初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质获奖ppt课件

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第七章 平行线的证明
第七章 平行线的证明
7.4 平行线的性质
北师大版数学八年级上册
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
两条直线被第三条直线所截，
合作探究
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
平行线的性质
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.求证：∠1 =∠2.
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问题3：你能说说证明的思路吗？
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD.又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.
∴∠1 =∠2（两直线平行，同位角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式：
总结归纳
议一议
利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下！
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截得的内错角.求证：∠1 =∠2.
证明：∵ a∥b (已知)，∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等).∵∠1＝∠3 (对顶角相等)，∴∠1＝∠2 (等量代换).
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角.求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ a∥b (已知)，∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等).∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
证明：∵ a∥b，c∥b，∴∠1 =∠2，∠2 =∠3.∴∠1 =∠3.∴ a∥c.
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线 a，b，c 被直线 d 所截，且 a∥b，c∥b.求证：a∥c.
平行线的性质
性质定理 1：两直线平行，同位角相等.∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 2：两直线平行，内错角相等.∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 3：两直线平行，同旁内角互补.∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°.
这些结论，以后可以直接运用.
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：(1) 弄清题设和结论；(2) 根据题意画出相应的图形；(3) 根据题设和结论写出已知，求证；(4) 分析证明思路，写出证明过程.
解：∠A =∠C，∠B =∠D.理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)，∴∠A +∠D = 180°， ∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补).∴∠A =∠C (同角的补角相等).同理，∠B =∠D.
典例精析
例1 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？
证法一：∵ AB∥DC（已知），∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠B =∠D（已知），∴∠D +∠C = 180°（等量代换）.∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC.
证法二： 如图，延长 BA（构造一组同位角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B = ∠D（已知） ∴∠1 = ∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC.
证法三：如图，连接 BD (构造两组内错角).∵ AB∥CD (已知)，∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).∵∠ABC =∠ADC (已知)，∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质).∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC.
平行线的判定与性质
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
素材：探索平行线的性质（点击播放及下一步操作）
1. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1 =∠2 的是 ( )
B
解：∵ AB∥DE ( )，∴∠A =_______ ( ).∵ AC∥DF ( ) ，∴∠D =______ ( ).∴∠A =∠D ( ).
2. (1) 有这样一题：如图 1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
解：∵ AB∥DE ( )，∴∠A = ______ ( ).∵AC∥DF ( ) ，∴∠D + _______=180° ( ).∴∠A +∠D=180° ( ).
2. (2) 有这样一题：如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
（3）∠4 = 70°， 两直线平行，同旁内角互补.
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？
解：(1) ∠2 = 110°， 两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°， 两直线平行，同位角相等.
4. 如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行. 第 一次拐的∠B 是 142°，第二次拐的∠C 是多少度？ 为什么？
解：∠C = 142°. 两直线平行，内错角相等.
B
C
解：因为梯形上、下底互相平行，所以 ∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
于是∠D = 180°-∠A = 180°-100° = 80°，∠C = 180°-∠B = 180°-115° = 65°.
5.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
6. 如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于点 E，DF⊥AB 于点 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线，则∠EDF =∠BDF，请说明理由.
解：因为 CE⊥AB，DF⊥AB，
所以 DF∥EC.
所以∠BDF =∠1，
∠EDF =∠3.
因为 AC∥ED，
所以∠3 =∠2.
所以∠EDF =∠2.
又 CE 平分∠ACB，
所以∠1 =∠2.
所以∠EDF =∠BDF.
同位角相等内错角相等同旁内角互补
两直线平行
判定
性质