北师大版数学八上·7.5 三角形内角和定理（第2课时）（课件+教案+学案+练习）

教学目标

1.掌握三角形外角的两条性质.

2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.

3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．

教学重难点

重点：掌握三角形外角的两条性质.

难点：灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.

教学过程

导入新课

   在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

探究新知

    三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.

结合图形指明外角的特征有三：

    (1)顶点在三角形的一个顶点上．

    (2)一条边是三角形的一边．

    (3)另一条边是三角形某条边的延长线．

问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

    问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

   归纳得出：

    推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

    推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

    例1　已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC.

【证明】∵ ∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），

∴ ∠B=∠EAC（等式的性质）.

∵ AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义），

∴∠DAE=∠B（等量代换），

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.

    想一想，还有没有其他的证明方法呢？

    这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

【证明】∵ ∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），

∴ ∠C=∠EAC（等式的性质）.

∵ AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义），

∴∠DAC=∠C（等量代换），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

【证明】∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），

∴∠C=∠EAC（等式的性质）.

∵AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAC=∠EAC ，

∴∠DAC=∠C（等量代换）.

∵∠B+∠BAC+∠C=180°，

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°，

即∠B+∠DAB=180°，

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.

    例2　已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．

【证明】∵∠1是△ABC的一个外角（已知），

∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.

∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），

∴∠1>∠2（不等式的性质）.

    学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明例2中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2.

课堂练习

    1.如图所示，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B＝30°，∠A＝45°，则∠E的大小为（   ）

A.60°      B.75°       C.90°      D.105°

2.点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（    ）

  A.∠A＞∠1＞∠2        B.∠A＞∠2＞∠1

  C.∠2＞∠1＞∠A        D.∠1＞∠2＞∠A

3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.

4.根据图中已知角的度数，求∠α的度数.

图a中的∠α=_______，图b中的∠α=_______，图c中的∠α=_______。

图a         图b           图c

5.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°， ∠ BAC=70°.

求：(1)∠B的度数；(2) ∠C的度数.                                 

6.如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数．

参考答案

1.B   2.D  3.360°    4.60°   70°     35°

5.解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角，

所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.

又因为∠B=∠BAD，

所以∠B=40º.

(2)在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，

所以∠C=180º-40º-70º=70°

6.解：∵ CE平分∠ACD，

∴ ∠ACE=×∠ACD=×100°=50°.

∵ FG∥CE，

∴ ∠AFG=∠ACE=50°，在△AFG中，∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°，

又∵ ∠ACB=180°-∠ACD=180°-100°=80°，

∴ ∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-80°=30°．

课堂小结

（学生总结，老师点评）

1.三角形的外角

2.三角形外角的两条性质

布置作业

习题7.7第1，2，3题

板书设计

第七章  平行线的证明

5  三角形内角和定理

第2课时 三角形的外角

1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.

2.三角形外角的两条性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．