北师大版八年级上册第七章 平行线的证明4 平行线的性质学案设计

平行线的性质知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.

【要点梳理】

要点一、平行线的公理、定理

   公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.    

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

   定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角

相等）.

 因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1 (对顶角相等)

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁

内角互补).

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°.

要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.

要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
    （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
    （3）平行线的判定与性质的联系与区别
     区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
     联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
   （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典型例题】

类型一、平行线的性质公理、定理的应用 

1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFG=50°，求∠DEG和∠BGM的大小．

【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继而可求得∠DEG和∠BGM的度数．

【答案与解析】

解：∵AD∥BC，∠EFG=50°，
∴∠EFC=180°-∠EFG=130°，
由折叠的性质可知，∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，
∴∠DEG=100°，
∴∠EGC=180°-100°=80°，
则∠BGM=∠EGC=80°（对顶角相等）．

【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．

举一反三

【变式】（2015•洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为　　度．

【答案与解析】

∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，

∴∠BCD=25°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACD=60°﹣25°=35°．

∵l∥m，

∴∠α=∠ACD=35°．

故答案为：35．

2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．
 

【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．
（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；
（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．

【答案与解析】

解：

 

（1）∠A+∠C+∠P=360；

（2）∠A+∠C=∠P；

（3）∠A+∠P=∠C；

（4）∠C+∠P=∠A．
说明理由（以第三个为例）：
已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．

【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．

3、（2020•东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°，∠C=120°，求∠F-∠E的大小．

【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．

【答案与解析】

解：过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，
∴∠A=∠1，EG∥FH，
∵∠A=36°，
∴∠1=36°，
∵AB∥CD，FH∥AB，
∴FH∥CD，
∴∠C+∠4=180°，
∵∠C=120°，
∴∠4=60°，
∵EG∥FH，
∴∠2=∠3，
∴∠F-∠E=（∠3+∠4）-（∠1+∠2），
=∠3+∠4-∠1-∠2，
=∠4-∠1，
=60°-36°
=24°．

【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．

举一反三

【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，
（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．

【答案】

解：（1）∠1+∠2=∠3；
理由：如图1，过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3；

 

（2）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．
理由：如图2，当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，
∴∠1-∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．

类型二、平行的性质与判定综合应用

4、（2020春•玉州区期末）如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．

∠1=∠2=35°

（1）求∠GFC的度数：

（2）求证：DM∥BC．

【思路点拨】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠1=35°，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；

（2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．

【答案与解析】

解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴∠BDC=∠EFC

∴BD∥EF，

∴∠EFG=∠1=35°，

∴∠GFC=90°+35°=125°；

（2）∵BD∥EF，

∴∠2=∠CBD，

∴∠1=∠CBD，

∴GF∥BC，

∵∠AMD=∠AGF，

∴MD∥GF，

∴DM∥BC．

【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，求证：∠ACB=∠DEB．

【答案】

证明：∵∠2+∠BDC=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠BDC，
∴EF∥AB，
∴∠DEF=∠BDE，
∵∠DEF=∠A，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEB．

5、如图，已知：∠FED=∠AHD，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，且AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．

【思路点拨】由同位角∠FED=∠AHD，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得
BD∥GE∥AH．

【答案与解析】

证明：∵∠FED=∠AHD，
∴AH∥GE，
∴∠GFA=∠FAH．
∵∠GFA=40°，
∴∠FAH=40°，
∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ，
∴∠FAQ=55°．
又∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC=∠FAQ=55°，
∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ，
∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，
∴BD∥AH，
∴BD∥GE∥AH．

【总结升华】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．