初中数学苏科版七年级上册2.4 绝对值与相反数随堂练习题

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专题2.2 绝对值与相反数【九大题型】
【苏科版】


【题型1 相反数的概念及表示】 1
【题型2 相反数的性质运用】 3
【题型3 绝对值的定义】 4
【题型4 由绝对值的性质化简】 5
【题型5 绝对值的非负性】 6
【题型6 绝对值的几何意义】 7
【题型7 利用法则比较有理数大小】 9
【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】 11
【题型9 利用数轴比较有理数大小】 13


【知识点1 相反数的概念及表示方法】
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.
【题型1 相反数的概念及表示】
【例1】（2021秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（　　）
+（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（−13）与+（+13），+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）．
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【分析】分别化简每组中的两个数，再根据互为相反数的定义进行判断即可．
【解答】解：+（+1）＝1，1与﹣1是互为相反数，因此+（+1）与﹣1是互为相反数；
（﹣1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，因此（﹣1）与+（﹣1）不是互为相反数；
﹣（﹣2）＝2，而+（﹣2）＝﹣2，2与﹣2是互为相反数，因此﹣（﹣2）与+（﹣2）是互为相反数；
﹣（−13）=13，而+（+13）=13，因此﹣（−13）与+（+13）不是互为相反数；
+[﹣（+1）]＝﹣1，而﹣[+（﹣1）]＝1，因此+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]是互为相反数；
﹣（+2）＝﹣2而﹣（﹣2）＝2．因此﹣（+2）与﹣（﹣2）是互为相反数；
综上所述，表示互为相反数的有4组，
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣0.5与1.5；②34与−43；③a与﹣（﹣a）；④a﹣2b与﹣a+2b；互为相反数的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】直接根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可．
【解答】解：①﹣0.5与1.5不是相反数；
②34与−43互为倒数，不是互为相反数；
③a＝﹣（﹣a）不是互为相反数；
④a﹣2b与﹣a+2b为相反数；
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•武冈市期中）﹣a+b+c的相反数是（　　）
A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣a+b+c的相反数是﹣（﹣a+b+c）＝a﹣b﹣c．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　 　．
【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，
∴[﹣（﹣x）]＝﹣4，
∴x＝﹣4，
则x的相反数是：4．
故答案为：4．
【知识点2 相反数的性质】
若a与b互为相反数，那么a+b=0.

【题型2 相反数的性质运用】
【例2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝　﹣5　．
【分析】根据相反数的性质解决此题．
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b＝0．
∴2021a+2021b﹣5
＝2021（a+b）﹣5
＝2021×0﹣5
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【变式2-1】（2022秋•凉州区期末）若4a﹣9与3a﹣5互为相反数，则a的值为　 　．
【分析】根据题意可以得到一个关于a的方程，解方程就可以求得a的值．
【解答】解：依题意有：
4a﹣9+3a﹣5＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【变式2-2】（2021秋•江州区期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：∵x+2y与x+4互为相反数，
∴x+2y+x+4＝0，
则2x+2y＝﹣4，
故x+y＝﹣2．
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•路北区期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则b和c的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【分析】由于a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则a+2b+3c＝a+3b+4c，则b与c的关系即可求出．
【解答】解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，
则a+2b+3c＝a+3b+4c，
所以b+c＝0，
所以b与c互为相反数．
故选：A．
【知识点3 绝对值的定义】
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
【题型3 绝对值的定义】
【例3】（2021秋•谷城县期中）一个数的绝对值是23，那么这个数为 　 　；若|﹣5|＝|﹣a|，则a＝　 　．
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：∵一个数的绝对值是23，
∴这个数是±23，
∵|﹣5|＝|﹣a|＝5，
∴a＝±5．
故答案为：±23，±5．
【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（　　）
A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，得|a|＝|﹣4|＝4．
∵|a|＝|b|，
∴|b|＝4．
∴b＝±4．
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•洛江区期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据绝对值的性质可得a≤0，b≥0，再根据|a|＞|b|可得a距离原点比b距离原点远，进而可得答案．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴a≤0，b≥0，
∵|a|＞|b|，
∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（　　）
A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n
C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|
【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．若|m|＝|n|，则m＝n或m＝﹣n，故原说法错误，选项不符合题意；
B．若|m|＞|n|，则﹣m＜n＜m，故原说法错误，选项不符合题意；
C．若m＞n＞﹣m，则|m|＞|n|，故原说法错误，选项不符合题意；
D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|，正确，选项符合题意；
故选：D．
【知识点4 绝对值的性质】
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【题型4 由绝对值的性质化简】
【例4】（2021秋•长沙县期末）化简：|π﹣3.15|+π＝　 　．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后解答即可．
【解答】解：|π﹣3.15|+π，
＝3.15﹣π+π，
＝3.15．
故答案为：3.15．
【变式4-1】（2021秋•蔡甸区期末）若x的绝对值小于1，则化简|x﹣1|+|x+1|得　 　．
【分析】直接利用已知得出x的取值范围，进而结合绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵x的绝对值小于1，
∴﹣1＜x＜1，
∴|x﹣1|+|x+1|
＝1﹣x+x+1
＝2．
故答案为：2．
【变式4-2】（2021秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x﹣2||的结果为　 ．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
【解答】解：因为x≤0，
所以x﹣2＜0，4﹣x＞0
所以|2+|x﹣2||
＝|2﹣（x﹣2）|
＝|2﹣x+2|
＝|4﹣x|
＝4﹣x．
故答案为：4﹣x．
【变式4-3】（2022秋•阜宁县月考）当1＜x＜5时，化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝　 　．
【分析】由已知1＜x＜5，得：x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，再根据绝对值的性质进行化简．
【解答】解：∵1＜x＜5，
∴x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，
∴|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝x﹣1﹣（5﹣x）+（6﹣x）＝x﹣1﹣5+x+6﹣x＝x，
故答案为：x．
【知识点5 绝对值的非负性】
根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．
【题型5 绝对值的非负性】
【例5】（2021秋•顺德区月考）若|x−2|+|y−23|＝0，则x＝　 　，y＝　 ．
【分析】根据绝对值的非负性解答即可．
【解答】解：根据题意可得：x﹣2＝0，y−23=0，
可得：x＝2，y=23．
故答案为：2；23．
【变式5-1】（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 　 　．
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．
【解答】解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+9≥9，
∴|x﹣2|+9有最小值为9．
故答案为：9．
【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、1|x|、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．
【解答】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；
1|x|一定是正数；x2+2一定是正数；
|x+2|不一定是正数；
所以值一定是正数的有2个，
故选：B．
【变式5-3】（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
【题型6 绝对值的几何意义】
【例6】（2021秋•遵义期末）在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，25|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（　　）
A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5
【分析】根据绝对值的几何意义，可以知道C是AB的中点，且到A、B的距离均为2．又D、A的距离为2.5，结合数轴可以快速得出答案．
【解答】解：依题意可知AC＝BC＝2，AD＝2.5，
所以AB＝4，
当B、D在A的同侧时，BD＝AB﹣AD＝1.5．
当B、D在A的异侧时，BD＝AB+AD＝6．
故选：C．
【变式6-1】（2021秋•芜湖期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
由﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
即﹣5≤a≤3，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
【变式6-2】（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（　　）
A．10 B．11 C．17 D．21
【分析】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．
【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，
故选：C．

【变式6-3】（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 　．
【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．
【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；
结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，
∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，
故答案为：2021．

【知识点7 有理数比较大小的法则】
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

【题型7 利用法则比较有理数大小】
【例7】（2022春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空：
−35　 　−34；
−(−14)　 　−|−13|；
﹣213　 　﹣2.3．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：|−35|=35，|−34|=34，
∵35＜34，
∴−35＞−34；
∵−(−14)=14，−|−13|=−13，
∴−(−14)＞−|−13|；
|﹣213|＝213，|﹣2.3|＝2.3，
∵213＞2.3，
∴﹣213＜−2.3．
故答案为：＞、＞、＜．
【变式7-1】（2021秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①−3.8＞−(+334)；②−(−34)＞−(−35)；③|﹣2.5|＞﹣2.5；④−(−512)＞|+523|．正确的是（　　）
A．③④ B．①③ C．①② D．②③
【分析】根据有理数的大小关系、绝对值、相反数解决此题．
【解答】解：①由−(+334)=−3.75，根据有理数的大小关系，得−3.8＜−(+334)，那么①不正确．
②由−(−34)=34，−(−35)=35，根据有理数的大小关系，得34＞35，即−(−34)＞−(−35)，那么②正确．
③由|﹣2.5|＝2.5，根据有理数的关系，得2.5＞﹣2.5，即|﹣2.5|＞﹣2.5，那么③正确．
④由−(−512)=512=5+12=5+36，|+523|=523=5+23=5+46，根据有理数大小关系，得5+36＜5+46，即−(−512)＜|+523|，那么④不正确．
综上：正确的有②③．
故选：D．
【变式7-2】（2021秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，−32，0.75，正确的是（　　）
A．−32＜0.75＜|﹣3.5| B．−32＜|﹣3.5|＜0.75
C．|﹣3.5|＜−32＜0.75 D．0.75＜|﹣3.5|＜−32
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．
【解答】解：∵|﹣3.5|＝3.5，
∴−32＜0.75＜|﹣3.5|，
故选：A．
【变式7-3】（2021秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（　　）
A．|−23|＜|−12| B．﹣|﹣3411|＝﹣（﹣3411）
C．﹣|﹣8|＞7 D．−56＜−45
【分析】先化简各数，然后再进行比较即可．
【解答】解：A．∵|−23|=23，|−12|=12，
∴|−23|＞|−12|，
故A错误；
B．∵﹣|−3411|=−3411，﹣（−3411）=3411，
∴﹣|−3411|＜﹣（−3411），
故B错误；
C．∵﹣|﹣8|＝﹣8，
∴﹣|﹣8|＜7，
故C错误；
D．∵|−56|=56，|−45|=45，
∴56＞45，
∴−56＜−45，
故D正确；
故选：D．
【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】
【例8】（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，1a自小到大顺序排列正确的是（　　）
A．a＜﹣a＜a2＜1a B．﹣a＜a＜a2＜1a C．1a＜a＜a2＜﹣a D．1a＜a2＜a＜﹣a
【分析】用特殊值法比较大小即可．
【解答】解：若a=−12，
﹣a=12，
a2=14，
1a=−2，
∵﹣2＜−12＜14＜12，
∴1a＜a＜a2＜﹣a，
故选：C．
【变式8-1】（2021秋•襄汾县期中）已知a是小于1的正数，则﹣a，﹣a2，−1a，−1a2的大小关系为（　　）
A．﹣a＞−1a＞−a2＞−1a2 B．﹣a2＞﹣a＞−1a＞−1a2
C．−1a2＞−1a＞−a2＞﹣a D．﹣a＞﹣a2＞−1a2＞−1a
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴|−1a2|＞|−1a|＞|−a|＞|−a2|，
∴−a2＞−a＞−1a＞−1a2，
故选：B．
【变式8-2】（2021秋•朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞b﹣c B．1a＜1b＜1c C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c
【分析】根据等式的性质和反例，结合有理数大小比较的方法即可求解．
【解答】解：A、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a﹣b＜b﹣c，不符合题意；
B、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，1a＞1c＞1b，不符合题意；
C、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，a2＜b2＜c2，不符合题意；
D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合题意．
故选：D．
【变式8-3】（2021秋•玄武区期末）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是　 　．（用“＜”连接）
【分析】直接利用x的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜x＜0，
∴x＜x3＜x2．
故答案为：x＜x3＜x2．
【知识点2 数轴法比较有理数大小】
在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.
【题型9 利用数轴比较有理数大小】
【例9】（2021秋•长春期末）如图，点A表示的有理数是x，则x，﹣x，1的大小顺序为（　　）

A．x＜﹣x＜1 B．﹣x＜x＜1 C．x＜1＜﹣x D．1＜﹣x＜x
【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，数轴上右边表示的数总大于左边表示的数进行解答即可．
【解答】解：因为﹣1＜x＜0，
所以0＜﹣x＜1，
可得：x＜﹣x＜1．
故选：A．
【变式9-1】（2021秋•常宁市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把﹣a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．0＜﹣a＜b B．﹣a＜0＜b C．b＜0＜﹣a D．b＜﹣a＜0
【分析】根据数轴确定a，b的符号和绝对值的大小，根据实数的大小比较法则解答．
【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴0＜﹣a＜b，
故选：A．
【变式9-2】（2021秋•松滋市期末）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（　　）

A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m
C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n
【分析】先在数轴上把m，n，0，﹣m，﹣n表示出来，再比较即可．
【解答】解：从数轴可知n＜0＜m，|n|＞|m|，
如图：
，
则n＜﹣m＜0＜m＜﹣n．
故选：C．
【变式9-3】若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（　　）
A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a
【分析】根据已知和有理数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|a|＞|b|，
∴a、﹣a、b、﹣b的大小关系是﹣a＜b＜﹣b＜a，
故选：B．