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沪科版七年级上册4.4 角课后练习题
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这是一份沪科版七年级上册4.4 角课后练习题，共28页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（山东省烟台市莱州市2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
2．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
4．（3分）（辽宁省本溪市本溪满族自治县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
5．（3分）（山东省烟台市蓬莱区2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
6．（3分）（江西省景德镇市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）已知，互补，那么与之间的关系是（ ）
A．和为45°B．差为45°C．互余D．差为90°
7．（3分）（浙江省金华市义乌市义乌市稠江中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4B．6或8C．6D．8
8．（3分）（河南省商丘市柘城县实验中学2022-2023学年上期七年级数学期末第一次模拟检测试卷）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55°B．65°
C．70°D．以上结论都不对
9．（3分）（广西钦州市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A．B．C．或D．或
10．（3分）（湖北省武汉市武汉六中上智中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数=____．
12．（3分）（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2022-2023学年七年级上学期9月份数学（五四制）巩固练习试卷）如图直线与直线相交于点，平分，，则的度数为___________°．
13．（3分）（湖北省鄂州市鄂城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．
14．（3分）（广东省惠州市龙门县平陵中学2022-2023学年七年级上学期期中数学模拟试卷）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 _____．
15．（3分）（河南省平顶山市汝州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝________cm．
16．（3分）（黑龙江省尚志市田家炳中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（山西省临汾市翼城县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
18．（6分）（贵州省遵义市播州区新蓝学校2022-2023学年七年级上学期第三次月考数学试题）如图，已知B、C在线段AD上．
(1)图中共有_____条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
19．（8分）（河南省滑县2022-2023学年七年级上学期期末测试（开学）数学试题）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，，OD是∠AOC内部的一条射线，，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；
（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．，，射线OE平分∠AOC．当时，则∠DOE的度数为 ．（用含的代数式表示）
20．（8分）（山西省临汾市2022-2023学年七年级上学期阶段评估二（月考）数学试题）综合与探究
已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)若M为线段的中点，N为线段的中点．
①如图2，当线段在线段上时，求线段的长；
②当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由．
21．（8分）（河北省保定市高阳县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
22．（8分）（福建省泉州市泉州第五中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
23．（8分）（云南省曲靖市麒麟区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
第4章 直线与角章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（山东省烟台市莱州市2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
2．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用角的大小进行比较，即可完成解答.
【详解】解：因为射线OC在∠A0B的内部，那么∠AOC在∠A0B的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB>∠AOC.
故选D
【点睛】本题考查角的大小比较，关键是找到正确的比较方法.
3．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．
【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．
4．（3分）（辽宁省本溪市本溪满族自治县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
【答案】C
【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，
当A、B、C三点不在在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．
5．（3分）（山东省烟台市蓬莱区2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时
2t+=8
解得t=，
当点P在B点左侧时
2t-=8
解得t=
所以t=或t=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
6．（3分）（江西省景德镇市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）已知，互补，那么与之间的关系是（ ）
A．和为45°B．差为45°C．互余D．差为90°
【答案】C
【分析】由条件可得把代入可得从而可得答案．
【详解】解： ，互补，
与互余，
故选C
【点睛】本题考查的是互余，互补的两个角之间的关系，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键．
7．（3分）（浙江省金华市义乌市义乌市稠江中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4B．6或8C．6D．8
【答案】B
【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．
【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2，
∴ CD=2BD=4，
∵ AD=9，
∴ AC=AD−CD=9−4=5；
① 若E在线段DA的延长线，如图1，
∵ EA=1，AD=9，
∴ ED=EA+AD=1+9=10，
∵ BD=2，
∴ BE=ED−BD=10−2=8，
② 若E线段AD上,如图2，
EA=1，AD=9，
∴ ED=AD−EA=9−1=8，
∵BD=2，
∴ BE=ED−BD=8−2=6，
综上所述，BE的长为8或6．
【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键．
8．（3分）（河南省商丘市柘城县实验中学2022-2023学年上期七年级数学期末第一次模拟检测试卷）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55°B．65°
C．70°D．以上结论都不对
【答案】B
【详解】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动×30°=5°，4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°=65°．
故选B．
点睛：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
9．（3分）（广西钦州市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【详解】解：分两种情况：
①如图平分时，，
即，
解得；
②如图平分时，，
即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
10．（3分）（湖北省武汉市武汉六中上智中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数=____．
【答案】142.5°或127.5°
【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．
【详解】解：∵|∠BOD|＝30°，
∴∠BOD＝±30°，
当∠BOD-∠BOC=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOD-∠BOC=30°，
∴∠BOC=∠BOD-30°，
∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=105°，
∴∠BOC=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=37.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．
当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOC-∠BOD=30°，
∴∠BOD=∠BOC-30°，
∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，
∴∠BOC=105°，
∴∠BOD=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=52.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，
综上：∠COE=142.5°或127.5°，
故答案为：142.5°或127.5°．
【点睛】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．
12．（3分）（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2022-2023学年七年级上学期9月份数学（五四制）巩固练习试卷）如图直线与直线相交于点，平分，，则的度数为___________°．
【答案】
【分析】利用邻补角求得，再利用角平分线的定义得，再利用对顶角性质得，最后求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，以及角平分线定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
13．（3分）（湖北省鄂州市鄂城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．
【答案】 10 450°
【分析】先找到小于或等于90度的角，然后计算它们的度数和即可．
【详解】解：由题意得小于或等于90度的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，一共10个角，
∴∠∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE
，
∵∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，
∴原式=450°，
故答案为：10；450°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，正确理清角之间的关系是解题的关键．
14．（3分）（广东省惠州市龙门县平陵中学2022-2023学年七年级上学期期中数学模拟试卷）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 _____．
【答案】12cm或3cm##3cm或12cm
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．
【详解】解：如图，
∵AP：PB＝1：3，
∴2AP＝PB＜PB，
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝18cm，
∴三段绳子中最短的一段的长为：2AP＝＝12（cm）；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝18cm，
∴PB＝9cm，
∴AP＝＝3（cm），
故答案为：12cm或3cm
【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键．
15．（3分）（河南省平顶山市汝州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝________cm．
【答案】3或9
【分析】根据题意分两种情况讨论：当点P在线段MN之间时；当点P在MN的延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段MN之间时，
根据题意可得：cm，
cm；
当点P在MN的延长线上时，如图所示：
根据题意得：MN=6cm，cm，
∴cm；
故答案为：3或9．
【点睛】题目主要考查线段的和差计算，理解题目中新定义的“半距点”是解题关键．
16．（3分）（黑龙江省尚志市田家炳中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
【答案】
【分析】先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数.
【详解】∵，，
∴ ，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=，
∵∠COE=∠COD+∠DOE，且，
∴,
∴,
∴,
∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE，
∴∠BOE=3∠DOE=
故答案为：.
【点睛】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（山西省临汾市翼城县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD
【分析】（1）画直线AB即可；
（2）画∠BAC即可；
（3）画线段BC即可；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；
（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．
【详解】解：
如图所示：
（1）直线AB即为所求作的图形；
（2）∠BAC即为所求作的图形；
（3）线段BC即为所求作的图形；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；
（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．
【点睛】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．
18．（6分）（贵州省遵义市播州区新蓝学校2022-2023学年七年级上学期第三次月考数学试题）如图，已知B、C在线段AD上．
(1)图中共有_____条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
【答案】(1)6
(2)①=；②AD＝20cm
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；
（1）
图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）
①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵BD＝4AB，AB＝CD，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AD＝AB+BD
＝4+4×4
＝20（cm），
【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
19．（8分）（河南省滑县2022-2023学年七年级上学期期末测试（开学）数学试题）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，，OD是∠AOC内部的一条射线，，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；
（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．，，射线OE平分∠AOC．当时，则∠DOE的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】（1）40°；（2）2α或6α
【分析】（1）先根据∠AOC：∠BOC=8：1，求出∠BOC和∠AOC，再根据∠COD=2∠COB，求出∠COD，再根据OE平分∠AOC求出∠COE，从而可得∠DOE；
（2）分情况画出图形，依据（1）中的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵点A、O、B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，
∴∠BOC=20°，∠AOC=160°．
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=40°，
∴∠AOD=180°-∠COB-∠COD=120°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=80°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=40°；
（2）当OD在∠AOB内部时，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，
∴∠AOC=8α，
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=2α，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=6α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=2α；
当OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，
∴∠AOC=8α，
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=2α，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=10α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=6α，
故答案：2α或6α．
【点睛】本题考查了角的计算、列代数式、角平分线定义，解决本题的关键是分两种情况进行计算．
20．（8分）（山西省临汾市2022-2023学年七年级上学期阶段评估二（月考）数学试题）综合与探究
已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)若M为线段的中点，N为线段的中点．
①如图2，当线段在线段上时，求线段的长；
②当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①10；②线段MN的长不发生变化为定值10，理由见解析
【分析】（1）先根据求出，BC=10，再根据线段中点的定义求出CP的长，进而求出CQ的长即可得到答案；
（2）①先根据线段中点的定义得到AP=2PM，BQ=2QN，再推出AP+BQ=10得到，PM+QN=5，则MN=PM+PQ+QN=10；②分图2-1和图2-2两种情形先求解，同理可证其他情形下MN也为定值10．
（1）
解：∵，即，
∴，
∴，
∴BC=10，
∵P是线段AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：①∵M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点，
∴AP=2PM，BQ=2QN，
∵AB=AP+PQ+BQ=15，PQ=5，
∴AP+BQ=10，
∴2PM+2QN=10，
∴PM+QN=5，
∴MN=PM+PQ+QN=10；
②线段MN的长不发生变化为定值10，理由如下：
如图2-1所示，当点M在AB之间，点N在PQ之间，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴；
如图2-2所示，当点M在AB之间，点N在BP之间时，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可证线段PQ在AB延长线上的其他所有情形下，MN=10，
综上所述，线段MN的长不发生变化为定值10．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．
21．（8分）（河北省保定市高阳县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)∠BOD=50°；∠COE=70°
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
（1）
解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）
如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）
∠COE-∠BOD=20°
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
22．（8分）（福建省泉州市泉州第五中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
【答案】（1），；（2）①；②或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得；
（2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以；
（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）根据题意知，，，
，，
，
，，
故答案为：，；
（2）①根据、的运动速度知：，
，
，即，
，
，
；
②当点在线段上时，如图，
，
又，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
，
又，
，
；
综上所述：或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
23．（8分）（云南省曲靖市麒麟区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①的度数为；②见解析；
(2)或．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可．
（1）
解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）
解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①+②×2可得：，
综上所述：或．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（山东省烟台市莱州市2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
2．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
4．（3分）（辽宁省本溪市本溪满族自治县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
5．（3分）（山东省烟台市蓬莱区2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
6．（3分）（江西省景德镇市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）已知，互补，那么与之间的关系是（ ）
A．和为45°B．差为45°C．互余D．差为90°
7．（3分）（浙江省金华市义乌市义乌市稠江中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4B．6或8C．6D．8
8．（3分）（河南省商丘市柘城县实验中学2022-2023学年上期七年级数学期末第一次模拟检测试卷）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55°B．65°
C．70°D．以上结论都不对
9．（3分）（广西钦州市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A．B．C．或D．或
10．（3分）（湖北省武汉市武汉六中上智中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数=____．
12．（3分）（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2022-2023学年七年级上学期9月份数学（五四制）巩固练习试卷）如图直线与直线相交于点，平分，，则的度数为___________°．
13．（3分）（湖北省鄂州市鄂城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．
14．（3分）（广东省惠州市龙门县平陵中学2022-2023学年七年级上学期期中数学模拟试卷）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 _____．
15．（3分）（河南省平顶山市汝州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝________cm．
16．（3分）（黑龙江省尚志市田家炳中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（山西省临汾市翼城县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
18．（6分）（贵州省遵义市播州区新蓝学校2022-2023学年七年级上学期第三次月考数学试题）如图，已知B、C在线段AD上．
(1)图中共有_____条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
19．（8分）（河南省滑县2022-2023学年七年级上学期期末测试（开学）数学试题）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，，OD是∠AOC内部的一条射线，，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；
（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．，，射线OE平分∠AOC．当时，则∠DOE的度数为 ．（用含的代数式表示）
20．（8分）（山西省临汾市2022-2023学年七年级上学期阶段评估二（月考）数学试题）综合与探究
已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)若M为线段的中点，N为线段的中点．
①如图2，当线段在线段上时，求线段的长；
②当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由．
21．（8分）（河北省保定市高阳县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
22．（8分）（福建省泉州市泉州第五中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
23．（8分）（云南省曲靖市麒麟区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
第4章 直线与角章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（山东省烟台市莱州市2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
2．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用角的大小进行比较，即可完成解答.
【详解】解：因为射线OC在∠A0B的内部，那么∠AOC在∠A0B的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB>∠AOC.
故选D
【点睛】本题考查角的大小比较，关键是找到正确的比较方法.
3．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【答案】D
【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．
【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°
0.25°＝0.25×60′＝15′，
∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，
∴∠A＞∠B＞∠C
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．
4．（3分）（辽宁省本溪市本溪满族自治县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
【答案】C
【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，
当A、B、C三点不在在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．
5．（3分）（山东省烟台市蓬莱区2022-2023学年六年级下学期期中数学试题）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时
2t+=8
解得t=，
当点P在B点左侧时
2t-=8
解得t=
所以t=或t=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
6．（3分）（江西省景德镇市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）已知，互补，那么与之间的关系是（ ）
A．和为45°B．差为45°C．互余D．差为90°
【答案】C
【分析】由条件可得把代入可得从而可得答案．
【详解】解： ，互补，
与互余，
故选C
【点睛】本题考查的是互余，互补的两个角之间的关系，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键．
7．（3分）（浙江省金华市义乌市义乌市稠江中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（ ）
A．4B．6或8C．6D．8
【答案】B
【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．
【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2，
∴ CD=2BD=4，
∵ AD=9，
∴ AC=AD−CD=9−4=5；
① 若E在线段DA的延长线，如图1，
∵ EA=1，AD=9，
∴ ED=EA+AD=1+9=10，
∵ BD=2，
∴ BE=ED−BD=10−2=8，
② 若E线段AD上,如图2，
EA=1，AD=9，
∴ ED=AD−EA=9−1=8，
∵BD=2，
∴ BE=ED−BD=8−2=6，
综上所述，BE的长为8或6．
【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键．
8．（3分）（河南省商丘市柘城县实验中学2022-2023学年上期七年级数学期末第一次模拟检测试卷）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55°B．65°
C．70°D．以上结论都不对
【答案】B
【详解】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动×30°=5°，4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°=65°．
故选B．
点睛：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
9．（3分）（广西钦州市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【详解】解：分两种情况：
①如图平分时，，
即，
解得；
②如图平分时，，
即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
10．（3分）（湖北省武汉市武汉六中上智中学2022-2023学年七年级上学期12月月考数学试题）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（四川省绵阳市三台县博强蜀东外国语学校2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD|＝30°，∠COE的度数=____．
【答案】142.5°或127.5°
【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．
【详解】解：∵|∠BOD|＝30°，
∴∠BOD＝±30°，
当∠BOD-∠BOC=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOD-∠BOC=30°，
∴∠BOC=∠BOD-30°，
∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=105°，
∴∠BOC=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=37.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．
当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，
∵∠BOC与∠BOD是邻补角，
∴∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠BOC-∠BOD=30°，
∴∠BOD=∠BOC-30°，
∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，
∴∠BOC=105°，
∴∠BOD=105°-30°=75°，
∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=52.5°，
∵∠COE=∠AOC+∠AOE，
∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，
综上：∠COE=142.5°或127.5°，
故答案为：142.5°或127.5°．
【点睛】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．
12．（3分）（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2022-2023学年七年级上学期9月份数学（五四制）巩固练习试卷）如图直线与直线相交于点，平分，，则的度数为___________°．
【答案】
【分析】利用邻补角求得，再利用角平分线的定义得，再利用对顶角性质得，最后求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，以及角平分线定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
13．（3分）（湖北省鄂州市鄂城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．
【答案】 10 450°
【分析】先找到小于或等于90度的角，然后计算它们的度数和即可．
【详解】解：由题意得小于或等于90度的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，一共10个角，
∴∠∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE
，
∵∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，
∴原式=450°，
故答案为：10；450°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，正确理清角之间的关系是解题的关键．
14．（3分）（广东省惠州市龙门县平陵中学2022-2023学年七年级上学期期中数学模拟试卷）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 _____．
【答案】12cm或3cm##3cm或12cm
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．
【详解】解：如图，
∵AP：PB＝1：3，
∴2AP＝PB＜PB，
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝18cm，
∴三段绳子中最短的一段的长为：2AP＝＝12（cm）；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝18cm，
∴PB＝9cm，
∴AP＝＝3（cm），
故答案为：12cm或3cm
【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键．
15．（3分）（河南省平顶山市汝州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝________cm．
【答案】3或9
【分析】根据题意分两种情况讨论：当点P在线段MN之间时；当点P在MN的延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段MN之间时，
根据题意可得：cm，
cm；
当点P在MN的延长线上时，如图所示：
根据题意得：MN=6cm，cm，
∴cm；
故答案为：3或9．
【点睛】题目主要考查线段的和差计算，理解题目中新定义的“半距点”是解题关键．
16．（3分）（黑龙江省尚志市田家炳中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)
【答案】
【分析】先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数.
【详解】∵，，
∴ ，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=，
∵∠COE=∠COD+∠DOE，且，
∴,
∴,
∴,
∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE，
∴∠BOE=3∠DOE=
故答案为：.
【点睛】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（山西省临汾市翼城县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段 的长度﹒
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD
【分析】（1）画直线AB即可；
（2）画∠BAC即可；
（3）画线段BC即可；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；
（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．
【详解】解：
如图所示：
（1）直线AB即为所求作的图形；
（2）∠BAC即为所求作的图形；
（3）线段BC即为所求作的图形；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；
（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．
【点睛】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．
18．（6分）（贵州省遵义市播州区新蓝学校2022-2023学年七年级上学期第三次月考数学试题）如图，已知B、C在线段AD上．
(1)图中共有_____条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
【答案】(1)6
(2)①=；②AD＝20cm
【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；
（1）
图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）
①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵BD＝4AB，AB＝CD，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AD＝AB+BD
＝4+4×4
＝20（cm），
【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
19．（8分）（河南省滑县2022-2023学年七年级上学期期末测试（开学）数学试题）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，，OD是∠AOC内部的一条射线，，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；
（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．，，射线OE平分∠AOC．当时，则∠DOE的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】（1）40°；（2）2α或6α
【分析】（1）先根据∠AOC：∠BOC=8：1，求出∠BOC和∠AOC，再根据∠COD=2∠COB，求出∠COD，再根据OE平分∠AOC求出∠COE，从而可得∠DOE；
（2）分情况画出图形，依据（1）中的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵点A、O、B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，
∴∠BOC=20°，∠AOC=160°．
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=40°，
∴∠AOD=180°-∠COB-∠COD=120°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=80°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=40°；
（2）当OD在∠AOB内部时，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，
∴∠AOC=8α，
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=2α，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=6α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=2α；
当OD在∠AOB外部时，
∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，
∴∠AOC=8α，
∵∠COD=2∠COB，
∴∠COD=2α，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=10α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=6α，
故答案：2α或6α．
【点睛】本题考查了角的计算、列代数式、角平分线定义，解决本题的关键是分两种情况进行计算．
20．（8分）（山西省临汾市2022-2023学年七年级上学期阶段评估二（月考）数学试题）综合与探究
已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)若M为线段的中点，N为线段的中点．
①如图2，当线段在线段上时，求线段的长；
②当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①10；②线段MN的长不发生变化为定值10，理由见解析
【分析】（1）先根据求出，BC=10，再根据线段中点的定义求出CP的长，进而求出CQ的长即可得到答案；
（2）①先根据线段中点的定义得到AP=2PM，BQ=2QN，再推出AP+BQ=10得到，PM+QN=5，则MN=PM+PQ+QN=10；②分图2-1和图2-2两种情形先求解，同理可证其他情形下MN也为定值10．
（1）
解：∵，即，
∴，
∴，
∴BC=10，
∵P是线段AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：①∵M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点，
∴AP=2PM，BQ=2QN，
∵AB=AP+PQ+BQ=15，PQ=5，
∴AP+BQ=10，
∴2PM+2QN=10，
∴PM+QN=5，
∴MN=PM+PQ+QN=10；
②线段MN的长不发生变化为定值10，理由如下：
如图2-1所示，当点M在AB之间，点N在PQ之间，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴；
如图2-2所示，当点M在AB之间，点N在BP之间时，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可证线段PQ在AB延长线上的其他所有情形下，MN=10，
综上所述，线段MN的长不发生变化为定值10．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．
21．（8分）（河北省保定市高阳县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)∠BOD=50°；∠COE=70°
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．
（1）
解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）
如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）
∠COE-∠BOD=20°
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
22．（8分）（福建省泉州市泉州第五中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
【答案】（1），；（2）①；②或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得；
（2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以；
（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）根据题意知，，，
，，
，
，，
故答案为：，；
（2）①根据、的运动速度知：，
，
，即，
，
，
；
②当点在线段上时，如图，
，
又，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
，
又，
，
；
综上所述：或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
23．（8分）（云南省曲靖市麒麟区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①的度数为；②见解析；
(2)或．
【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可．
（1）
解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）
解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①+②×2可得：，
综上所述：或．
【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．
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