拉出22根细面条，
第三次，可以拉出23根细面条，
∴第n次，可以拉出2n根细面条，
故答案为：8；
（2）∵25＝32，
∴第5次捏合后可拉出32根细面条，
故答案为：5．
【变式7-3】（2022秋•仪征市期中）看过《西游记》的同学一定很喜欢孙悟空，孙悟空的金箍棒能随意伸缩．假设它最短时只有1厘米，第1次变化后变成3厘米，第2次变化后变成9厘米，第3次变化后变成27厘米…照此规律变化下去，到第5次变化后金箍棒的长度是 2.43 米．
【分析】根据题意，每变化1次，长度扩大到原来的3倍，在第3次的基础上，扩大两次即可．
【解答】解：根据题意得：
第5次变化后金箍棒的长度为：27×3×3＝243（厘米）＝2.43（米），
故答案为：2.43．
【题型8 乘方应用中的新定义问题】
【例8】（2022•新化县模拟）定义：若10x＝N，则x＝lg10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为 1
【分析】根据对数的定义和运算法则化简即可得出答案．
【解答】解：原式＝lg2（lg2+lg5）+lg5
＝lg2×lg10+lg5
＝lg2+lg5
＝lg10
＝1．
故答案为：1．
【变式8-1】（2022•梁溪区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若n＝34，则第2022次“F运算”的结果是（ ）
A．16B．5C．4D．1
【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当n＝34时，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次运算的结果，发现循环规律即可解答．
【解答】解：由题意可知，当n＝34时，历次运算的结果是：
17，3×17+1＝52，，13×3+1＝40，5，3×5+1＝16，1，3×1+1＝4，，
故17→52→13→40→5→16→1→4→1…，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
∴当n＝34，第2022次“F运算”的结果是4．
故选：C．
【变式8-2】（2022•顺城区校级月考）[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓒ，读作“a的圈c次方”．
（1）[初步探究]直接写出计算结果：3③＝ ；（）⑤＝ ﹣8 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 C ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C.3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（3）[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，（﹣3）④＝ （）2 ；5⑥＝ （）4 ．
Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝ （）n﹣2 ；
Ⅲ．算一算：（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33．
【分析】【概念学习】
（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
【深入思考】
（3）Ⅰ．把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
Ⅱ．结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×（）n﹣1；
Ⅲ．将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【解答】解：【概念学习】
（1）3③＝3÷3÷3，
（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣8．
故答案为：，﹣8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；
C、3④＝3÷3÷3÷3，4③＝4÷4÷4，则 3④≠4③；所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
（3）【深入思考】
Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（）2；
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝（）4；
故答案为：（）2；（ ）4；
Ⅱ．aⓝ＝（）n﹣2；
故答案为：（）n﹣2；
Ⅲ．（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33．
＝（﹣3）2+（﹣2）3﹣（﹣3）4÷33
＝9+（﹣8）﹣81÷27
＝1﹣3
＝﹣2．
【变式8-3】（2022•花溪区一模）在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪榕筑花园小区利用如图①的建立了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d算式a×23+b×22+c×21+d×20的运算结果为该业主所居住房子的栋数号．例如，图②第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5栋住户，小敏家住在11栋，则表示他家的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找出a，b，c，d的值，再根据公式计算即可得出结论
【解答】解：A．第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，通过计算得1×23+0×22+0×21+1×20＝9，即可知该业主为9栋住户，此选项不符合题意；
B．第一行数字从左到右依次为1，0，1，1，通过计算得1×23+0×22+1×21+1×20＝11，即可知该业主为11栋住户，此选项符合题意；
C．第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5栋住户，此选项不符合题意；
D．第一行数字从左到右依次为1，1，0，1，通过计算得1×23+1×22+0×21+1×20＝13，即可知该业主为13栋住户，此选项符合题意；
故选：B．
【知识点5 科学记数法的表示】
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【题型9 科学记数法的表示】
【例9】（2022•日照）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据336905万用科学记数法表示为（ ）
A．0.336905×1010B．3.36905×1010
C．3.36905×109D．33.6905×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：336905万＝3369050000＝3.36905×109．
故选：C．
【变式9-1】（2022•湘西州）据统计，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试九年级考生报名人数约为35000人，其中数据35000用科学记数法表示为（ ）
A．35×103B．0.35×105C．350×102D．3.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：35000＝3.5×104．
故选：D．
【变式9-2】（2022春•馆陶县期末）某种颗粒每粒的质量为0.00000037克，500粒此种颗粒的质量用科学记数法可以表示为a×10n克，则n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000037×500＝0.0000185＝1.85×10﹣5，
故选：A．
【变式9-3】（2022•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（ ）
A．14280.2万大约是1.4亿
B．14280.2万大约是1.4×108
C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104
D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：A、14280.2万大约是1.4亿，故本选项不合题意；
B、14280.2万大约是1.4×108，故本选项不合题意；
C、14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故本选项符合题意；
D、14280.2万＝142802000＝1.42802×108．故本选项不合题意；
故选：C．
【知识点7 近似数的表示】
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.．
【题型10 近似数的表示】
【例10】（2022•济宁）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015B．0.016C．0.01D．0.02
【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可．
【解答】解：0.0158≈0.016，
故选：B．
【变式10-1】（2022•长沙模拟）用四舍五入法把某数取近似值为4.8×10﹣3，精确度正确的是（ ）
A．精确到万分位B．精确到千分位
C．精确到0.01D．精确到0.1
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：4.8×10﹣3＝0.0048，近似数4.8×10﹣3精确到万分位．
故选：A．
【变式10-2】（2022秋•南阳期末）下列对近似数的叙述不正确的是（ ）
A．用四舍五入法对270.18（精确到个位）取近似值为270
B．用四舍五入法对0.518（精确到0.01）取近似值为0.52
C．由四舍五入法得到的近似数42.3万是精确到万位
D．由四舍五入法得到的近似数0.185是精确到千分位
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A、用四舍五入法对270.18（精确到个位）取近似值为270，所以A选项的说法正确；
B、四舍五入法对0.518（精确到0.01）取近似值为0.52，所以B选项的说法正确；
C、由四舍五入法得到的近似数42.3万是精确到千位，所以C选项的说法不正确；
D、由四舍五入法得到的近似数0.185是精确到千分位，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【变式10-3】（2022春•杨浦区校级期末）根据最新的上海市国民经济和社会发展统计公报，全市目前常住人口约为2489.43万人，用科学记数法保留三个有效数字表可表示为 2.49×107 人．
【分析】把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．
【解答】解：2489.43万＝2489.43×104≈2.49×107．
故答案为：2.49×107．输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…





…
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…





…