人教版八年级上册14.3.1 提公因式法优秀ppt课件

第十四章   整式的乘法与因式分解

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

一、教学目标

【知识与技能】

1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;

2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.

【过程与方法】

经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.

【情感、态度与价值观】

培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

因式分解的概念；提公因式法分解因式.

【教学难点】

正确理解因式分解的概念，准确找出公因式. 

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：直尺、练习本、铅笔、钢笔或圆珠笔.

六、教学过程

（一）导入新课

我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究提公因式法分解因式

教师问1：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快.

(1)20×(－3)2＋60×(－3)；

(2)1012－992；

(3)572＋2×57×43＋432.

学生回答：如下：

解：方法一：(1)20×(－3)2＋60×(－3)=20×9-180=180-180=0；

(2)1012－992=10201-9801=400；

(3)572＋2×57×43＋432=3249+4902+1849=8151+1849=10000.

方法二：(1)20×(－3)2＋60×(－3)=-3×[20×(-3)+60]=1-3×[-60+60]=0；

(2)1012－992=（101+99）（101-99）=200×2=400；

(3)572＋2×57×43＋432=3（57+43）2=1002=10000.

教师问2：上边两种方法，哪一种简单呢？

学生回答：方法二简单.

教师讲解：在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形成，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.(板书课题)

教师问3：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？（出示课件4）

学生回答：方法一：m(a+b+c)；方法二：ma+mb+mc

教师问4：m(a+b+c)=ma+mb+mc是整式的乘法，那么ma+mb+mc=m(a+b+c)，你猜想是什么呢？

学生回答：因式分解.

教师问5：请同学们运用整式乘法法则或公式填空：（出示课件5）

(1) m(a+b+c)= ____________________ ；                

(2) (x+1)(x–1)=___________________；

(3) (a+b)2 = ______________________.

学生回答：(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ；                

(2) (x+1)(x–1)=x2－1；

(3) (a+b)2 = a2+2ab+b2.

教师问6：根据等式的性质填空：

(1) ma+mb+mc=(      )(            )

(2) x2 –1 =(        )(          ) 

(3) a2 +2ab+b2 =(          )2

学生回答：(1) ma+mb+mc=( m)(  a+b+c )

(2) x2 –1 =( x+1)( x-1) 

(3) a2 +2ab+b2 =( a+b)2

教师问7：比一比，这些式子有什么共同点？

学生讨论后回答：左边是多项式，右边是多相式的乘积.

师生共同解答如下：

像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

教师讲解：（出示课件6）

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

教师问8：你认为因式分解与整式乘法有什么关系？（出示课件7）

学生思考回答，师生共同解答如下：因式分解与整式乘法是互逆变形关系，整式乘法是一种运算，而因式分解是对多项式的一种变形，不是运算.

教师问9：x2–1 = (x+1)(x–1)有何特征呢？

学生回答：等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积

例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)（出示课件8）

①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；

③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．

A．1个          B．2个           C．3个           D．4个

师生共同解答如下：

因式分解是积的形式，①是和的形式，所以不是因式分解，②是因式分解，③是整式的乘法，④是因式分解.故选B.

答案：B.

总结点拨：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．

教师问10：再观察下面问题中的第(1)题和第(3)题，你能发现什么特点？

(1)x2＋x＝________；

(2)x2－1＝________；

(3)am＋bm＋cm＝________.

学生独立思考后回答：发现(1)中各项都有一个相同的因式x，(3)中各项都有一个相同的因式m.

教师问11：观察下列多项式，它们有那些相同的因式？（出示课件10）

pa+pb+pc，x2＋x

学生回答：

教师总结如下：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.

教师讲解：因为ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，于是就把ma＋mb＋mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.（出示课件11）

教师问12：如何确定一个多项式的公因式？（出示课件12）

师生共同解答如下：

所以这个算式的公因式是3x.

教师问13：指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)ax＋ay＋a；　　　(2)3mx－6mx2；　　　(3)4a2＋10ah；

(4)x2y＋xy2；　　　(5)12xyz－9x2y2.

学生回答：（1）a；（2）3mx;(3)2a；（4）xy；（5）3xy

教师问14：请学生观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？

师生共同探究后解答如下：

(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)字母取各项的相同字母；(3)各字母的指数取次数最低的.

总结点拨：（出示课件13）

找出多项式的公因式的正确步骤：

1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 

例2：把下列各式分解因式.（出示课件15）

(1) 8a3b2 + 12ab3c；(2) 2a(b+c) – 3(b+c).

师生共同解答如下：

分析：提公因式法步骤(分两步)

      第一步:找出公因式；

      第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.

解：(1) 8a3b2 + 12ab3c（出示课件16）

=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc

=4ab2(2a2+3bc)；

思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.

(2) 2a(b+c)–3(b+c)

=(b+c)(2a–3).

思考：如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.

总结点拨：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.

方法总结：（出示课件21）

提取公因式分解因式的技巧：

①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；

⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.

例3：计算：（出示课件22）

(1)39×37–13×91；

(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.

师生共同解答如下：

解：(1)原式＝3×13×37–13×91

＝13×(3×37–91)

＝13×20＝260；

(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)

               ＝2016.

总结点拨：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

例4：已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．（出示课件24）

师生共同解答如下：

解：∵a＋b＝7，ab＝4，

∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.

总结点拨：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.

（三）课堂练习（出示课件27-31）

1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)

A．5mn      B．5m2n2        C．5m2n          D ．5mn2

2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)

A．x+1          B．2x         C．x+2             D．x+3

3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)

A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)   B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)

C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)          D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)

4.把下列各式分解因式：

(1)分解因式：m2–3m=　                         　．

(2)12xyz–9x2y2=_____________；

(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________　．

(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；

(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.

5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.

6.简便计算：

(1) 1.992+1.99×0.01 ;                  (2)20132+2013–20142;

(3)(–2)101+(–2)100.

7.(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.

(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=   .

8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．

参考答案：

1.C

2.D

3.B

4.（1）m(m–3)；（2）3xy(4z–3xy)；（3）(x+2)(x–1)；（4）–xy(x2y2+xy+1)；（5）(y–x)(2y–x)

5.3a(x–y)2

6.解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；

(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142

              =2013×2014 –20142=2014×(2013–2014)

              = –2014．

(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.

7.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.

(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]

=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).

当x=      时，原式=2×(2×     +1)=4.

8.解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，

(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，

∴a–c＝0或1＋2b＝0，

即a＝c或b＝–0.5(舍去)，

∴△ABC是等腰三角形．

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.举例说明什么是因式分解.

2.提公因式法分解因式如何确定公因式？要注意什么问题？

3.下一节我们将继续学习因式分解，你认为应怎样进行学习？

（五）课前预习

预习下节课（14.3.2）116页的相关内容。

知道利用平方差公式分解因式的方法.

七、课后作业

1、教材117页练习1,2

2、计算123× +268×+456×+521×.

八、板书设计：

九、教学反思：

本节的内容是因式分解的概念,以及提公因式,学生刚学要通过练习正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系,进一步讨论明确.因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是一种变形的手段,是一种恒等变形,对于公因式的概念以及确定方法从小组探究、讨论找好确定方法,通过练习理解掌握.