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沪科版七年级上册1.4 有理数的加减课时练习
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这是一份沪科版七年级上册1.4 有理数的加减课时练习，共25页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc3509" 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 PAGEREF _Tc3509 \h 1
\l "_Tc9479" 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 PAGEREF _Tc9479 \h 2
\l "_Tc7819" 【题型3 有理数加减法的混合运算】 PAGEREF _Tc7819 \h 3
\l "_Tc14726" 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc14726 \h 4
\l "_Tc16436" 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 PAGEREF _Tc16436 \h 4
\l "_Tc6845" 【题型6 有理数加减法的实际应用】 PAGEREF _Tc6845 \h 5
\l "_Tc7957" 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc7957 \h 7
【知识点1 有理数加法的法则】
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数．
【知识点2 有理数减法的法则】
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【题型1 有理数加减法则概念辨析】
【例1】（2022春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ）
A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
B．异号两数相加，绝对值相等时和为0
C．互为相反数的两数相加得0
D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号
【变式1-1】（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2021秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ）
A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，那么|a|＞|b|
B．如果a＜0，b＞0，那么a﹣b＜0
C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0
D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0
【变式1-3】（2021秋•信都区月考）下面两个结论：
甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；
乙：两数之和至少大于其中一个加数．
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙均错误
【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】
【例2】（2021秋•瑶海区期中）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2021秋•东昌府区期中）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b，⑤|a﹣b|＝a﹣b，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-2】（2022秋•玉州区期末）已知点A，B，C在数轴上示的数分别为a，b，c，点C为AB的中点，b＜0＜a且a+b＞0则下列结论中，其中正确的个数有（ ）
①a﹣b＞0
②|a|＞|b|＞|c|
③b﹣c＜0
④a+b＝2c
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-3】（2021秋•镇平县月考）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③；④﹣n﹣m＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型3 有理数加减法的混合运算】
【例3】（2021春•肥乡区月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式3-1】（2021秋•镇平县月考）计算．
（1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7；
（2）0（）+（）+2；
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；
（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣9）+（+5）+（﹣4）．
【变式3-2】（2022秋•沙县校级月考）计算：
（1）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）；
（2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3；
（3）；
（4）3（+2）+（﹣1）．
【变式3-3】（2022秋•桐柏县月考）计算：
（1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）；
（2）．
（3）15（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）．
（4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7．
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]．
【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】
【例4】（2021秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
【变式4-1】（2021秋•峡江县期末）若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值．
【变式4-2】（2021秋•长汀县校级月考）已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【变式4-3】（2022春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．
【题型5 有理数加减法中的规律计算】
【例5】（2021秋•旌阳区校级月考）（1）请观察下列算式：1，，，，…，
则第10个算式为 ＝ ，
第n个算式为 ＝ ；
（2）运用以上规律计算：．
【变式5-1】（2021秋•河南月考）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：
（1）化简|（﹣2）﹣1|；
（2）化简|3.14﹣π|的结果是 ；
（3）求的值．
【变式5-2】（2021秋•嘉祥县期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）]
上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算：
（1）；
（2）．
【变式5-3】（2022秋•青羊区校级期中）计算与化简：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
【题型6 有理数加减法的实际应用】
【例6】（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【变式6-1】（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【变式6-2】（2021秋•芗城区校级期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11．
（1）求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？
（2）行驶1千米耗油0.5升，则这次巡视共耗油多少升？
（3）若领导在这6个巡视点发放苹果慰问品．以50kg为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这6个巡视点的苹果重量记为1.1，﹣2.2，﹣3.7，3，﹣1.8，2.9（单位：kg），求发放苹果的总重量．
【变式6-3】（2021秋•青岛期中）2021年7月，我国河南省由于受台风灯因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑．
下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况单位：（米）
（注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“﹣”表示比警戒水位低）
（1）该水库本周水位最高的一天是星期 ，这一天的实际水位是 米．
（2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“﹣”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米）
（3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【题型7 有理数加减法中的新定义问题】
【例7】（2022春•龙岩期中）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（ ）
A．4mB．4m+4nC．4nD．4m﹣4n
【变式7-1】（2021秋•邓州市期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和4关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
【变式7-2】（2021秋•永春县期中）设[a]表示不超过a的最大整数，例如：．
（1）填空： ；[3.6]＝ ．
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
【变式7-3】（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
专题1.3 有理数的加减【七大题型】
【沪科版】
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TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc3509" 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 PAGEREF _Tc3509 \h 1
\l "_Tc9479" 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 PAGEREF _Tc9479 \h 3
\l "_Tc7819" 【题型3 有理数加减法的混合运算】 PAGEREF _Tc7819 \h 5
\l "_Tc14726" 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc14726 \h 9
\l "_Tc16436" 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 PAGEREF _Tc16436 \h 11
\l "_Tc6845" 【题型6 有理数加减法的实际应用】 PAGEREF _Tc6845 \h 14
\l "_Tc7957" 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc7957 \h 17
【知识点1 有理数加法的法则】
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数．
【知识点2 有理数减法的法则】
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【题型1 有理数加减法则概念辨析】
【例1】（2022春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ）
A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
B．异号两数相加，绝对值相等时和为0
C．互为相反数的两数相加得0
D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号
【分析】根据有理数的加法法则判断即可．
【解答】解：A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；
B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意；
C选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意；
D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用有理数的加法及减法法则及数轴的性质判断即可．
【解答】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．正确，
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确，
（3）零减去一个数不一定是负数，如0﹣（﹣3）＝3，故不正确，
（4）正数减负数一定是正数．如3﹣（﹣4）＝7，故不正确，
（5）数轴上原点两侧的数不一定互为相反数，如5和﹣4，不是互为相反数．不正确．
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ）
A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，那么|a|＞|b|
B．如果a＜0，b＞0，那么a﹣b＜0
C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0
D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0
【分析】A，根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断；
B，一个负数减去一个正数结果是负；
C，两个负数相加结果才是负数；
D，a﹣b＝a+（﹣b），根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断．
【解答】解：A：如果a＞0，b＜0且a+b＞0，则|a|＞|b|，正确，∴不符合题意；
B：一个负数减去一个正数等于一个负数加一个负数结果是负，正确，∴不符合题意；
C：如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＜0，b＜0，错误，∴符合题意；
D：∵a﹣b＝a+（﹣b），a＜0，b＜0
∴﹣b＞0，
∵|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0
正确，∴不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2021秋•信都区月考）下面两个结论：
甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；
乙：两数之和至少大于其中一个加数．
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙均错误
【分析】可以通过举例说明题干是否正确．
【解答】解：两数之和为负，至少有一个加数为负，所以甲正确；
两数之和至少大于其中一个加数，
如，﹣2+（﹣3）＝﹣5，
﹣5＜﹣2，﹣5＜﹣3，
所以乙不正确．
故选：B．
【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】
【例2】（2021秋•瑶海区期中）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据a＜|a|判断①；根据|a|＞0，b＞0判断②；根据有理数的加法法则判断③；根据有理数的减法法则判断④．
【解答】解：∵a＜|a|，
∴a＜0，故①符合题意；
由题意可知：|a|＞0，b＞0，
∴|a|＜|b|，故②不符合题意；
∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故③符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有3个，
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•东昌府区期中）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b，⑤|a﹣b|＝a﹣b，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】先根据a，b在数轴上的位置得到a，b的符号，以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则及不等式的性质进行判断．
【解答】解：根据数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴a+b＜0，故①正确；
a﹣b＞0，故②错误；
a＜|b|，故③正确；
﹣a＜﹣b，故④错误；
|a﹣b|＝a﹣b，故⑤正确；
故正确的有3个．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•玉州区期末）已知点A，B，C在数轴上示的数分别为a，b，c，点C为AB的中点，b＜0＜a且a+b＞0则下列结论中，其中正确的个数有（ ）
①a﹣b＞0
②|a|＞|b|＞|c|
③b﹣c＜0
④a+b＝2c
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据数轴上点的与原点的距离以及线段中点的定义即可求解．
【解答】解：∵b＜0＜a且a+b＞0
∴①a﹣b＞0，正确；
②|a|＞|b|，但是|b|不一定大于|c|；
③b﹣c＜0，正确；
④a+b＝2c，故原说法正确．
∴正确的有①③④共3个．
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•镇平县月考）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③；④﹣n﹣m＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据数轴得出n＜0＜m，|n|＞|m|，再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴知，n＜0＜m，|n|＞|m|，
∴m+n＜0，n﹣m＜0，，﹣n﹣m＞0，
∴正确的有：①③④共3个．
故选：C．
【题型3 有理数加减法的混合运算】
【例3】（2021春•肥乡区月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先去括号和求绝对值，再根据有理数的加法进行计算即可得到答案．
（2）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；
（3）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；
（4）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
【变式3-1】（2021秋•镇平县月考）计算．
（1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7；
（2）0（）+（）+2；
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；
（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣9）+（+5）+（﹣4）．
【分析】（1）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（2）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（3）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（4）利用加法的运算律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）+9+7
＝[（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）]+（9+7）
＝（﹣22）+16
＝﹣6；
（2）原式＝0+（）（）+2
＝[（）+（）]2
＝（﹣1）+3
＝2；
（3）原式1（﹣2）+2
1（﹣22）
（﹣1）
（﹣1）
；
（4）原式＝（﹣3）+4（﹣9）+54
＝[（﹣3）+（﹣9）]+（45）﹣4
＝（﹣13）+10﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
【变式3-2】（2022秋•沙县校级月考）计算：
（1）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）；
（2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3；
（3）；
（4）3（+2）+（﹣1）．
【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将（﹣18.35）与（﹣3.65），（﹣18.15）与（+6.15）结合先进行计算即可；
（2）将正数、负数分别结合在一起先计算即可；
（3）将分母相同的分数结合在一起先计算即可；
（4）将分母相同的分数结合在一起先计算，使运算简单．
【解答】解：（1）原式＝[（﹣18.35）+（﹣3.65）]+[（﹣18.15）+（+6.15）]
＝（﹣22）+（﹣12）
＝﹣34；
（2）原式＝9﹣10﹣2+8+3
＝9+8+3﹣（10+2）
＝20﹣12
＝8；
（3）原式＝[（﹣3）+（﹣6）]+[（+15.5）+（﹣5）]
＝﹣10+10
＝0；
（4）原式＝32（1）
＝11
．
【变式3-3】（2022秋•桐柏县月考）计算：
（1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）；
（2）．
（3）15（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）．
（4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7．
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]．
【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法结合律计算即可；
（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（3）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（4）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（5）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣4+9﹣5
＝﹣（7+4+5）+9
＝﹣7，
（2）原式
＝（）+（）
＝0+（﹣1）
，
（3）原式＝﹣91532215
＝（﹣915）+（153）﹣22
＝﹣25+1222
＝﹣35，
（4）原式＝（﹣8.4﹣4.2）+（10+5.7）
＝﹣12.6+15.7
＝3.1，
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]
＝4（8.6﹣32）
＝48.6+32
＝（43）+（812）
＝1+4
＝5．
【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】
【例4】（2021秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
【分析】（1）确定x、y的值，代入计算即可；
（2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，
∴x+y＝3+（﹣2）＝1；
所以x+y的值为1；
（2）由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，
或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．
【变式4-1】（2021秋•峡江县期末）若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值．
【分析】根据绝对值的意义先求出x，y的值，然后代入即可．
【解答】解：∵|x﹣2|＝5，|y|＝4，
∴x＝7或﹣3，y＝±4．
又x＞y，
∴x＝7，y＝±4或x＝﹣3，y＝﹣4．
当x＝7，y＝4时，x﹣y＝3；
当x＝7，y＝﹣4时，x﹣y＝11；
当x＝﹣3，y＝﹣4时，x﹣y＝1．
综上x﹣y的值为：3或11或1．
【变式4-2】（2021秋•长汀县校级月考）已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|a|＝6.3，|b|＝3.5，
∴a＝±6.3，b＝±3.5，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a≤b，
∴当a＝﹣6.3，b＝3.5时，a+b＝﹣6.3+3.5＝﹣2.8；
当a＝﹣6.3，b＝﹣3.5时，a+b＝﹣6.3+（﹣3.5）＝﹣9.8；
∴a+b的值为﹣2.8或﹣9.8．
【变式4-3】（2022春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．
【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，
∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，
∴a+b≤0，b+c≥0，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，
∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，
a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．
【题型5 有理数加减法中的规律计算】
【例5】（2021秋•旌阳区校级月考）（1）请观察下列算式：1，，，，…，
则第10个算式为 ＝ ，
第n个算式为 ＝ ；
（2）运用以上规律计算：．
【分析】（1）直接将分数拆项变形即可；
（2）原式拆项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）第10个算式为，
第n个算式为 ；
（2）
＝1
＝1
．
故答案为：，；，．
【变式5-1】（2021秋•河南月考）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：
（1）化简|（﹣2）﹣1|；
（2）化简|3.14﹣π|的结果是 ；
（3）求的值．
【分析】（1）根据题意得：|（﹣2）﹣1|＝|1﹣（﹣2）|，从而得出答案；
（2）根据题意得：|3.14﹣π|＝|π﹣3.14|，从而得出答案；
（3）去掉绝对值，把中间项抵消，只剩下首项和尾项，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：|（﹣2）﹣1|＝|1﹣（﹣2）|＝|1+2|＝|3|＝3；
（2）根据题意得：原式＝|π﹣3.14|＝π﹣3.14，
故答案为：π﹣3.14；
（3）原式
．
【变式5-2】（2021秋•嘉祥县期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）]
上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用拆项法对式子进行整理，再利用有理数的加法的法则进行运算即可；
（2）利用拆项法对式子进行整理，再利用有理数的加法的法则进行运算即可；
【解答】解：（1）
＝[﹣2020+（）]+（2019）+[﹣2018+（）]+（2017）
＝[﹣2020+2019+（﹣2018）+2017]+[（）]
＝﹣2+（）
＝﹣2；
（2）
＝[﹣1+（）]+[﹣2000+（）]+（4000）+[﹣1999+（）]
＝[﹣1+（﹣2000）+4000+（﹣1999）]+[（）（）]
＝0+（）
．
【变式5-3】（2022秋•青羊区校级期中）计算与化简：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
【分析】（1）根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2020÷4＝505，原式有2021个数，是505组多1个数，从而得出结论．根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）把每一项化为两个数的和，再把互为相反数相加，根据有理数的加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，
5+6﹣7﹣8＝﹣4，
即每四项结果为﹣4，
∵2020÷4＝505，
∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021
＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+…+（2017+2018﹣2019﹣2020）+2021
＝（﹣4）×505+2021
＝﹣2020+2021
＝1；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
＝﹣2017202020182019
＝﹣2017202020182019
＝（﹣2017﹣2020+2018+2019）+（）+（）
．
【题型6 有理数加减法的实际应用】
【例6】（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得每天的价格，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）求出本周末的价格即可．
【解答】解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；
星期二的价格：2.9+（﹣0.3）＝2.6（元）；
星期三的价格：2.6+（+0.5）＝3.1（元）；
星期四的价格：3.1+（+0.2）＝3.3（元）；
星期五的价格：3.3+（﹣0.3）＝3（元）；
星期六的价格：3+（+0.4）＝3.4（元）；
星期日的价格：3.4+（﹣0.1）＝3.3（元）；
故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3﹣2.7＝0.6（元），
答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．
【变式6-1】（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【分析】（1）用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间3站上车4人，下车0；中间6站下车7人，上车0；因此得解；
（3）根据上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；
中间第2站上车2人、下车4人；
中间第3站上车4人，没有人下车；
中间第4站上车1人、下车7人；
中间第5站上车6人、下车9人；
中间第6站没有人上车，下车7人；
（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是为：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停车时车上人数是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
故答案为：（1）1，7； （2）6，3； （3）24，22； （4）如起点站上车21人（答案不唯一）．
【变式6-2】（2021秋•芗城区校级期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11．
（1）求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？
（2）行驶1千米耗油0.5升，则这次巡视共耗油多少升？
（3）若领导在这6个巡视点发放苹果慰问品．以50kg为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这6个巡视点的苹果重量记为1.1，﹣2.2，﹣3.7，3，﹣1.8，2.9（单位：kg），求发放苹果的总重量．
【分析】（1）6个数求和即可；
（2）求出走的总路程，然后计算耗油量；
（3）求出这六个数据的和为﹣0.7千克，即总质量比标准质量少0.7千克，进而得到答案．
【解答】解：（1）17+（﹣9）+7+（﹣15）+（﹣3）+11＝8（千米），
答：该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处；
（2）|+17|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|﹣3|+|+11|＝62（千米），
0.5×62＝31（升），
答：这次巡视共耗油31升；
（3）1.1+（﹣2.2）+（﹣3.7）+3+（﹣1.8）+2.9＝﹣0.7（千克），
50×6+（﹣0.7）＝299.3（千克），
答：发放苹果的总重量为299.3千克．
【变式6-3】（2021秋•青岛期中）2021年7月，我国河南省由于受台风灯因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑．
下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况单位：（米）
（注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“﹣”表示比警戒水位低）
（1）该水库本周水位最高的一天是星期 ，这一天的实际水位是 米．
（2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“﹣”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米）
（3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意和前面表格中的数据，可以即将空格补充完整；
（3）根据题意和表格中的数据，可以分别计算出上周末和本周末的水位，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由表格可知，
该水库本周水位最高的一天是星期一，这一天的实际水位是35.5+2.5＝38（米），
故答案为：一，38；
（2）由题意可得，
1.2﹣2.5＝﹣1.3；2.1﹣1.2＝+0.9；﹣0.3﹣2.1＝﹣2.4；0.2﹣（﹣0.5）＝+0.7．
故答案为：﹣1.3；+0.9；﹣2.4；+0.7；
（3）上周末的水位为：35.5+2.5﹣2.3＝35.7（米），
本周末的水位为：35.5+（﹣0.8）＝34.7（米），
∵34.7﹣35.7＝﹣1（米），
∴与上周末相比，本周末该水库水位是下降了，下降了1米．
【题型7 有理数加减法中的新定义问题】
【例7】（2022春•龙岩期中）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（ ）
A．4mB．4m+4nC．4nD．4m﹣4n
【分析】根据已知条件，列出所有情况，并求出A的值，即可求得所有A的和．
【解答】解：根据题意，得m＜n，m，n的相反数为﹣m，﹣n，
则有如下三种情况：
①m，n为一组，﹣m，﹣n为另一组，此时有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；
②m，﹣m为一组，n，﹣n为另一组，此时有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；
③m，﹣n为一组，n，﹣m为另一组，此时有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．
∴所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．
故选：C．
【变式7-1】（2021秋•邓州市期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和4关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．
【解答】解：由题意得|m﹣1|+|4﹣1|＝5，
即|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，
解得m＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【变式7-2】（2021秋•永春县期中）设[a]表示不超过a的最大整数，例如：．
（1）填空： ；[3.6]＝ ．
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
【分析】（1）由定义可得2，[3.6]＝3；
（2）先化简原式＝3[3]﹣（﹣3）+（﹣7）﹣[﹣7]，再求解即可．
【解答】解：（1）∵[a]表示不超过a的最大整数，
∴2，[3.6]＝3，
故答案为：2，3；
（2）（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）
＝3[3]﹣（﹣3）+（﹣7）﹣[﹣7]
＝33+3﹣7（﹣8）
＝﹣4+8
＝4．
【变式7-3】（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
【分析】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可．
【解答】解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：
∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；
（2）①当0＜a＜6时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．
∴a＝3；
②当a＜8时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．
∴a＝11；
综上，a＝3或11．
故答案为：3或11；星期
一
二
三
四
五
六
日
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.2
﹣0.3
+0.5
+0.2
﹣0.3
+0.4
﹣0.1
停靠
站
起点站
中间
第1站
中间
第2站
中间
第3站
中间
第4站
中间
第5站
中间
第6站
终点
站
上下车
人数
+21
﹣3
+8
﹣4
+2
0
+4
﹣7
+1
﹣9
+6
﹣7
0
﹣12
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录
+2.5
+1.2
+2.1
﹣0.3
﹣0.5
+0.2
﹣0.8
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
+2.3
﹣0.2
﹣1
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
星期
一
二
三
四
五
六
日
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.2
﹣0.3
+0.5
+0.2
﹣0.3
+0.4
﹣0.1
停靠
站
起点站
中间
第1站
中间
第2站
中间
第3站
中间
第4站
中间
第5站
中间
第6站
终点
站
上下车
人数
+21
﹣3
+8
﹣4
+2
0
+4
﹣7
+1
﹣9
+6
﹣7
0
﹣12
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录
+2.5
+1.2
+2.1
﹣0.3
﹣0.5
+0.2
﹣0.8
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
+2.3
﹣0.2
﹣1
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc3509" 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 PAGEREF _Tc3509 \h 1
\l "_Tc9479" 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 PAGEREF _Tc9479 \h 2
\l "_Tc7819" 【题型3 有理数加减法的混合运算】 PAGEREF _Tc7819 \h 3
\l "_Tc14726" 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc14726 \h 4
\l "_Tc16436" 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 PAGEREF _Tc16436 \h 4
\l "_Tc6845" 【题型6 有理数加减法的实际应用】 PAGEREF _Tc6845 \h 5
\l "_Tc7957" 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc7957 \h 7
【知识点1 有理数加法的法则】
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数．
【知识点2 有理数减法的法则】
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【题型1 有理数加减法则概念辨析】
【例1】（2022春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ）
A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
B．异号两数相加，绝对值相等时和为0
C．互为相反数的两数相加得0
D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号
【变式1-1】（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2021秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ）
A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，那么|a|＞|b|
B．如果a＜0，b＞0，那么a﹣b＜0
C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0
D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0
【变式1-3】（2021秋•信都区月考）下面两个结论：
甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；
乙：两数之和至少大于其中一个加数．
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙均错误
【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】
【例2】（2021秋•瑶海区期中）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2021秋•东昌府区期中）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b，⑤|a﹣b|＝a﹣b，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-2】（2022秋•玉州区期末）已知点A，B，C在数轴上示的数分别为a，b，c，点C为AB的中点，b＜0＜a且a+b＞0则下列结论中，其中正确的个数有（ ）
①a﹣b＞0
②|a|＞|b|＞|c|
③b﹣c＜0
④a+b＝2c
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-3】（2021秋•镇平县月考）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③；④﹣n﹣m＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型3 有理数加减法的混合运算】
【例3】（2021春•肥乡区月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式3-1】（2021秋•镇平县月考）计算．
（1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7；
（2）0（）+（）+2；
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；
（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣9）+（+5）+（﹣4）．
【变式3-2】（2022秋•沙县校级月考）计算：
（1）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）；
（2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3；
（3）；
（4）3（+2）+（﹣1）．
【变式3-3】（2022秋•桐柏县月考）计算：
（1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）；
（2）．
（3）15（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）．
（4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7．
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]．
【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】
【例4】（2021秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
【变式4-1】（2021秋•峡江县期末）若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值．
【变式4-2】（2021秋•长汀县校级月考）已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【变式4-3】（2022春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．
【题型5 有理数加减法中的规律计算】
【例5】（2021秋•旌阳区校级月考）（1）请观察下列算式：1，，，，…，
则第10个算式为 ＝ ，
第n个算式为 ＝ ；
（2）运用以上规律计算：．
【变式5-1】（2021秋•河南月考）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：
（1）化简|（﹣2）﹣1|；
（2）化简|3.14﹣π|的结果是 ；
（3）求的值．
【变式5-2】（2021秋•嘉祥县期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）]
上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算：
（1）；
（2）．
【变式5-3】（2022秋•青羊区校级期中）计算与化简：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
【题型6 有理数加减法的实际应用】
【例6】（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【变式6-1】（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【变式6-2】（2021秋•芗城区校级期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11．
（1）求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？
（2）行驶1千米耗油0.5升，则这次巡视共耗油多少升？
（3）若领导在这6个巡视点发放苹果慰问品．以50kg为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这6个巡视点的苹果重量记为1.1，﹣2.2，﹣3.7，3，﹣1.8，2.9（单位：kg），求发放苹果的总重量．
【变式6-3】（2021秋•青岛期中）2021年7月，我国河南省由于受台风灯因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑．
下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况单位：（米）
（注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“﹣”表示比警戒水位低）
（1）该水库本周水位最高的一天是星期 ，这一天的实际水位是 米．
（2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“﹣”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米）
（3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【题型7 有理数加减法中的新定义问题】
【例7】（2022春•龙岩期中）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（ ）
A．4mB．4m+4nC．4nD．4m﹣4n
【变式7-1】（2021秋•邓州市期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和4关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
【变式7-2】（2021秋•永春县期中）设[a]表示不超过a的最大整数，例如：．
（1）填空： ；[3.6]＝ ．
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
【变式7-3】（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
专题1.3 有理数的加减【七大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc3509" 【题型1 有理数加减法则概念辨析】 PAGEREF _Tc3509 \h 1
\l "_Tc9479" 【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】 PAGEREF _Tc9479 \h 3
\l "_Tc7819" 【题型3 有理数加减法的混合运算】 PAGEREF _Tc7819 \h 5
\l "_Tc14726" 【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc14726 \h 9
\l "_Tc16436" 【题型5 有理数加减法中的规律计算】 PAGEREF _Tc16436 \h 11
\l "_Tc6845" 【题型6 有理数加减法的实际应用】 PAGEREF _Tc6845 \h 14
\l "_Tc7957" 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc7957 \h 17
【知识点1 有理数加法的法则】
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数．
【知识点2 有理数减法的法则】
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【题型1 有理数加减法则概念辨析】
【例1】（2022春•肇源县期末）下列关于有理数的加法说法错误的是（ ）
A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
B．异号两数相加，绝对值相等时和为0
C．互为相反数的两数相加得0
D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号
【分析】根据有理数的加法法则判断即可．
【解答】解：A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；
B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意；
C选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意；
D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•东平县期中）下面说法中正确的有（ ）
（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍．
（3）零减去一个数一定是负数．
（4）正数减负数一定是负数．
（5）数轴上原点两侧的数互为相反数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用有理数的加法及减法法则及数轴的性质判断即可．
【解答】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数．正确，
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确，
（3）零减去一个数不一定是负数，如0﹣（﹣3）＝3，故不正确，
（4）正数减负数一定是正数．如3﹣（﹣4）＝7，故不正确，
（5）数轴上原点两侧的数不一定互为相反数，如5和﹣4，不是互为相反数．不正确．
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•嵊州市期中）下列说法中错误的是（ ）
A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，那么|a|＞|b|
B．如果a＜0，b＞0，那么a﹣b＜0
C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0
D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0
【分析】A，根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断；
B，一个负数减去一个正数结果是负；
C，两个负数相加结果才是负数；
D，a﹣b＝a+（﹣b），根据绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号判断．
【解答】解：A：如果a＞0，b＜0且a+b＞0，则|a|＞|b|，正确，∴不符合题意；
B：一个负数减去一个正数等于一个负数加一个负数结果是负，正确，∴不符合题意；
C：如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＜0，b＜0，错误，∴符合题意；
D：∵a﹣b＝a+（﹣b），a＜0，b＜0
∴﹣b＞0，
∵|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0
正确，∴不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2021秋•信都区月考）下面两个结论：
甲：两数之和为负，至少有一个加数为负；
乙：两数之和至少大于其中一个加数．
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙均错误
【分析】可以通过举例说明题干是否正确．
【解答】解：两数之和为负，至少有一个加数为负，所以甲正确；
两数之和至少大于其中一个加数，
如，﹣2+（﹣3）＝﹣5，
﹣5＜﹣2，﹣5＜﹣3，
所以乙不正确．
故选：B．
【题型2 有理数加减法在数轴上的应用】
【例2】（2021秋•瑶海区期中）有理数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a+b＞0；④b﹣a＞0；其中正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据a＜|a|判断①；根据|a|＞0，b＞0判断②；根据有理数的加法法则判断③；根据有理数的减法法则判断④．
【解答】解：∵a＜|a|，
∴a＜0，故①符合题意；
由题意可知：|a|＞0，b＞0，
∴|a|＜|b|，故②不符合题意；
∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故③符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有3个，
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•东昌府区期中）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b，⑤|a﹣b|＝a﹣b，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】先根据a，b在数轴上的位置得到a，b的符号，以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则及不等式的性质进行判断．
【解答】解：根据数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴a+b＜0，故①正确；
a﹣b＞0，故②错误；
a＜|b|，故③正确；
﹣a＜﹣b，故④错误；
|a﹣b|＝a﹣b，故⑤正确；
故正确的有3个．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•玉州区期末）已知点A，B，C在数轴上示的数分别为a，b，c，点C为AB的中点，b＜0＜a且a+b＞0则下列结论中，其中正确的个数有（ ）
①a﹣b＞0
②|a|＞|b|＞|c|
③b﹣c＜0
④a+b＝2c
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据数轴上点的与原点的距离以及线段中点的定义即可求解．
【解答】解：∵b＜0＜a且a+b＞0
∴①a﹣b＞0，正确；
②|a|＞|b|，但是|b|不一定大于|c|；
③b﹣c＜0，正确；
④a+b＝2c，故原说法正确．
∴正确的有①③④共3个．
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•镇平县月考）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③；④﹣n﹣m＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据数轴得出n＜0＜m，|n|＞|m|，再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴知，n＜0＜m，|n|＞|m|，
∴m+n＜0，n﹣m＜0，，﹣n﹣m＞0，
∴正确的有：①③④共3个．
故选：C．
【题型3 有理数加减法的混合运算】
【例3】（2021春•肥乡区月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先去括号和求绝对值，再根据有理数的加法进行计算即可得到答案．
（2）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；
（3）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；
（4）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
【变式3-1】（2021秋•镇平县月考）计算．
（1）（﹣4）﹣（+13）+（﹣5）﹣（﹣9）+7；
（2）0（）+（）+2；
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；
（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣9）+（+5）+（﹣4）．
【分析】（1）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（2）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（3）把加减混合运算是式子统一成加法，利用加法的运算律计算即可；
（4）利用加法的运算律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）+9+7
＝[（﹣4）+（﹣13）+（﹣5）]+（9+7）
＝（﹣22）+16
＝﹣6；
（2）原式＝0+（）（）+2
＝[（）+（）]2
＝（﹣1）+3
＝2；
（3）原式1（﹣2）+2
1（﹣22）
（﹣1）
（﹣1）
；
（4）原式＝（﹣3）+4（﹣9）+54
＝[（﹣3）+（﹣9）]+（45）﹣4
＝（﹣13）+10﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
【变式3-2】（2022秋•沙县校级月考）计算：
（1）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）；
（2）（+9）﹣（+10）+（﹣2）﹣（﹣8）+3；
（3）；
（4）3（+2）+（﹣1）．
【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将（﹣18.35）与（﹣3.65），（﹣18.15）与（+6.15）结合先进行计算即可；
（2）将正数、负数分别结合在一起先计算即可；
（3）将分母相同的分数结合在一起先计算即可；
（4）将分母相同的分数结合在一起先计算，使运算简单．
【解答】解：（1）原式＝[（﹣18.35）+（﹣3.65）]+[（﹣18.15）+（+6.15）]
＝（﹣22）+（﹣12）
＝﹣34；
（2）原式＝9﹣10﹣2+8+3
＝9+8+3﹣（10+2）
＝20﹣12
＝8；
（3）原式＝[（﹣3）+（﹣6）]+[（+15.5）+（﹣5）]
＝﹣10+10
＝0；
（4）原式＝32（1）
＝11
．
【变式3-3】（2022秋•桐柏县月考）计算：
（1）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）；
（2）．
（3）15（﹣3）+（﹣22.5）+（﹣15）．
（4）﹣8.4+10﹣4.2+5.7．
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]．
【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法结合律计算即可；
（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（3）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（4）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
（5）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；
【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣4+9﹣5
＝﹣（7+4+5）+9
＝﹣7，
（2）原式
＝（）+（）
＝0+（﹣1）
，
（3）原式＝﹣91532215
＝（﹣915）+（153）﹣22
＝﹣25+1222
＝﹣35，
（4）原式＝（﹣8.4﹣4.2）+（10+5.7）
＝﹣12.6+15.7
＝3.1，
（5）4[8.6﹣（+3）+（）+（﹣2）]
＝4（8.6﹣32）
＝48.6+32
＝（43）+（812）
＝1+4
＝5．
【题型4 有理数加减法与绝对值的综合】
【例4】（2021秋•望城区期末）已知|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
【分析】（1）确定x、y的值，代入计算即可；
（2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，
∴x+y＝3+（﹣2）＝1；
所以x+y的值为1；
（2）由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，
或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．
【变式4-1】（2021秋•峡江县期末）若|x﹣2|＝5，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值．
【分析】根据绝对值的意义先求出x，y的值，然后代入即可．
【解答】解：∵|x﹣2|＝5，|y|＝4，
∴x＝7或﹣3，y＝±4．
又x＞y，
∴x＝7，y＝±4或x＝﹣3，y＝﹣4．
当x＝7，y＝4时，x﹣y＝3；
当x＝7，y＝﹣4时，x﹣y＝11；
当x＝﹣3，y＝﹣4时，x﹣y＝1．
综上x﹣y的值为：3或11或1．
【变式4-2】（2021秋•长汀县校级月考）已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|a|＝6.3，|b|＝3.5，
∴a＝±6.3，b＝±3.5，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a﹣b≤0，
∴a≤b，
∴当a＝﹣6.3，b＝3.5时，a+b＝﹣6.3+3.5＝﹣2.8；
当a＝﹣6.3，b＝﹣3.5时，a+b＝﹣6.3+（﹣3.5）＝﹣9.8；
∴a+b的值为﹣2.8或﹣9.8．
【变式4-3】（2022春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．
【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，
∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，
∴a+b≤0，b+c≥0，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，
∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，
a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．
【题型5 有理数加减法中的规律计算】
【例5】（2021秋•旌阳区校级月考）（1）请观察下列算式：1，，，，…，
则第10个算式为 ＝ ，
第n个算式为 ＝ ；
（2）运用以上规律计算：．
【分析】（1）直接将分数拆项变形即可；
（2）原式拆项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）第10个算式为，
第n个算式为 ；
（2）
＝1
＝1
．
故答案为：，；，．
【变式5-1】（2021秋•河南月考）观察下面一组等式：
|2﹣1|＝2﹣1＝1，|1﹣2|＝2﹣1＝1；
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3，|（﹣5）﹣（﹣2）|＝（﹣2）﹣（﹣5）＝3；
|6.4﹣（﹣3.5）|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9，|（﹣3.5）﹣6.4|＝6.4﹣（﹣3.5）＝9.9；
…
解决下列问题：
（1）化简|（﹣2）﹣1|；
（2）化简|3.14﹣π|的结果是 ；
（3）求的值．
【分析】（1）根据题意得：|（﹣2）﹣1|＝|1﹣（﹣2）|，从而得出答案；
（2）根据题意得：|3.14﹣π|＝|π﹣3.14|，从而得出答案；
（3）去掉绝对值，把中间项抵消，只剩下首项和尾项，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：|（﹣2）﹣1|＝|1﹣（﹣2）|＝|1+2|＝|3|＝3；
（2）根据题意得：原式＝|π﹣3.14|＝π﹣3.14，
故答案为：π﹣3.14；
（3）原式
．
【变式5-2】（2021秋•嘉祥县期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）]
上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用拆项法对式子进行整理，再利用有理数的加法的法则进行运算即可；
（2）利用拆项法对式子进行整理，再利用有理数的加法的法则进行运算即可；
【解答】解：（1）
＝[﹣2020+（）]+（2019）+[﹣2018+（）]+（2017）
＝[﹣2020+2019+（﹣2018）+2017]+[（）]
＝﹣2+（）
＝﹣2；
（2）
＝[﹣1+（）]+[﹣2000+（）]+（4000）+[﹣1999+（）]
＝[﹣1+（﹣2000）+4000+（﹣1999）]+[（）（）]
＝0+（）
．
【变式5-3】（2022秋•青羊区校级期中）计算与化简：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
【分析】（1）根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2020÷4＝505，原式有2021个数，是505组多1个数，从而得出结论．根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）把每一项化为两个数的和，再把互为相反数相加，根据有理数的加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，
5+6﹣7﹣8＝﹣4，
即每四项结果为﹣4，
∵2020÷4＝505，
∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016+2017+2018﹣2019﹣2020+2021
＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+…+（2017+2018﹣2019﹣2020）+2021
＝（﹣4）×505+2021
＝﹣2020+2021
＝1；
（2）（﹣2017）+（﹣2020）﹣（﹣2018）+2019．
＝﹣2017202020182019
＝﹣2017202020182019
＝（﹣2017﹣2020+2018+2019）+（）+（）
．
【题型6 有理数加减法的实际应用】
【例6】（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得每天的价格，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）求出本周末的价格即可．
【解答】解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；
星期二的价格：2.9+（﹣0.3）＝2.6（元）；
星期三的价格：2.6+（+0.5）＝3.1（元）；
星期四的价格：3.1+（+0.2）＝3.3（元）；
星期五的价格：3.3+（﹣0.3）＝3（元）；
星期六的价格：3+（+0.4）＝3.4（元）；
星期日的价格：3.4+（﹣0.1）＝3.3（元）；
故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；
本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．
（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3﹣2.7＝0.6（元），
答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．
【变式6-1】（2021秋•莱西市期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【分析】（1）用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间3站上车4人，下车0；中间6站下车7人，上车0；因此得解；
（3）根据上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；
中间第2站上车2人、下车4人；
中间第3站上车4人，没有人下车；
中间第4站上车1人、下车7人；
中间第5站上车6人、下车9人；
中间第6站没有人上车，下车7人；
（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是为：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停车时车上人数是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；
（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多．
故答案为：（1）1，7； （2）6，3； （3）24，22； （4）如起点站上车21人（答案不唯一）．
【变式6-2】（2021秋•芗城区校级期中）某领导慰问高速公路养护小组．乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11．
（1）求该领导乘车最后到达的地方在服务区何方？距离多远？
（2）行驶1千米耗油0.5升，则这次巡视共耗油多少升？
（3）若领导在这6个巡视点发放苹果慰问品．以50kg为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这6个巡视点的苹果重量记为1.1，﹣2.2，﹣3.7，3，﹣1.8，2.9（单位：kg），求发放苹果的总重量．
【分析】（1）6个数求和即可；
（2）求出走的总路程，然后计算耗油量；
（3）求出这六个数据的和为﹣0.7千克，即总质量比标准质量少0.7千克，进而得到答案．
【解答】解：（1）17+（﹣9）+7+（﹣15）+（﹣3）+11＝8（千米），
答：该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处；
（2）|+17|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|﹣3|+|+11|＝62（千米），
0.5×62＝31（升），
答：这次巡视共耗油31升；
（3）1.1+（﹣2.2）+（﹣3.7）+3+（﹣1.8）+2.9＝﹣0.7（千克），
50×6+（﹣0.7）＝299.3（千克），
答：发放苹果的总重量为299.3千克．
【变式6-3】（2021秋•青岛期中）2021年7月，我国河南省由于受台风灯因素的影响，出现了千年难遇的特大洪涝灾害．国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了检测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑．
下表是我国河南省某水库一周内的水位变化情况单位：（米）
（注：该水库的警戒水位是35.5米，表格中“+”表示比警戒水位高，“﹣”表示比警戒水位低）
（1）该水库本周水位最高的一天是星期 ，这一天的实际水位是 米．
（2）若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“﹣”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位（米）
（3）与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意和前面表格中的数据，可以即将空格补充完整；
（3）根据题意和表格中的数据，可以分别计算出上周末和本周末的水位，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由表格可知，
该水库本周水位最高的一天是星期一，这一天的实际水位是35.5+2.5＝38（米），
故答案为：一，38；
（2）由题意可得，
1.2﹣2.5＝﹣1.3；2.1﹣1.2＝+0.9；﹣0.3﹣2.1＝﹣2.4；0.2﹣（﹣0.5）＝+0.7．
故答案为：﹣1.3；+0.9；﹣2.4；+0.7；
（3）上周末的水位为：35.5+2.5﹣2.3＝35.7（米），
本周末的水位为：35.5+（﹣0.8）＝34.7（米），
∵34.7﹣35.7＝﹣1（米），
∴与上周末相比，本周末该水库水位是下降了，下降了1米．
【题型7 有理数加减法中的新定义问题】
【例7】（2022春•龙岩期中）规定：把四个有理数1，2，3，﹣5分成两组，每组两个，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，则A＝|1+3|+|2﹣5|．在数轴上原点右侧从左到右取两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，对于这样的四个数，其所有A的和为（ ）
A．4mB．4m+4nC．4nD．4m﹣4n
【分析】根据已知条件，列出所有情况，并求出A的值，即可求得所有A的和．
【解答】解：根据题意，得m＜n，m，n的相反数为﹣m，﹣n，
则有如下三种情况：
①m，n为一组，﹣m，﹣n为另一组，此时有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；
②m，﹣m为一组，n，﹣n为另一组，此时有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；
③m，﹣n为一组，n，﹣m为另一组，此时有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．
∴所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．
故选：C．
【变式7-1】（2021秋•邓州市期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和4关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
【分析】根据新定义可列等式，结合绝对值的性质计算可求解m值．
【解答】解：由题意得|m﹣1|+|4﹣1|＝5，
即|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，
解得m＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【变式7-2】（2021秋•永春县期中）设[a]表示不超过a的最大整数，例如：．
（1）填空： ；[3.6]＝ ．
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
【分析】（1）由定义可得2，[3.6]＝3；
（2）先化简原式＝3[3]﹣（﹣3）+（﹣7）﹣[﹣7]，再求解即可．
【解答】解：（1）∵[a]表示不超过a的最大整数，
∴2，[3.6]＝3，
故答案为：2，3；
（2）（3）﹣[﹣2.4]+（﹣7）
＝3[3]﹣（﹣3）+（﹣7）﹣[﹣7]
＝33+3﹣7（﹣8）
＝﹣4+8
＝4．
【变式7-3】（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
【分析】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可．
【解答】解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：
∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；
（2）①当0＜a＜6时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．
∴a＝3；
②当a＜8时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．
∴a＝11；
综上，a＝3或11．
故答案为：3或11；星期
一
二
三
四
五
六
日
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.2
﹣0.3
+0.5
+0.2
﹣0.3
+0.4
﹣0.1
停靠
站
起点站
中间
第1站
中间
第2站
中间
第3站
中间
第4站
中间
第5站
中间
第6站
终点
站
上下车
人数
+21
﹣3
+8
﹣4
+2
0
+4
﹣7
+1
﹣9
+6
﹣7
0
﹣12
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录
+2.5
+1.2
+2.1
﹣0.3
﹣0.5
+0.2
﹣0.8
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
+2.3
﹣0.2
﹣1
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
星期
一
二
三
四
五
六
日
与前一天的价格涨跌情况（元）
+0.2
﹣0.3
+0.5
+0.2
﹣0.3
+0.4
﹣0.1
停靠
站
起点站
中间
第1站
中间
第2站
中间
第3站
中间
第4站
中间
第5站
中间
第6站
终点
站
上下车
人数
+21
﹣3
+8
﹣4
+2
0
+4
﹣7
+1
﹣9
+6
﹣7
0
﹣12
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录
+2.5
+1.2
+2.1
﹣0.3
﹣0.5
+0.2
﹣0.8
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
+2.3
﹣0.2
﹣1
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
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